数学卷·2018届福建省福州市福清三中高二上学期期末数学模拟试卷(文科)(解析版)

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数学卷·2018届福建省福州市福清三中高二上学期期末数学模拟试卷(文科)(解析版)

全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年福建省福州市福清三中高二(上)期末数学模拟试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.椭圆x2+=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为(  )‎ A. B. C.2 D.4‎ ‎2.双曲线方程为=1,则渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=x ‎3.双曲线﹣=1的焦距是(  )‎ A.8 B.4 C.2 D.2‎ ‎4.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=(  )‎ A.e2 B.e C. D.ln2‎ ‎5.若函数f(x)=x3﹣x2+1,则(  )‎ A.最大值为1,最小值为 B.最大值为1,无最小值 C.最小值为,无最大值 D.既无最大值也无最小值 ‎6.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数y=(3﹣x2)ex的单调递增区间是(  )‎ A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,﹣3)和(1,+∞) D.(﹣3,1)‎ ‎8.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则(  )‎ A.a<﹣1 B.a>﹣1 C. D.‎ ‎9.函数y=的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°的直线,交抛物线于A,B两点(A在x轴上方),那么=(  )‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎11.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+1(a≠0),下列结论中错误的是(  )‎ A.∃x0∈R,使得f(x0)=0‎ B.函数y=f(x)的图象一定是中心对称图形 C.若x0是函数f(x)的极值点,则f'(x0)=0‎ D.若x0是函数f(x)的极小值点,则函数f(x)在区间(﹣∞,x0)上单调递减 ‎12.已知曲线Γ:y=ex和直线l:y=kx,若直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ上,则k的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣e) B.(﹣∞,﹣e] C.(﹣e,0) D.[﹣e,0)‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.抛物线y2=﹣x的准线方程是  .‎ ‎14.抛物线y 2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M的横坐标x=  .‎ ‎15.函数y=在x=m处取到极大值,则m=  .‎ ‎16.已知函数f(x)=lnx+(x﹣a)2(a∈R)在区间[,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,17题10分,其它每题12分,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知抛物线y=x2在点A(1,1)处的切线为l.‎ ‎(1)求切线l的方程;‎ ‎(2)若切线l经过椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和顶点,求该椭圆的方程.‎ ‎18.设函数f(x)=2x3﹣12x+c的图象经过原点.‎ ‎(1)求c的值及函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)求函数f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.‎ ‎19.在对人们休闲方式的一次调查中,仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查. 调查结果:接受调查总人数110人,其中男、女各55人;受调查者中,女性有30人比较喜欢看电视,男性有35人比较喜欢运动.‎ ‎(Ⅰ)请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表;‎ 看电视 运动 合计 女 男 合计 ‎(Ⅱ)已知P(K2≥3.841)=0.05.能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”?‎ ‎(注:K2=,(其中n=a+b+c+d为样本容量))‎ ‎20.已知椭圆G: +=1(a>b>0)的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知点P(﹣3,2),若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点,试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在?若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.‎ ‎21.已知函数f(x)=ex﹣ax+1,其中a为实常数,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;‎ ‎(3)已知a>0,并设函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≤2.‎ ‎22.已知函数f(x)=lnx+ax2,其中a为实常数.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的极值点个数;‎ ‎(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年福建省福州市福清三中高二(上)期末数学模拟试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.椭圆x2+=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为(  )‎ A. B. C.2 D.4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由题意可得a2=1,b2=m,求出a,b的值,结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m值.