2017-2018学年山西省运城市盐湖区高二上学期期末考试数学文试卷 解析版

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绝密★启用前 山西省运城市盐湖区2017-2018学年高二上学期期末考试数学文试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．不存在，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 略 ‎2．“1＜k＜4”是“方程表示椭圆”的什么条件（　　）‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：表示椭圆需满足 ‎ ‎∴是方程表示椭圆的必要不充分条件。‎ 考点：椭圆的标准方程。‎ 点评：在椭圆或中都满足。所以本题在的同时还应满足方程才能表示椭圆。‎ ‎3．已知e为自然对数的底数，则曲线y＝xex在点（1，e）处的切线方程为（　　）‎ A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝2ex﹣e D．y＝2ex﹣2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，当时，切线方程的斜率为，由此写出切线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎，当时，切线方程的斜率为，过点（1，e），故切线方程为，故选C ‎【点睛】‎ 函数在某一点处的一阶导函数为该点处切线的斜率 ‎4．函数f（x）＝x﹣g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣x﹣1，则g（2）+g'（2）＝（　　）‎ A．7 B．4 C．0 D．﹣4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，因为函数的图像在点处的切线方程是，所以，‎ ‎，故选A．‎ ‎5．设点F1，F2分别是双曲线C:的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=± B．y=± C．y=± D．y=±‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ ‎∴该双曲线的渐近线方程为。选D。‎ 点睛：‎ 双曲线的渐进线是双曲线的重要性质之一，也是高考的常考点，题型一般以选择题或填空题为主。求双曲线的渐近线方程时，可利用转化为关于的方程或不等式，其中常用到双曲线渐近线的斜率与离心率的关系，即 ‎。‎ ‎6．给出下列命题：‎ ‎①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分而不必要条件；‎ ‎②已知平面向量a，b，“|a|＞1，|b|＞1”是“|ab|＞1”的必要而不充分条件；‎ ‎③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分而不必要条件 ‎④命题p：“∃x0∈R，使≥x0+1且lnx0≤x0﹣1”的否定为￢p：“∀x∈R，都有ex＜x+1‎ 且lnx＞x﹣1”‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎①已知,“且”能够推出“”,“”不能推出“”,本选项正确;‎ ‎②已知平面向量, “”不能推出“”,本选项不正确;‎ ‎③已知,“”是“”的充分不必要条件,正确;‎ ‎④命题 “,使且”的否定为 “,都有或”本选项不正确.‎ 正确的个数为2.‎ 故选：C ‎7．函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，故当时，的符号不确定，因此不单调，即答案A不正确；对于答案B，因，故函数 是递减函数，但函数有两个零点，则答案B不正确；对于答案D，因时，无零点，故答案不正确；而，故函数在时，是单调递减函数，当时，函数也单调递减函数，应选答案C。‎ 点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。‎ ‎8．已知圆F1：（x+2）2+y2＝36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 连结，则 =PA，‎ ‎∵ + =PA+ ==6＞，由椭圆的定义可得点的轨迹为以点、为焦点，长轴为6的椭圆 ‎ ‎∴2a=6，即a=3，又∵焦点为（2，0），即c=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=9﹣4=5，‎ 故点P的轨迹C的方程为：‎ 故选：B 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ ‎9．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）‎ A． B． C．[] D．[]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a，①‎ ‎∵，‎ ‎∴|PF1||PF2|cos∠F1PF2=c2，②‎ 由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=4c2，③‎ 由①②③得cos∠F1PF2=≤1，|PF1||PF2|=2a2﹣3c2，‎ ‎∴e≤，‎ ‎∵|PF1||PF2|≤（|PF1|+|PF2|）2=a2，‎ ‎∴2a2﹣3c2≤a2，‎ ‎∴e≥，‎ ‎∴此椭圆离心率的取值范围是[，]．‎ 故选：D．‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎10．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：先根据可确定，进而可得到在时单调递增，结合函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数可确定在时也是增函数．于是构造函数知在上为奇函数且为单调递增的，又因为，所以，所以的解集为，故选D．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎11．抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足 ‎．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是_______.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．‎ 解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，‎ 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，‎ 在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．‎ 由余弦定理得，‎ ‎|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，‎ 配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，‎ 又∵ab≤，‎ ‎∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2‎ 得到|AB|≥（a+b）．‎ ‎∴≤1，‎ 即的最大值为1．‎ 故选：A．‎ 考点：抛物线的简单性质．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是 A． B． C． D．1‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得.‎ 考点：导数在研究函数最值中的应用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系式求得实数的值.‎ ‎13．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点 发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为______．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】光线所经过的总路程为 ‎ ‎14．已知函数在处有极大值，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 解：因为函数则利用导数f‘(x)= (x－c)2+2x(x-c)=0,f’(2)=0,即c=2,或c=6，经过验证当c=2时，函数在x=2处不是极大值，因此排除只有c=6成立。‎ ‎15．已知m∈R，命题p：对∀x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命题q：∃x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立，当a＝1时，若p∧q假，p∨q为真，求m的取值范围_____．