2018-2019学年福建省上杭县第一中学等六校高二下学期期中考试数学(文)试题 解析版

2018-2019学年福建省上杭县第一中学等六校高二下学期期中考试数学(文)试题 解析版

绝密★启用前 福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若为虚数单位，则复数的共轭复数是（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再根据共轭复数概念求解.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数除法运算法则以及共轭复数概念，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎2．设,则“”是“”的（ 　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式，再根据解集关系确定充要关系.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，因此“”是“”的充分而不必要条件，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充要关系，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3．矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直.在以上三段论的推理中（ ）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论错误 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对大前提、小前提以及结论进行研究真假.‎ ‎【详解】‎ 大前提: 矩形的对角线互相垂直,是错误的；‎ 小前提：正方形是矩形，是正确的；‎ 结论：正方形的对角线互相垂直，是正确的；‎ 综上选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三段论，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎4．若洗水壶要用 分钟、烧开水要用分钟、洗茶杯要用分钟、取茶叶要用分钟、 沏茶 分钟，那么较合理的安排至少也需要 （ ）‎ A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 最优化安排是尽量同时做不同事件.‎ ‎【详解】‎ 在烧开水的等待时间里可以洗水壶、洗茶杯、取茶叶，然后再沏茶，故至少需要分钟，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实际问题中优化设计，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎5．用反证法证明命题:“若且，则全为”时，应假设为（　 　）‎ A．且 B．不全为 C．中至少有一个为 D．中只有一个为 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据结论的否定进行判断选择.‎ ‎【详解】‎ 因为全为的否定为不全为，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎6．若， ，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．的大小由的取值确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差法进行大小比较.‎ ‎【详解】‎ 因为,>0,‎ 所以，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎7．下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A．若为真命题，则均为真命题.‎ B．命题“若，则”的逆否命题为假命题.‎ C．命题：，则￢为：.‎ D．命题“若则或”的否命题为“若则或”.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合命题真假、四种命题真假关系以及命题的否定逐一判断.‎ ‎【详解】‎ 若为真命题，则至少有一个为真命题；‎ 命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题为真命题；‎ 命题：，则￢为：；‎ 命题“若则或”的否命题为“若则且”.‎ 综上选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题真假、四种命题真假关系以及命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎8．当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行循环，先判断后计算，直至跳出循环，输出结果.‎ ‎【详解】‎ 执行循环,得 结束循环，输出选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎9．给出下面类比推理命题（其中为有理数集， 为实数集， 为复数集）：‎ ‎①“若，则”类比推出“若，则”；‎ ‎②“若，则复数”类比推出“若，则”；‎ ‎③“若，则”类比推出“若，则”. 其中类比结论正确的个数是（　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为复数不能比较大小，所以命题③是不正确的；命题①，②都是正确的，应选答案C。‎ ‎10．一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可以看出乙、丁两人的观点是一致的，‎ ‎∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假．‎ 若乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，显然这两个结论是相互矛盾的，‎ ‎∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话．‎ 由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．选B．‎ ‎11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先转化为导函数在上恒非负，再利用变量分离转化为对应函数最值问题.‎ ‎【详解】‎ 由题意得在上恒成立，即，‎ 因为在上单调递增，所以，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导函数研究函数单调性，考查基本分析转化与求解能力，属中档题.‎ ‎12．已知双曲线：的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与圆相切得,根据双曲线定义可得,最后利用余弦定理得等式，解得离心率.‎ ‎【详解】‎ 因为直线与圆相切，所以,‎ 因为，所以, 根据双曲线定义可得,‎ 因此由余弦定理得 ‎，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线定义与离心率，考查基本分析转化与求解能力，属中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．将点的极坐标化为直角坐标为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：直接利用极坐标的公式化成直角坐标.‎ 详解：由题得所以点的直角坐标为.‎ 点睛：(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)点P化成直角坐标的公式为 ‎14．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，若，则的面积为 ______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线定义得P点坐标，再根据三角形面积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因此的面积为 ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.‎ ‎15．