新课标版高考数学复习题库考点24 抛物线

新课标版高考数学复习题库考点24 抛物线

‎ ‎ ‎ 考点24 抛物线 ‎ ‎1.（2010·福建高考理科·Ｔ２）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）‎ ‎【命题立意】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及圆方程的求解.‎ ‎【思路点拨】的焦点为，求解圆方程时，确定了圆心与半径即可.‎ ‎【规范解答】选D.抛物线的焦点为，又圆过原点，所以r，‎ 圆的方程为.‎ ‎【一题多解】方法一：（设圆的标准方程）抛物线的焦点为，圆心为.设圆的方程为，又圆过原点，，，所求圆的方程为，即为.‎ 方法二：（设圆的一般方程）设圆的方程为，抛物线的焦点为，圆心为，又圆过原点，∴，所求圆的方程为 .‎ ‎2.（2010·陕西高考理科·Ｔ8）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2－6 x－7=0相切，则p的值为（ ）‎ ‎(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线、圆等的基本概念与性质，属送分题.‎ ‎【思路点拨】y2=2px 准线 圆心到准线的距离等于半径 求出p的值 ‎ ‎【规范解答】选C.由y2=2px，得准线.圆x2+y2－6 x－7=0可化为.由圆心到准线的距离等于半径得：‎ ‎3.（2010·辽宁高考理科·Ｔ7）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=（ ）‎ ‎ (A) (B)8 (C) (D) 16‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的准线方程，考查两点间的距离公式.‎ ‎【思路点拨】‎ A点坐标 P点坐标 求|PA|‎ ‎|PF|＝|PA|‎ ‎【规范解答】选B.由抛物线方程，可得准线l方程为：.设点A坐标为（-2,n）,.∴P点纵坐标为4.‎ 由，∴P点坐标为（6，4），∴|PF|＝|PA|＝|6－（－2）|＝8，故选B.‎ ‎4.（2010·山东高考文科·Ｔ9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ ‎ （A） (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，考查了考生的分析问题、解决问题能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】利用点差法先求出的值，再求抛物线的准线方程.‎ ‎【规范解答】选B.设，，则因为，两点在抛物线上，得 ‎①， ②，① - ②得 .又线段的中点的纵坐标为2，即，直线的斜率为1，故,因此抛物线的准线方程为 ‎【方法技巧】弦中点问题 ‎1.对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是 ‎2.在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率.‎ ‎3.在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率.‎ ‎4.在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.‎ ‎5.（2010·湖南高考理科·Ｔ5） 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）‎ ‎(A)4 　 　 (B)‎6 　　 ‎ (C)8 　　 (D)12‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线的定义.‎ ‎【规范解答】选B.∵点P到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q，则PQ等于点P到焦点的距离，从而PQ=6，故选B.‎ ‎6.（2010·安徽高考文科·Ｔ12）抛物线的焦点坐标是 .‎ ‎【命题立意】本题主要考查抛物线方程及其焦点，考查考生对抛物线方程理解认知水平. ‎ ‎【思路点拨】方程为标准形式 确定焦距P 确定焦点坐标 .‎ ‎【规范解答】抛物线，，焦点.‎ ‎【答案】‎ ‎7.（2010·浙江高考理科·Ｔ13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________.‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线的相关知识.‎ ‎【思路点拨】先求出抛物线的焦点F，计算出点B的坐标，代入到抛物线方程，解出，从而可求出抛物线的方程，点B的坐标及准线方程.‎ ‎【规范解答】抛物线的焦点坐标为F，FA中点在抛物线上，，，，抛物线的准线方程为，点B到该抛物线准线的距离为.‎ ‎【答案】‎ ‎8．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．‎ ‎【命题立意】以抛物线为载体，考查直线和圆锥曲线的关系，本题还考查了学生的运算能力.‎ ‎【思路点拨】直线和圆锥曲线→联立得一元二次方程→根与系数的关系 ‎【规范解答】设直线方程为y=x+，结合得到x2-2px-p2=0，‎ 而梯形的面积==，∴p=2.‎ ‎【答案】2‎ ‎【方法技巧】关于直线和圆锥曲线的问题，常有三条思路：一是利用定义；二是点差法；三是利用根与系数的关系.‎ ‎9.（2010·福建高考文科·Ｔ１9）已知抛物线C：过点A （1 , -2）.‎ ‎（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程.‎ ‎（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想. ‎ ‎【思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；第二步依题意假设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的距离等于列出方程，求解出t的值，注意判别式对参数t的限制. ‎ ‎【规范解答】（1）将代入，得，，‎ 故所求的抛物线方程为，其准线方程为. ‎ ‎（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得.因为直线与抛物线C有公共点，所以22-4×1×（-2t）=，解得.另一方面，由直线OA与直线的距离等于可得.由于所以符合题意的直线存在，其方程为.‎ ‎【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式的限制.因为抛物与直线有交点，注意应用0进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围.‎ ‎10.（2010·浙江高考文科·Ｔ22）已知m是非零实数，抛物线（p>0）的焦点F在直线上. ‎ ‎（1）若m=2，求抛物线C的方程.‎ ‎（2）设直线与抛物线C交于A,B，△A,△的重心分别为G,H.‎ 求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.‎ ‎【命题立意】本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】（1）写出抛物线的焦点坐标代入到直线方程中可出求.（2）把点在圆外转化为点到圆心的距离大于半径.‎ ‎【规范解答】(1)因为焦点F(,0)在直线l上，得.‎ 又m=2,故.所以抛物线C的方程为.‎ ‎（2）设A(x1,y1) , B(x2,y2)，由消去x，得y2－‎2m3‎y－m4＝0.‎ 由于m≠0，故＝(-‎2m3‎)2-4×1×(-m4)＝‎4m6＋‎4m4＞0，且有y1＋y2＝‎2m3‎，y1y2＝－m4.‎ 设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，由于 可知G（），H（），‎ 所以 ‎ 所以GH的中点M为 设R是以线段GH为直径的圆的半径，则4.‎ 设抛物线的准线与x轴交点N，则 ‎＞.‎ 故N在以线段GH为直径的圆外.‎ ‎【方法技巧】（1）设而不求思想在解决圆锥曲线问题时较常用，一般设出后，通过联立方程组，消元，利用根与系数的关系，得到（或），再整体代入.‎ ‎（2）点与圆的位置关系问题，一是看点到圆心的距离；二是代入到圆的方程中验证. ‎