2017-2018学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

沈阳铁路实验中学2017-2018学年度下学期期中考试试题 高二数学（理）‎ 时间：120分钟 分数：150分 命题人：殷裕民 校对：裴小航 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.复数的共轭复数为 ( )．‎ A．－i B.i C．－i D．i ‎2.若函数，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知函数， 满足， ， ， ，则函数的图象在处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知 ，猜想的表达式（ ）‎ A. ； B. ； C. ； D. .‎ ‎5.有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点. 以上推理中（ ）‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 ‎6.‎ 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）‎ 中国古代的算筹数码 A. B. C. D. ‎ ‎7.函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为 A. （-1，1） B. （1，+∞） C. （0，1） D. [-1，0）‎ ‎8.曲线y＝2lnx上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为(　　)‎ A. B. 2 C. 3 D. 2‎ ‎9.设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎10.从图中所示的矩形OABC区域内任取一点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知：函数， 、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)为其导函数，且f(x)f() C. f()>f () D. f(1)<2f()·sin 1‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)‎ ‎13.若复数z＝，则ln |z|＝________‎ ‎_________‎ ‎15.观察下列的数表：‎ ‎…… ……‎ 设是该数表第行第列的数，则__________．‎ ‎16.已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为___________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．其中第17题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（1）实数取何值时，复数是纯虚数.‎ ‎（2）已知复数满足：，求复数.‎ ‎18. (1)已知，求出满足的条件； ‎ ‎（2）已知中至少有一个小于2。‎ ‎19.已知函数．‎ ‎(1)求函数的单调区间和极值；‎ ‎(2)若对不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎20.已知函数 .‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程.‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎21.已知等式对一切正整数都成立。‎ ‎（1）求的值 ‎（2）试用数学归纳法证明此等式。‎ ‎22.已知函数f(x)＝ax＋xln x(a∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)在区间 [ e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；‎ ‎(2)当a＝1且k∈Z时，不等式k(x－1)0‎ ‎【解析】‎ 试题分析：证明：假设 都不小于2，则 2分 因为，所以，即，‎ ‎5分 这与已知相矛盾，故假设不成立。综上中至少有一个小于2。‎ ‎19.【答案】（1）函数的递增区间是与,递减区间是；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由， 得 ‎，函数的单调区间如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎- ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 ‎ ¯ ‎ 极小值 ‎ ‎ 所以函数的递增区间是与,递减区间是；‎ ‎（2），当时， ‎ 为极大值，而， 则为最大值，‎ 要使恒成立，则只需要，‎ 得 ‎20【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）函数的定义域，当时，计算可得：，，则切线方程为.‎ ‎（2），考查二次函数，分类讨论：‎ ‎①若，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎②若，为开口向上的二次函数，两个零点均在定义域上.则：‎ ‎（i）若，函数在和上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（ii）若，在上单调递增.‎ ‎（iii）若，函数在和上单调递增，在上单调递减.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域，‎ 当时，，，‎ ‎，∴切线方程为.‎ ‎（2），‎ 易知，令，‎ ‎①若，，∴在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎②若，为开口向上的二次函数，零点分别为0，，其中，‎ 即的两个零点均在定义域上.‎ ‎（i）若，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（ii）若，，图象恒在轴上方，恒成立，∴在上单调递增.‎ ‎（iii）若，，∴函数在和上单调递增，在上单调递减.‎ ‎21【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由等式对一切正整数都成立，‎ 不妨分别令，得 ‎，解得．‎ 所以所求的的值分别为．‎ ‎22.【答案】(1)[－2，＋∞)．(2)kmax＝3. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）依题意可得，函数在区间上为增函数等价于在 上恒成立，即在上恒成立，从而可得的取值范围；（2）不等式在上恒成立等价于对任意恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，从而可得的最小值，即可求得的最大值.‎ 试题解析：（1）依题意可得.‎ ‎∵函数在区间上为增函数[]‎ ‎∴在 上恒成立，即在上恒成立，即在 上恒成立，而.‎ ‎∴，即的取值范围为．‎ ‎(2)当时，.‎ ‎∵‎ ‎∴原不等式可化为，即对任意恒成立．‎ 令，则.‎ 令，则.‎ ‎∴在上单调递增．‎ ‎∵，‎ ‎∴ 存在使，即，即当时，，即；‎ 当时，，即.‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增．‎ 由，得，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴.‎