河北省宣化市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学（理）试卷 含答案
www.ks5u.com
理科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第I卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1． 已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=
(A) Æ (B) {2} (C) {0} (D) {-1}
2．下列说法中正确的是
(A) 命题“，”的否定是“，≤1”
(B) 命题“，”的否定是“，≤1”
(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”
3．设各项均不为0的数列{an}满足(n≥1)，Sn是其前n项和，若，则S4=
(A) 4 (B)
(C) (D)
4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=
(A) -3 (B)
(C) 3 (D)
5．已知，那么=
(A) (B) (C) (D)
6．已知x，y满足则2x-y的最大值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
7．已知x∈[，]，则“x∈”是“sin(sinx)
a≥1)上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知向量m=(sinωx，cosωx)，n=(cosωx，cosωx)，其中ω>0，函数2m·n-1的最小正周期为π．
(Ⅰ) 求ω的值；
(Ⅱ) 求函数在[，]上的最大值．
17．（本小题满分12分）
已知函数f (t)=log2(2-t)+的定义域为D．
(Ⅰ) 求D；
B
C
D
A
(Ⅱ) 若函数g (x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2，求实数m的值．
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．
(Ⅰ) 若，求的值；
(Ⅱ) 若是边中点，且，求边的长．
19．（本小题满分12分）
记公差不为0的等差数列的前项和为，，成等比数列．
(Ⅰ) 求数列的通项公式及；
(Ⅱ) 若，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知函数(e为自然对数的底数)，a>0．
(Ⅰ) 若函数恰有一个零点，证明：；
(Ⅱ) 若≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．
21．（本小题满分14分）
已知函数(m，n为常数，…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线方程是．
(Ⅰ) 求m，n的值；
(Ⅱ) 求的单调区间；
(Ⅲ) 设(其中为的导函数)，证明：对任意，．
理科数学试卷答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
DBDAC BCCDA
10题提示：由≥对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤-ax．
若a=0，则ab=0．
若a>0，则ab≤a-a2x．设函数，求导求出f(x)的最小值为．
设，求导可以求出g(a)的最大值为，
即的最大值是，此时．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．-1 13．40 14．3021 15．①③④
15题提示：①容易证明正确．
②不正确．反例：在区间[0，6]上．
③正确．由定义：得，
又所以实数的取值范围是．
④正确．理由如下：由题知．
要证明，即证明： ，
令，原式等价于．
令，则，
所以得证．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：(Ⅰ)2m·n-1
=． ……………………………6分
由题意知：，即，解得．…………………………………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，
∵ ≤x≤，得≤≤，
又函数y=sinx在[，]上是减函数，
∴ …………………………………10分
=．………………………………………………………12分
17．解：(Ⅰ) 由题知解得，即．……………………3分
(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=，此二次函数对称轴为．……4分
① 若≥2，即m≤-2时， g (x)在上单调递减，不存在最小值；
②若，即时， g (x)在上单调递减，上递增，此时，此时值不存在；
③≤1即m≥-1时， g (x)在上单调递增，
此时，解得m=1． …………………………11分
综上：． …………………………………………………………………12分
18．解：(Ⅰ) ，，
由余弦定理：=52+22-2×5×2×=25，
． ……………………………………………………………………3分
又 ，所以，
由正弦定理：，
得．………………………………………6分
B
C
D
A
E
(Ⅱ) 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，
则，BE=2BD=7，CE=AB=5，
在△BCE中，由余弦定理：．
即，
解得：． ………………………………………………………………10分
在△ABC中，，
即．…………………………………………………………………12分
19．解：(Ⅰ) 由，
得：解得：．
∴ ，． …………………………………5分
(Ⅱ) 由题知．
若使为单调递减数列，则
-
=对一切n∈N*恒成立， …………………8分
即： ，
又=，……………………10分
当或时， =．
．………………………………………………………………………12分
20．(Ⅰ)证明： 由，得．…………………………1分
由>0，即>0，解得x>lna，同理由<0解得x1．
∴ 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即，
∴ 当01时，h(a)<0，
∴ 要使得≥0对任意x∈R恒成立，
∴ 的取值集合为 ……………………………13分
21．解：(Ⅰ)由得()．
由已知得，解得m=n．
又，即n=2，
∴ m=n=2．……………………………………………………………………3分
(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得，
令，，
当x∈(0，1)时，；当x∈(1，+∞)时，，
又，所以当x∈(0，1)时，； 当x∈(1，+∞)时，，
∴ 的单调增区间是(0，1)，的单调减区间是(1，+∞)．……8分
(Ⅲ) 证明：由已知有，，
于是对任意， 等价于，
由(Ⅱ)知，，
∴ ，．
易得当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减．
所以的最大值为，故≤．
设，则，
因此，当时，单调递增，．
故当时，，即．
∴ ≤<．
∴ 对任意，． ……………………………………………14分
