2020高中数学阶段复习课 第2课 函数及其基本性质章末综合测评1 新人教A版必修1
章末综合测评(一) 集合与函数概念
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|－3
B [当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图象开口朝上，a>0且－≥4，得0f>f(2)，即f(2)0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是( )
【导学号：37102196】
A．1 B．2
C．3 D．4
C [f(x)在R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即④正确．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
{4,9,16} [由A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，得B＝{4,9,16}．]
14．若函数f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，则f(x)的增区间是________.
【导学号：37102197】
(－∞，0] [∵函数f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，∴a－1＝0，∴f(x)＝－x2＋3，其图象是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线．故f(x)的增区间为(－∞，0]．]
15．设f＝，则f(x)＝________.
(x>－1) [令t＝－1，解得x＝，代入得f(t)＝，又因为x>0，所以t>－1，故f(x)的解析式为f(x)＝(x>－1)．]
16．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
【导学号：37102198】
(－1,3) [∵f(x)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称．
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又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，
由f(x－1)>0，得－2a}，A⊆C，求a的取值范围．
[解] (1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2a}．
又A⊆C，如图，
∴a的取值范围为{a|a<3}．
18．(本小题满分12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
【导学号：37102199】
[解] 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)0时，f(x)＝x2－x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的增区间.
【导学号：37102200】
[解] (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.
又因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.
当x＝0时，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)＝
(2)作出函数图象，如图所示．
由函数图象易得函数的增区间为
，.
21．(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝4x－1.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值与最小值．
[解] (1)由题意可设f(x)＝ax＋b，a＜0，由于f(f(x))＝4x－1，则a2x＋ab＋b＝4x－1，
故解得a＝－2，b＝1.故f(x)＝－2x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝f(x)＋x2－x＝－2x＋1＋x2－x＝x2－3x＋1，
故函数y＝x2－3x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝，则函数y＝f(x)＋x2－x在上为减函数，在上为增函数．
又由f＝－，f(－1)＝5，f(2)＝－1，
则函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值为5，最小值为－.
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22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；
(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.
【导学号：37102201】
[解] (1)∵函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝b＝0.
(2)由(1)可得f(x)＝，下面证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明：设x2＞x1＞1，
则有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
再根据x2＞x1＞1，可得1＋x＞0,1＋x＞0，x1－x2＜0,1－x1x2＜0，
∴＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
(3)由不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，
可得f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，
再根据函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，且x＞1，
解得1＜x＜，故不等式的解集为.
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