- 2021-06-21 发布 |
- 37.5 KB |
- 20页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
数学卷·2018届福建省福州市福清三中高二上学期期末数学模拟试卷(文科)(解析版)
全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年福建省福州市福清三中高二(上)期末数学模拟试卷(文科) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆x2+=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为( ) A. B. C.2 D.4 2.双曲线方程为=1,则渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=x 3.双曲线﹣=1的焦距是( ) A.8 B.4 C.2 D.2 4.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=( ) A.e2 B.e C. D.ln2 5.若函数f(x)=x3﹣x2+1,则( ) A.最大值为1,最小值为 B.最大值为1,无最小值 C.最小值为,无最大值 D.既无最大值也无最小值 6.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 7.函数y=(3﹣x2)ex的单调递增区间是( ) A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,﹣3)和(1,+∞) D.(﹣3,1) 8.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则( ) A.a<﹣1 B.a>﹣1 C. D. 9.函数y=的图象大致是( ) A. B. C. D. 10.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°的直线,交抛物线于A,B两点(A在x轴上方),那么=( ) A. B. C.3 D.2 11.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+1(a≠0),下列结论中错误的是( ) A.∃x0∈R,使得f(x0)=0 B.函数y=f(x)的图象一定是中心对称图形 C.若x0是函数f(x)的极值点,则f'(x0)=0 D.若x0是函数f(x)的极小值点,则函数f(x)在区间(﹣∞,x0)上单调递减 12.已知曲线Γ:y=ex和直线l:y=kx,若直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ上,则k的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣e) B.(﹣∞,﹣e] C.(﹣e,0) D.[﹣e,0) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.抛物线y2=﹣x的准线方程是 . 14.抛物线y 2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M的横坐标x= . 15.函数y=在x=m处取到极大值,则m= . 16.已知函数f(x)=lnx+(x﹣a)2(a∈R)在区间[,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是 . 三、解答题:本大题共6小题,17题10分,其它每题12分,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知抛物线y=x2在点A(1,1)处的切线为l. (1)求切线l的方程; (2)若切线l经过椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和顶点,求该椭圆的方程. 18.设函数f(x)=2x3﹣12x+c的图象经过原点. (1)求c的值及函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值. 19.在对人们休闲方式的一次调查中,仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查. 调查结果:接受调查总人数110人,其中男、女各55人;受调查者中,女性有30人比较喜欢看电视,男性有35人比较喜欢运动. (Ⅰ)请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表; 看电视 运动 合计 女 男 合计 (Ⅱ)已知P(K2≥3.841)=0.05.能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”? (注:K2=,(其中n=a+b+c+d为样本容量)) 20.已知椭圆G: +=1(a>b>0)的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上. (1)求椭圆的方程; (2)已知点P(﹣3,2),若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点,试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在?若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由. 21.已知函数f(x)=ex﹣ax+1,其中a为实常数,e=2.71828…为自然对数的底数. (1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围; (3)已知a>0,并设函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≤2. 22.