数学理卷·2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末考试（2018

福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末考试 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1已知集合，，则（ ）. ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）‎ A．函数在其定义域上是减函数 ‎ B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 ‎ C．命题“，”的否定是“，” ‎ D．给定命题、，若是真命题，则是假命题 ‎ ‎4.圆的圆心被直线所截的线段长为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.如图，以为始边作角与，它们终边分别与单位圆相交于、，已知点的坐标为，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小份为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.函数（且）的图像可能为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，分别为，‎ 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：‎ ‎①直线与直线异面；②直线与直线异面；‎ ‎③直线平面； ④平面平面.‎ 其中正确的有（ ）‎ A．个 B．个 C.个 D．个 ‎11.已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，，为其左右顶点，以线段，为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知双曲线：上一点，曲线：上一点，当时，对于任意，都有恒成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设函数，则满足的取值范围为 ．‎ ‎14.多项式的展开式中的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎15.有一个电动玩具，它有一个的长方形（单位：）和一个半径为的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为，，打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点出发不停地滚动（无滑动）如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 ．‎ ‎16.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.设数列的前项和为，是和的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和. ‎ ‎18.如图，单位圆与，轴正半轴的交点分别为，，圆上的点在第一象限.‎ ‎（1）若点的坐标为，延长至点，使得，求的长；‎ ‎（2）圆上的点在第二象限，若，求四边形的面积的最大值.‎ ‎19.如图，平面，平面，是等边三角形，，‎ 是的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. ‎ ‎20.已知椭圆：的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点.‎ ‎（1）求与的标准方程；‎ ‎（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积. ‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若方程存在两个不同的实数解、，求证. ‎ ‎22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合.若曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为. ‎ ‎（1）将曲线的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）由直线上一点向曲线引切线，求切线长的最小值.‎ 高三理科数学答案 一、选择题 ‎1-5:CCDAB 6-10:ACBDB 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（1）由题意得：，①当时，，②‎ ‎①-②得，即，.由①式中令，可得，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列，.‎ ‎（2）由得 ‎.‎ ‎18.解：（1）由点在单位圆上，可知，‎ 由图像可得；‎ 在中，，，；‎ 由余弦定理得；‎ 解得；‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 四边形的面积 ‎，‎ 当，即时，四边形的面积的最大值为.‎ ‎19.（1）因为是等边三角形，是的中点，所.‎ 因为平面，平面，所以.‎ 因为，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）法1：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 因为平面，所以为直线与平面所成角.‎ 得，即，从而.‎ 不妨设，又，则，.故，，‎ ‎，.于是，‎ ‎，，，设平面与平面的法向量分别为 ‎，，由得令，得，‎ 所以.由得令得 ‎，.所以.‎ 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 法2：因为平面，所以为直线与平面所成角.‎ 由题意得，即，从而.‎ 不妨设，又，，，.‎ 由于平面，平面，则.‎ 取的中点，连接，则.‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 取的中点，连接，，，‎ 则，. 所以为二面角的平面角.‎ 在中，，在中，，‎ 在中，，因为，‎ 所以.所以二面角的余弦值 ‎20.（1）设椭圆的焦距为，依题意有，‎ 解得，，故椭圆的标准方程为.‎ 又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，‎ ‎，，故抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）显然，直线的斜率存在.设直线的方程为，设，，则，，‎ ‎，‎ 即 联立，消去整理得，.‎ 依题意，，是方程的两根，，‎ ‎，，‎ 将和代入得，‎ 解得，（不合题意，应舍去）‎ 联立，消去整理得，，‎ 令，解得.‎ 经检验，，符合要求.‎ 此时，，‎ ‎.‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为：‎ 当时，，的单调递增区间为 当时，当时，，的单调递增区间为；‎ ‎ 当时，，的单调递减区间为；‎ ‎ 当时，，为的极小值 ‎（2）方程存在两个不同的实数解、，‎ 因此必能不为单调函数，所以，‎ 令，则的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值 ‎，令，，‎ 在上单调递增，且，当时，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的单调递增区间为，、‎ ‎，‎ ‎22.（1）圆的直角坐标方程为.，，，‎ 圆的极坐标方程为.‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，，直线的直角坐标方程为.设直线上点，切点为，圆心，则有，当最小时，有最小.‎ ‎，，‎ 切线长的最小值为.‎