‎ ‎【解答】解:∵椭圆的焦点在x轴上,‎ ‎∴a2=1,b2=m,则a=1,b=,‎ 又长轴长是短轴长的两倍,‎ ‎∴2=,即m=.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.双曲线方程为=1,则渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=x ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程,化简即可得到所求.‎ ‎【解答】解:∵双曲线方程为,则渐近线方程为,即,‎ 故选 A.‎ ‎ ‎ ‎3.双曲线﹣=1的焦距是(  )‎ A.8 B.4 C.2 D.2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用双曲线﹣=1,求出c,即可求出双曲线﹣=1的焦距.‎ ‎【解答】解:双曲线﹣=1中a=2,b=2,‎ ‎∴c=4,‎ ‎∴焦距是2c=8.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=(  )‎ A.e2 B.e C. D.ln2‎ ‎【考点】导数的乘法与除法法则.‎ ‎【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数,求出f'(x0)=2解方程即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=xlnx ‎∴‎ ‎∵f′(x0)=2‎ ‎∴lnx0+1=2‎ ‎∴x0=e,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.若函数f(x)=x3﹣x2+1,则(  )‎ A.最大值为1,最小值为 B.最大值为1,无最小值 C.最小值为,无最大值 D.既无最大值也无最小值 ‎【考点】函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】求函数的导数,利用导数研究函数的极值和最值,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=x3﹣x2+1,‎ ‎∴f′(x)=3x2﹣3x=3x(x﹣1),‎ 则由f′(x)=3x(x﹣1)>0,解得x>1或x<0,此时函数单调递增,‎ 由f′(x)=3x(x﹣1)<0,解得0<x<1,此时函数单调递减,‎ 即函数在x=0处取得极大值,在x=1处取得极小值,无最大值和最小值.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标,进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0,进而求得椭圆的离心率e.‎ ‎【解答】解:由题意知点P的坐标为(﹣c,)或(﹣c,﹣),‎ ‎∵∠F1PF2=60°,‎ ‎∴=,‎ 即2ac=b2=(a2﹣c2).‎ ‎∴e2+2e﹣=0,‎ ‎∴e=或e=﹣(舍去).‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.函数y=(3﹣x2)ex的单调递增区间是(  )‎ A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,﹣3)和(1,+∞) D.(﹣3,1)‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】求导函数,令其大于0,解不等式,即可得到函数的单调递增区间.‎ ‎【解答】解:求导函数得:y′=(﹣x2﹣2x+3)ex 令y′=(﹣x2﹣2x+3)ex>0,可得x2+2x﹣3<0‎ ‎∴﹣3<x<1‎ ‎∴函数y=(3﹣x2)ex的单调递增区间是(﹣3,1)‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则(  )‎ A.a<﹣1 B.a>﹣1 C. D.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】先对函数进行求导令导函数等于0,原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根,然后转化为两个函数观察交点,确定a的范围.‎ ‎【解答】解:∵y=ex+ax,‎ ‎∴y'=ex+a.‎ 由题意知ex+a=0有大于0的实根,令y1=ex,y2=﹣a,则两曲线交点在第一象限,‎ 结合图象易得﹣a>1⇒a<﹣1,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.函数y=的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】根据函数的变化趋势即可判断答案.‎ ‎【解答】解:当x→﹣∞时,3x﹣1→﹣1,故f(x)→+∞,‎ 当x→+∞时,3x﹣1→+∞,故f(x)→0,‎ 又因为函数的定义域为x≠0,‎ 综上可以判断C正确,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°的直线,交抛物线于A,B两点(A在x轴上方),那么=(  )‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】设出A、B坐标,利用抛物线焦半径公式求出|AB|,结合抛物线的性质,求出A、B的坐标,然后求比值即可.‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则抛物线y2=4x中p=2.‎ ‎|AB|=x1+x2+p==‎ ‎∴x1+x2=,‎ 又x1x2==1,可得x1=3,x2=,‎ 则==3,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+1(a≠0),下列结论中错误的是(  )‎ A.∃x0∈R,使得f(x0)=0‎ B.函数y=f(x)的图象一定是中心对称图形 C.若x0是函数f(x)的极值点,则f'(x0)=0‎ D.若x0是函数f(x)的极小值点,则函数f(x)在区间(﹣∞,x0)上单调递减 ‎【考点】利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】A.不妨设a>0,则x→﹣∞时,f(x)→﹣∞;x→+∞时,f(x)→+∞,即可判断出结论.‎ B.f′(x)=3ax2+2bx+c,f″(x)=6ax+2b,由于f″(x)=6a×(﹣)+2b=0,可得函数f(x)关于点对称,即可判断出结论.‎ C.利用函数极值点的必要条件即可判断出结论.‎ D.若a>0,f′(x)=3ax2+2bx+c,则二次函数y=3ax2+2bx+c的图象开口向上.若x1,x0是函数f(x)的极值点,且x0是函数f(x)的极小值点,则x1<x0,利用导数即可判断出其单调区间.‎ ‎【解答】解:A.不妨设a>0,则x→﹣∞时,f(x)→﹣∞;x→+∞时,f(x)→+∞,因此函数∃x0∈R,使得f(x0)=0,正确.‎ B.