已知函数f(x)=lnx+ax2,其中a为实常数. (1)讨论函数f(x)的极值点个数; (2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2016-2017学年福建省福州市福清三中高二(上)期末数学模拟试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆x2+=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为( ) A. B. C.2 D.4 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由题意可得a2=1,b2=m,求出a,b的值,结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m值. 【解答】解:∵椭圆的焦点在x轴上, ∴a2=1,b2=m,则a=1,b=, 又长轴长是短轴长的两倍, ∴2=,即m=. 故选:A. 2.双曲线方程为=1,则渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=x 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程,化简即可得到所求. 【解答】解:∵双曲线方程为,则渐近线方程为,即, 故选 A. 3.双曲线﹣=1的焦距是( ) A.8 B.4 C.2 D.2 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线﹣=1,求出c,即可求出双曲线﹣=1的焦距. 【解答】解:双曲线﹣=1中a=2,b=2, ∴c=4, ∴焦距是2c=8. 故选:A. 4.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=( ) A.e2 B.e C. D.ln2 【考点】导数的乘法与除法法则. 【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数,求出f'(x0)=2解方程即可. 【解答】解:∵f(x)=xlnx ∴ ∵f′(x0)=2 ∴lnx0+1=2 ∴x0=e, 故选B. 5.若函数f(x)=x3﹣x2+1,则( ) A.最大值为1,最小值为 B.最大值为1,无最小值 C.最小值为,无最大值 D.既无最大值也无最小值 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】求函数的导数,利用导数研究函数的极值和最值,即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)=x3﹣x2+1, ∴f′(x)=3x2﹣3x=3x(x﹣1), 则由f′(x)=3x(x﹣1)>0,解得x>1或x<0,此时函数单调递增, 由f′(x)=3x(x﹣1)<0,解得0<x<1,此时函数单调递减, 即函数在x=0处取得极大值,在x=1处取得极小值,无最大值和最小值. 故选:D. 6.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标,进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0,进而求得椭圆的离心率e. 【解答】解:由题意知点P的坐标为(﹣c,)或(﹣c,﹣), ∵∠F1PF2=60°, ∴=, 即2ac=b2=(a2﹣c2). ∴e2+2e﹣=0, ∴e=或e=﹣(舍去). 故选B. 7.函数y=(3﹣x2)ex的单调递增区间是( ) A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,﹣3)和(1,+∞) D.(﹣3,1) 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】求导函数,令其大于0,解不等式,即可得到函数的单调递增区间. 【解答】解:求导函数得:y′=(﹣x2﹣2x+3)ex 令y′=(﹣x2﹣2x+3)ex>0,可得x2+2x﹣3<0 ∴﹣3<x<1 ∴函数y=(3﹣x2)ex的单调递增区间是(﹣3,1) 故选D. 8.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则( ) A.a<﹣1 B.a>﹣1 C. D. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】先对函数进行求导令导函数等于0,原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根,然后转化为两个函数观察交点,确定a的范围. 【解答】解:∵y=ex+ax, ∴y'=ex+a. 由题意知ex+a=0有大于0的实根,令y1=ex,y2=﹣a,则两曲线交点在第一象限, 结合图象易得﹣a>1⇒a<﹣1, 故选A. 9.函数y=的图象大致是( ) A. B. C. D. 【考点】函数的图象. 【分析】根据函数的变化趋势即可判断答案. 【解答】解:当x→﹣∞时,3x﹣1→﹣1,故f(x)→+∞, 当x→+∞时,3x﹣1→+∞,故f(x)→0, 又因为函数的定义域为x≠0, 综上可以判断C正确, 故选:C. 10.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°的直线,交抛物线于A,B两点(A在x轴上方),那么=( ) A. B. C.3 D.2 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设出A、B坐标,利用抛物线焦半径公式求出|AB|,结合抛物线的性质,求出A、B的坐标,然后求比值即可. 【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则抛物线y2=4x中p=2. |AB|=x1+x2+p== ∴x1+x2=, 又x1x2==1,可得x1=3,x2=, 则==3, 故选:C. 11.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+1(a≠0),下列结论中错误的是( ) A.∃x0∈R,使得f(x0)=0 B.函数y=f(x)的图象一定是中心对称图形 C.若x0是函数f(x)的极值点,则f'(x0)=0 D.若x0是函数f(x)的极小值点,则函数f(x)在区间(﹣∞,x0)上单调递减 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】A.不妨设a>0,则x→﹣∞时,f(x)→﹣∞;x→+∞时,f(x)→+∞,即可判断出结论. B.f′(x)=3ax2+2bx+c,f″(x)=6ax+2b,由于f″(x)=6a×(﹣)+2b=0,可得函数f(x)关于点对称,即可判断出结论. C.