已知命题：存在，使得成立，命题对任意， 恒成立，若命题是真命题，则实数的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定各命题为真时实数 的取值范围，再根据复合命题真假得各命题真假，最后求交集得结果.‎ ‎【详解】‎ 命题：存在，使得成立，所以最小值1，即所以；‎ 命题对任意， 恒成立，所以;‎ 因为命题是真命题，所以是真命题，是假命题，即 ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假以及不等式恒成立与存在性问题，考查基本分析转化与求解能力，属中档题.‎ ‎16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数记为数列，将可被整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测：是数列中的第________项．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求数列通项公式，再确定取法，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以当时,可被整除,‎ 因此是数列中的第项．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式以及项数，考查基本分析转化与求解能力，属中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数，其中为实数，且在处取得的极值为.‎ ‎⑴求的表达式；‎ ‎⑵若在处的切线方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极值定义可列方程组，解得（2）根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，所以; ‎ 由在处取得的极值为，可得， ‎ 解之得：,经检验，符合题意 ‎ 所以 . ‎ ‎(2)由(1)可得，，，‎ 所以切线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极值以及导数几何意义，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.‎ ‎18．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生人，其中男生人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：‎ 超过小时 不超过小时 男 女 ‎（1）求；‎ ‎（2）能否有%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过小时与性别有关？‎ 附：‎ ‎【答案】（1），（2）没有%的把握 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层比例确定；（2）代入公式求，再对照数据确定把握率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知，该校有女生400人，故，得　　， ‎ 从而． 　　‎ ‎（2）作出列联表如下：‎ 超过小时的人数 不超过小时的人数 合计 男 女 合计 ‎． 　　‎ 所以没有%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过小时与性别有关．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.‎ ‎19．“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）年月日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是月日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近年“双十一”期间的宣传费用（单位：万元）和利润（单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：‎ ‎（万元）‎ ‎（十万元）‎ ‎（1）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系（当时，说明与之间具有线性相关关系）；‎ ‎（2）建立关于的线性回归方程（系数精确到），预测当宣传费用为万元时的利润.‎ 附参考公式：回归方程中和最小二乘估计公式分别为 ‎，，相关系数 参考数据：，，，‎ ‎【答案】（1）与之间具有线性相关关系（2） ,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求均值，再代入公式计算，最后作判断，（2）代入公式计算以及，再代入自变量得预测值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得， ‎ 又，，，‎ 所以 ‎ 所以，与之间具有线性相关关系. ‎ ‎（2）因为， 　　　 　 ‎ ‎（或，）‎ 所以关于的线性回归方程为 .‎ 当时，‎ 故可预测当宣传费用为万元时的利润为十万元（或万元）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解判断能力，属基础题.‎ ‎20．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求线段的距离．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程，根据得直线的直角坐标方程，（2）利用直线方程标准形式下参数几何意义求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）曲线化为普通方程为， .　　‎ 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为． 　　　　　　　 ‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），‎ 代入,化简得， ‎ 设两点所对应的参数分别为， ，‎ 则，∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎21．已知，动点满足,设动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于两点，若点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1） 　（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据斜率坐标公式化简条件即可，（2）设，结合向量数量积坐标表示，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：设动点，，动点M满足 ，‎ 可得：，得曲线C的方程： 　 ‎ ‎（2）由，得，显然.‎ 设，由韦达定理得：，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为定值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直接法求动点轨迹以及直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可得函数的定义域为，求出的导数，分当，当的情况讨论，可得的单调性；‎ ‎(2)可构造函数，可得，可设，则，可得 的最小值，可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数的定义域为，‎ ‎，，‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，由得，，‎ 则函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述，当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）设，‎ 则题意等价于：当时，恒成立，‎ ‎，‎ 设，则，所以在上单调递增.‎ 又，，‎ 所以存在唯一，使，即，‎ 且当时，，即，函数单调递减，‎ 当时，，即，函数单调递增.‎ 所以， .‎ 即.‎ 所以，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，及求参数的范围，着重考查分类讨论思想