∵f(x)=ax3+bx2+cx+1(a≠0),∴f′(x)=3ax2+2bx+c,f″(x)=6ax+2b,∵f″(x)=6a×(﹣)+2b=0,∴函数f(x)关于点对称,正确.‎ C.若x0是函数f(x)的极值点,则f'(x0)=0,正确.‎ D.若a>0,f′(x)=3ax2+2bx+c,则二次函数y=3ax2+2bx+c的图象开口向上.‎ 若x1,x0是函数f(x)的极值点,且x0是函数f(x)的极小值点,则x1<x0,因此函数f(x)的单调递减区间为(x1,x0),单调递增区间为:(﹣∞,x1),(x0,+∞),因此不正确.‎ 综上可知:只有D错误.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.已知曲线Γ:y=ex和直线l:y=kx,若直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ上,则k的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣e) B.(﹣∞,﹣e] C.(﹣e,0) D.[﹣e,0)‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】求出l关于y轴的对称直线方程,把直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ:y=ex上,转化为直线y=﹣kx与y=ex有两个交点,然后求出过原点与曲线Γ:y=ex相切的直线的斜率得答案.‎ ‎【解答】解:直线l:y=kx关于y轴的对称直线方程为y=﹣kx,‎ 要使直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ:y=ex上,‎ 则直线y=﹣kx与y=ex有两个交点,‎ 如图,设过原点的直线切曲线y=ex于P(),‎ 由y=ex,得y′=ex,∴,‎ 则切线方程为y﹣=(x﹣x0),‎ 把O(0,0)代入,可得x0=1,‎ ‎∴切线的斜率k=e1=e,‎ ‎∴﹣k>e,则k<﹣e.‎ ‎∴k的取值范围是(﹣∞,﹣e).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.抛物线y2=﹣x的准线方程是  .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】抛物线y2=﹣x,焦点在x轴上,开口向左,2p=1,由此可得抛物线的准线方程.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=﹣x,焦点在x轴上,开口向左,2p=1,∴=‎ ‎∴抛物线y2=﹣x的准线方程是 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎14.抛物线y 2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M的横坐标x= 2 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】由抛物线的方程求出,再由已知结合抛物线定义求得点M的横坐标.‎ ‎【解答】解:由抛物线y 2=4x,得2p=4,p=2,∴.‎ ‎∵M在抛物线y 2=4x上,且|MF|=3,‎ ‎∴xM+1=3,即xM=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎15.函数y=在x=m处取到极大值,则m= 1 .‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】求导数便得到,从而可判断导数符号,根据符号即可得出该函数的极大值点,从而得出m的值.‎ ‎【解答】解: =;‎ ‎∴x<﹣3时,y′<0,﹣3<x<1时,y′>0,x>1时,y′<0;‎ ‎∴x=1时,原函数取得极大值;‎ ‎∴m=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎16.已知函数f(x)=lnx+(x﹣a)2(a∈R)在区间[,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是 (﹣∞,) .‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】利用导函数得到不等式恒成立,然后求解a的范围.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)在区间[,2]上存在单调增区间,‎ ‎∴函数f(x)在区间[,2]上存在子区间使得不等式f′(x)>0成立.‎ f′(x)=+2(x﹣a)]=,‎ 设h(x)=2x2﹣2ax+1,则h(2)>0或h()>0,‎ 即8﹣4a+1>0或﹣a+1>0,‎ 得a<‎ 故答案为:(﹣∞,).‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,17题10分,其它每题12分,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知抛物线y=x2在点A(1,1)处的切线为l.‎ ‎(1)求切线l的方程;‎ ‎(2)若切线l经过椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和顶点,求该椭圆的方程.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)求导,由抛物线在点A(1,1)处的切线为l的斜率k=k切=y'|x=1=2,由点斜式方程即可求得切线l的方程;‎ ‎(2)由题意可知求得切线与x和y的轴的焦点,求得c和b的值,由椭圆的性质可知a2=b2+c2,即可求得该椭圆的方程.‎ ‎【解答】解:(1)k切=y'|x=1=2x|x=1=2,…‎ 切点A(1,1),所以切线l的方程为y﹣1=2(x﹣1)‎ 即y=2x﹣1…‎ ‎(2)令y=0,则x=,所以切线与x轴的交点为…‎ 令x=0,则y=﹣1,所以切线与y轴的交点为C(0,﹣1)‎ 所以,‎ 所求椭圆方程为.‎ ‎ ‎ ‎18.设函数f(x)=2x3﹣12x+c的图象经过原点.‎ ‎(1)求c的值及函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)求函数f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)由f(0)=0,求出c的值,求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间即可;(2)根据函数的单调性求出函数的最值即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(0)=0∴c=0…(2),‎ ‎∴f(x)=2x3﹣12x…‎ ‎∴,…‎ 列表如下:‎ x f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 所以函数f(x)的单调增区间是和…‎ 递减区间是…‎ ‎(2)∵f(﹣1)=10,,f(3)=18‎ ‎∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是f(3)=18,最小值是…‎ ‎ ‎ ‎19.