‎ ‎【答案】（﹣∞，1）∪（1，2]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解命题p，命题q为真时m的取值范围，利用若p∧q假，p∨q为真，那么一真一假，分类讨论（1）当为真，为假；（2）当为真，为假两种情况，最后取并集。‎ ‎【详解】‎ 命题p：对∀x∈[0，1]，不等式恒成立,则，解得；命题q：∃x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立，当a＝1时，那么则 若p∧q假，p∨q为真，那么一真一假 ‎（1）当为真，为假时，解得；‎ ‎（2）当为真，为假时，解得；‎ 由此解得m的取值范围（﹣∞，1）∪（1，2]‎ ‎【点睛】‎ 已知命题的真假求参数的取值范围，先求解命题p，命题q为真时m的取值范围，利用若p∧q假，p∨q为真，那么一真一假，分类讨论（1）当为真，为假；（2）当为真，为假两种情况，最后取并集。‎ ‎16．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间[-M，M]。例如，当，时，，现有如下命题：‎ ‎①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；‎ ‎②若函数，则有最大值和最小值；‎ ‎③若函数，的定义域相同，且，，则 ‎④若函数，则有最大值且，‎ 其中的真命题有_____________。（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎①充分性:即表示的值域为R,所以在定义域内能够找到点使得函数值为R内一点；必要性:在定义域内能找到点使函数值为R上任一点,说明函数值域为R,所以满足充要条件，①正确；②充分性:表示有界，不能推出有最大值与最小值；有最大值与最小值表示有界，可以推出,所以为必要不充分条件，②错误；③即表示的值域为R，表示有界，有界函数加上无界函数为无界函数,所以,则③正确；④因为无界，所以有最大值说明a=0,有界,所以,则④正确.故本题正确答案为:①③④‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求函数f（x）＝x3+x2﹣15x+4在[﹣6，3]上的最小值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，‎ 列出反映函数极值和单调性的表格，利用求解极值和端点处的函数值对比大小即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，令，得或，当X变化时，，的变化情况如下所示：‎ ‎-5‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 的单调递增区间为和，单调递减区间为 可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，考虑最小值只能是或.‎ 由，，可知所求最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 求函数在闭区间内的最值问题的步骤：‎ ‎（1）先求一阶导函数的根，求解或的解集，判断单调性。‎ ‎（2）判断极值并求出极值（可以列表，也可以画出一阶导函数的示意图）。‎ ‎（3）再计算f （a），f （b）的值与极值做比较，进而得出结论。‎ ‎18．已知命题 p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；命题q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据P与Q中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．‎ 详解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4；‎ 关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；‎ 如果P正确，且Q不正确，有；‎ 如果Q正确，且P不正确，有．‎ 所以实数a的取值范围为．‎ 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错，解题时要注意特殊情况的验证．‎ ‎19．抛物线y2＝4x的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过抛物线的焦点，求此三角形外接圆的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为抛物线关于x轴对称，三边上的高过焦点，所以另两个顶点A，B关于x轴对称即是等腰三角形. C点即为的外接圆圆心，OC是外接圆的半径.‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线关于x轴对称，三边上的高过焦点，所以另两个顶点A，B关于x轴对称即是等腰三角形.利用三角形的几何性质列出代数关系式求解。‎ 作AO的中垂线MN，交x轴于C点，而Ox是AB的中垂线，故C点即为的外接圆圆心，OC是外接圆的半径.‎ 设，，连结BF，则.‎ 因为，，所以.‎ 整理，得.‎ 则不合题意，舍去. ‎ 因为AO的中点为，且，‎ 所以直线MN的方程为.‎ 把代入，得.‎ 又因为点C是MN与x轴的交点.‎ 所以.‎ 而的外接圆半径，于是得到三角形外接圆方程为 ‎【点睛】‎ 抛物线的几何性质求解方程是常规考点，根据题目的条件利用几何关系列出交点坐标的关系式，根据韦达定理转化为参数的关系式求解。‎ ‎20．请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？‎ ‎【答案】解：设为m，则1＜x＜4.‎ 由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）‎ ‎…………………2分 于是底面正六边形的面积为（单位：m2）‎ ‎…………………4分 帐篷的体积为（单位：m3）‎ ‎……………6分 求导数，得………………8分 令，解得x=-2（不合题意，舍去），x=2.‎ 当1＜x＜2时,为增函数;当2＜x＜4时，为减函数.‎ 所以当x=2时，最大. …………………11分 答：当为2m时，帐篷的体积最大. …………………12分 ‎【解析】‎ 略 ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若函数在处有极值，求的值；‎ ‎（2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）b＝－11 （2）‎ ‎【解析】‎ 解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ 于是，根据题设有，‎ 解得或.‎ 当时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；‎ 当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．‎ 所以b＝－11.‎ ‎(2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，‎ 所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．‎ 因为x≥0，‎ 所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，‎ ‎①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；‎ ‎②当F(a)为增函数时，F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0，‎ 即b≥(－3x2＋8x)max对任意x∈[0,2]都成立，‎ 又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤，‎ 所以当x＝时，(－3x2＋8x)max＝，所以b≥.‎ 所以b的最小值为.‎ ‎22．定长为3的线段的两个端点分别在轴，轴上滑动，动点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹曲线的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于两点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ），由，得，由向量相等可求出点的轨迹方程．‎ ‎（Ⅱ）当过点的直线为时，，当过点的直线不为时，可设为，联立，并化简得：，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件克求出的最大值.‎ 试题解析：（1）设，由，得，‎ 即，‎ 又因为，所以，化简得：，这就是点的轨迹方程.‎ ‎（2）当过点的直线为时，，‎ 当过点的直线不为时，可设为，联立，并化简得：，由韦达定理得：，，‎ 所以 又由恒成立，所以，对于上式，当时，，‎ 综上所述的最大值为.‎ 考点：直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，以及向量的数量积的最大值的求法，属中档题.解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