利用函数极值点的必要条件即可判断出结论. D.若a>0,f′(x)=3ax2+2bx+c,则二次函数y=3ax2+2bx+c的图象开口向上.若x1,x0是函数f(x)的极值点,且x0是函数f(x)的极小值点,则x1<x0,利用导数即可判断出其单调区间. 【解答】解:A.不妨设a>0,则x→﹣∞时,f(x)→﹣∞;x→+∞时,f(x)→+∞,因此函数∃x0∈R,使得f(x0)=0,正确. B.∵f(x)=ax3+bx2+cx+1(a≠0),∴f′(x)=3ax2+2bx+c,f″(x)=6ax+2b,∵f″(x)=6a×(﹣)+2b=0,∴函数f(x)关于点对称,正确. C.若x0是函数f(x)的极值点,则f'(x0)=0,正确. D.若a>0,f′(x)=3ax2+2bx+c,则二次函数y=3ax2+2bx+c的图象开口向上. 若x1,x0是函数f(x)的极值点,且x0是函数f(x)的极小值点,则x1<x0,因此函数f(x)的单调递减区间为(x1,x0),单调递增区间为:(﹣∞,x1),(x0,+∞),因此不正确. 综上可知:只有D错误. 故选:D. 12.已知曲线Γ:y=ex和直线l:y=kx,若直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ上,则k的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣e) B.(﹣∞,﹣e] C.(﹣e,0) D.[﹣e,0) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出l关于y轴的对称直线方程,把直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ:y=ex上,转化为直线y=﹣kx与y=ex有两个交点,然后求出过原点与曲线Γ:y=ex相切的直线的斜率得答案. 【解答】解:直线l:y=kx关于y轴的对称直线方程为y=﹣kx, 要使直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ:y=ex上, 则直线y=﹣kx与y=ex有两个交点, 如图,设过原点的直线切曲线y=ex于P(), 由y=ex,得y′=ex,∴, 则切线方程为y﹣=(x﹣x0), 把O(0,0)代入,可得x0=1, ∴切线的斜率k=e1=e, ∴﹣k>e,则k<﹣e. ∴k的取值范围是(﹣∞,﹣e). 故选:A. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.抛物线y2=﹣x的准线方程是 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】抛物线y2=﹣x,焦点在x轴上,开口向左,2p=1,由此可得抛物线的准线方程. 【解答】解:抛物线y2=﹣x,焦点在x轴上,开口向左,2p=1,∴= ∴抛物线y2=﹣x的准线方程是 故答案为: 14.抛物线y 2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M的横坐标x= 2 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由抛物线的方程求出,再由已知结合抛物线定义求得点M的横坐标. 【解答】解:由抛物线y 2=4x,得2p=4,p=2,∴. ∵M在抛物线y 2=4x上,且|MF|=3, ∴xM+1=3,即xM=2. 故答案为:2. 15.函数y=在x=m处取到极大值,则m= 1 . 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求导数便得到,从而可判断导数符号,根据符号即可得出该函数的极大值点,从而得出m的值. 【解答】解: =; ∴x<﹣3时,y′<0,﹣3<x<1时,y′>0,x>1时,y′<0; ∴x=1时,原函数取得极大值; ∴m=1. 故答案为:1. 16.已知函数f(x)=lnx+(x﹣a)2(a∈R)在区间[,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是 (﹣∞,) . 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】利用导函数得到不等式恒成立,然后求解a的范围. 【解答】解:∵函数f(x)在区间[,2]上存在单调增区间, ∴函数f(x)在区间[,2]上存在子区间使得不等式f′(x)>0成立. f′(x)=+2(x﹣a)]=, 设h(x)=2x2﹣2ax+1,则h(2)>0或h()>0, 即8﹣4a+1>0或﹣a+1>0, 得a< 故答案为:(﹣∞,). 三、解答题:本大题共6小题,17题10分,其它每题12分,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知抛物线y=x2在点A(1,1)处的切线为l. (1)求切线l的方程; (2)若切线l经过椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和顶点,求该椭圆的方程. 【考点】椭圆的简单性质;抛物线的简单性质. 【分析】(1)求导,由抛物线在点A(1,1)处的切线为l的斜率k=k切=y'|x=1=2,由点斜式方程即可求得切线l的方程; (2)由题意可知求得切线与x和y的轴的焦点,求得c和b的值,由椭圆的性质可知a2=b2+c2,即可求得该椭圆的方程. 【解答】解:(1)k切=y'|x=1=2x|x=1=2,… 切点A(1,1),所以切线l的方程为y﹣1=2(x﹣1) 即y=2x﹣1… (2)令y=0,则x=,所以切线与x轴的交点为… 令x=0,则y=﹣1,所以切线与y轴的交点为C(0,﹣1) 所以, 所求椭圆方程为. 18.设函数f(x)=2x3﹣12x+c的图象经过原点. (1)求c的值及函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)由f(0)=0,求出c的值,求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间即可;(2)根据函数的单调性求出函数的最值即可. 【解答】解:(1)∵f(0)=0∴c=0…(2), ∴f(x)=2x3﹣12x… ∴,… 列表如下: x f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以函数f(x)的单调增区间是和… 递减区间是… (2)∵f(﹣1)=10,,f(3)=18 ∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是f(3)=18,最小值是… 19.