在对人们休闲方式的一次调查中,仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查. 调查结果:接受调查总人数110人,其中男、女各55人;受调查者中,女性有30人比较喜欢看电视,男性有35人比较喜欢运动.‎ ‎(Ⅰ)请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表;‎ 看电视 运动 合计 女 男 合计 ‎(Ⅱ)已知P(K2≥3.841)=0.05.能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”?‎ ‎(注:K2=,(其中n=a+b+c+d为样本容量))‎ ‎【考点】独立性检验.‎ ‎【分析】(I)由题意填写列联表即可;‎ ‎(II)代入数据计算K2的观测值,比较观测值与3.841的大小,判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据题目所提供的调查结果,可得下列2×2列联表:‎ 看电视 运动 合计 女 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ 男 ‎20‎ ‎35‎ ‎55‎ 合计 ‎50‎ ‎60‎ ‎110‎ ‎(Ⅱ)根据列联表中的数据,可计算K2的观测值k:,‎ ‎∵k=3.67<k0=3.841,‎ ‎∵不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”.‎ ‎ ‎ ‎20.已知椭圆G: +=1(a>b>0)的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知点P(﹣3,2),若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点,试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在?若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设椭圆G的右焦点为F(c,0),由题意可得:b=c,且b2+c2=8,由此能求出椭圆G的方程.‎ ‎(Ⅱ)以AB为底的等腰三角形ABP存在.设斜率为1的直线l的方程为y=x+m,代入中,得:3x2+4mx+2m2﹣8=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出直线l的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设椭圆G的右焦点为F(c,0),‎ 由题意可得:b=c,且b2+c2=8,∴b2=c2=4,‎ 故a2=b2+c2=8,‎ ‎∴椭圆G的方程为 ‎(Ⅱ)以AB为底的等腰三角形ABP存在.理由如下 设斜率为1的直线l的方程为y=x+m,代入中,‎ 化简得:3x2+4mx+2m2﹣8=0,①‎ 因为直线l与椭圆G相交于A,B两点,‎ ‎∴△=16m2﹣12(2m2﹣8)>0,‎ 解得﹣2,②‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,.③‎ 于是AB的中点M(x0,y0)满足=﹣,.‎ 已知点P(﹣3,2),若以AB为底的等腰三角形ABP存在,‎ 则kPM=﹣1,即=﹣1,④,将M(﹣)代入④式,‎ 得m=3∈(﹣2,2)满足②‎ 此时直线l的方程为y=x+3.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=ex﹣ax+1,其中a为实常数,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;‎ ‎(3)已知a>0,并设函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≤2.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;‎ ‎(2)求出函数的导数,问题转化为ex≥a恒成立,从而求出a的范围即可;‎ ‎(3)求出f(x)的最小值,问题转化为只需证明gmax(a)≤2,根据函数的单调性证明即可.‎ ‎【解答】解:(1)函数的定义域:R …‎ 当a=e时,f'(x)=ex﹣e…‎ 令f'(x)=0解得x=1,‎ 令f′(x)>0,解得:x>1,令f′(x)<0,解得:x<1,‎ 所以f(x)的单调递减区间是(﹣∞,1),递增区间是(1,+∞)…‎ ‎(2)因为f(x)在定义域内单调递增,‎ 则f'(x)=ex﹣a≥0在R上恒成立…,‎ 即ex≥a恒成立,ex>0…所以a≤0.…‎ ‎(3)证明:f'(x)=ex﹣a 当a>0时令f'(x)=0,解得x=lna,‎ 令f′(x)>0,解得:x>lna,令f′(x)<0,解得:x<lna,‎ ‎∴f(x)在(﹣∞,lna)递减,在(lna,+∞)递增,‎ 所以g(a)=fmin(x)=f(lna)=a﹣alna+1…‎ 要证明g(a)≤2,则只需证明gmax(a)≤2…‎ 而g'(a)=﹣lna令g'(a)=0,解得a=1,…‎ 令g′(a)>0,解得:a<1,令g′(a)<0,解得:a>1,‎ 所以gmax(a)=g(1)=2≤2成立.‎ ‎∴g(a)≤2….‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数f(x)=lnx+ax2,其中a为实常数.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的极值点个数;‎ ‎(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)求导数,分类讨论,确定导数为0方程解的个数,即可讨论函数f(x)的极值点个数;‎ ‎(2)由(1)可知①当a≥0时,f(x)为增函数,至多只有一个零点,不合;②当a<0时,要使得函数f(x)有两个零点,则须且只需fmax(x)>0,即可求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)定义域:(0,+∞)……‎ ‎①当a≥0时,因为x>0,所以f'(x)>0在定义域内恒成立,∴f(x)无极值点.…‎ ‎②当a<0时,,‎ 令f'(x)=0,则或(舍去)…‎ 可知f(x)有一个极大值点,无极小值点.即极值点个数为1.…‎ 综上,当a≥0时,f(x)无极值点,当a<0时,有且只有一个极值点.…‎ ‎(2)由(1)可知①当a≥0时,f(x)为增函数,至多只有一个零点,不合.…‎ ‎②当a<0时,,…‎ 当x→+∞时,f(x)→﹣∞;当x→0+时,f(x)→﹣∞,…‎ 要使得函数f(x)有两个零点,则须且只需fmax(x)>0,…‎ 即解得,…‎ 又a<0,所以 综上:a的取值范围是…‎ ‎ ‎ ‎2017年1月24日
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