在对人们休闲方式的一次调查中,仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查. 调查结果:接受调查总人数110人,其中男、女各55人;受调查者中,女性有30人比较喜欢看电视,男性有35人比较喜欢运动. (Ⅰ)请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表; 看电视 运动 合计 女 男 合计 (Ⅱ)已知P(K2≥3.841)=0.05.能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”? (注:K2=,(其中n=a+b+c+d为样本容量)) 【考点】独立性检验. 【分析】(I)由题意填写列联表即可; (II)代入数据计算K2的观测值,比较观测值与3.841的大小,判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”. 【解答】解:(Ⅰ)根据题目所提供的调查结果,可得下列2×2列联表: 看电视 运动 合计 女 30 25 55 男 20 35 55 合计 50 60 110 (Ⅱ)根据列联表中的数据,可计算K2的观测值k:, ∵k=3.67<k0=3.841, ∵不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”. 20.已知椭圆G: +=1(a>b>0)的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上. (1)求椭圆的方程; (2)已知点P(﹣3,2),若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点,试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在?若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(Ⅰ)设椭圆G的右焦点为F(c,0),由题意可得:b=c,且b2+c2=8,由此能求出椭圆G的方程. (Ⅱ)以AB为底的等腰三角形ABP存在.设斜率为1的直线l的方程为y=x+m,代入中,得:3x2+4mx+2m2﹣8=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出直线l的方程. 【解答】解:(Ⅰ)设椭圆G的右焦点为F(c,0), 由题意可得:b=c,且b2+c2=8,∴b2=c2=4, 故a2=b2+c2=8, ∴椭圆G的方程为 (Ⅱ)以AB为底的等腰三角形ABP存在.理由如下 设斜率为1的直线l的方程为y=x+m,代入中, 化简得:3x2+4mx+2m2﹣8=0,① 因为直线l与椭圆G相交于A,B两点, ∴△=16m2﹣12(2m2﹣8)>0, 解得﹣2,② 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,.③ 于是AB的中点M(x0,y0)满足=﹣,. 已知点P(﹣3,2),若以AB为底的等腰三角形ABP存在, 则kPM=﹣1,即=﹣1,④,将M(﹣)代入④式, 得m=3∈(﹣2,2)满足② 此时直线l的方程为y=x+3. 21.已知函数f(x)=ex﹣ax+1,其中a为实常数,e=2.71828…为自然对数的底数. (1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围; (3)已知a>0,并设函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≤2. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)求出函数的导数,问题转化为ex≥a恒成立,从而求出a的范围即可; (3)求出f(x)的最小值,问题转化为只需证明gmax(a)≤2,根据函数的单调性证明即可. 【解答】解:(1)函数的定义域:R … 当a=e时,f'(x)=ex﹣e… 令f'(x)=0解得x=1, 令f′(x)>0,解得:x>1,令f′(x)<0,解得:x<1, 所以f(x)的单调递减区间是(﹣∞,1),递增区间是(1,+∞)… (2)因为f(x)在定义域内单调递增, 则f'(x)=ex﹣a≥0在R上恒成立…, 即ex≥a恒成立,ex>0…所以a≤0.… (3)证明:f'(x)=ex﹣a 当a>0时令f'(x)=0,解得x=lna, 令f′(x)>0,解得:x>lna,令f′(x)<0,解得:x<lna, ∴f(x)在(﹣∞,lna)递减,在(lna,+∞)递增, 所以g(a)=fmin(x)=f(lna)=a﹣alna+1… 要证明g(a)≤2,则只需证明gmax(a)≤2… 而g'(a)=﹣lna令g'(a)=0,解得a=1,… 令g′(a)>0,解得:a<1,令g′(a)<0,解得:a>1, 所以gmax(a)=g(1)=2≤2成立. ∴g(a)≤2…. 22.已知函数f(x)=lnx+ax2,其中a为实常数. (1)讨论函数f(x)的极值点个数; (2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)求导数,分类讨论,确定导数为0方程解的个数,即可讨论函数f(x)的极值点个数; (2)由(1)可知①当a≥0时,f(x)为增函数,至多只有一个零点,不合;②当a<0时,要使得函数f(x)有两个零点,则须且只需fmax(x)>0,即可求a的取值范围. 【解答】解:(1)定义域:(0,+∞)…… ①当a≥0时,因为x>0,所以f'(x)>0在定义域内恒成立,∴f(x)无极值点.… ②当a<0时,, 令f'(x)=0,则或(舍去)… 可知f(x)有一个极大值点,无极小值点.即极值点个数为1.… 综上,当a≥0时,f(x)无极值点,当a<0时,有且只有一个极值点.… (2)由(1)可知①当a≥0时,f(x)为增函数,至多只有一个零点,不合.… ②当a<0时,,… 当x→+∞时,f(x)→﹣∞;当x→0+时,f(x)→﹣∞,… 要使得函数f(x)有两个零点,则须且只需fmax(x)>0,… 即解得,… 又a<0,所以 综上:a的取值范围是… 2017年1月24日查看更多