2020高中数学 第三章简单的线性规划问题

2020高中数学 第三章简单的线性规划问题

第1课时　简单的线性规划问题 学习目标：1.了解线性规划的意义，以及约束条件、目标函数、可行解、可行域，最优解等基本概念(重点).2.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系(易混点)．‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式组 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 思考：在线性约束条件下，最优解唯一吗？‎ ‎[提示]　不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个．‎ ‎2．线性目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．‎ 当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；‎ 当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．‎ 思考：若将目标函数z＝x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？‎ ‎[提示]　把目标函数整理可得y＝－x＋z，z为直线在y轴上的截距．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)可行域是一个封闭的区域．(　　)‎ ‎(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．(　　)‎ ‎(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．(　　)‎ ‎(4)线性规划问题一定存在最优解．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　‎ 提示：‎ - 9 -‎ ‎(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．‎ ‎2．若则z＝x－y的最大值为________．‎ ‎1　根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.]‎ ‎3．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝________.‎ ‎【导学号：91432320】‎ ‎0　[当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4(－3－k)，解得k＝0.]‎ ‎4．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标 原点，那么PO的最小值等于________，最大值等于________．‎ 　　[如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为＝，最长为＝.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求线性目标函数的最值问题 ‎　(1)(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．‎ ‎(2)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．‎ ‎(1)3　(2)－5　[(1)法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2,3)时，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3.‎ - 9 -‎ 法二：易知z＝x＋y在可行域的顶点处取得最大值，由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由解得代入z＝x＋y，可得z＝3.比较可知，z的最大值为3.‎ ‎(2)法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，‎ 观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.‎ 法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.]‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1．解线性规划问题的一般步骤 ‎(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝‎ ax＋by)；‎ ‎(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值 的点；‎ ‎(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小 值；‎ ‎(4)答：给出正确答案．‎ ‎2．一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b>0，则纵截距与z同号，因此，‎ 纵截距最大时，z也最大；若b<0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最 大时，z反而最小．‎ ‎[跟踪训练]‎ - 9 -‎ ‎1．(1)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为(　　)‎ A．4　　　　　　　　 B. C．6 D. ‎(2)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ ‎(1)B　(2)C　[(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A时，z取得最小值．‎ 此时∴A，∴zmin＝3×1＋2×＝.‎ ‎(2)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；‎ 对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；‎ 对于选项C，当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；‎ 对于选项D，当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线2x－y＝0平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确．故选C.‎ - 9 -‎ ‎]‎ 非线性目标函数的最优解问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．目标函数z＝x2＋y2和z＝(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是什么？‎ 提示：z＝x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到坐标原点的距离的平方；z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域内的点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方．‎ ‎2．目标函数z＝(x≠a)和z＝(ac≠0)表示的几何意义是什么？‎ 提示：z＝(x≠a)表示可行域内的点(x，y)与定点(a，b)的连线的斜率；z＝＝·，表示可行域内的点(x，y)与定点的连线的斜率的倍．‎ ‎3．z＝|ax＋by＋c|(a2＋b2≠0)的几何意义是什么？‎ 提示：z＝|ax＋by＋c|＝·，表示可行域内的点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0的距离的倍．‎ ‎　已知，求：‎ ‎(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；‎ ‎(2)z＝的范围.‎ ‎【导学号：91432323】‎ 思路探究：①把z＝x2＋y2－10y＋25化为z＝x2＋(y－5)2，其几何意义是什么？②把z＝‎ - 9 -‎ 化为z＝2·，其几何意义是什么？‎ ‎[解]　作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3，1)，C(7,9)．‎ ‎(1)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝.‎ ‎(2)z＝＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的2倍，因为kQA＝，kQB＝，故z的范围为.‎ 母题探究：1.本例中的条件不变求z＝|x＋2y－4|的最大值．‎ ‎[解]　‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ 法一：z＝|x＋2y－4|＝×，其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B的坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.‎ 法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B时，目标函数z取得最大值，由得点B的坐标为(7,9)，此时zmax＝21.‎ ‎2．本例题中的条件不变 ‎(1)求z＝x2＋y2的最小值．‎ ‎(2)求z＝的范围．‎ - 9 -‎ ‎[解]　(1)由z＝x2＋y2的几何意义为区域内的点(x，y)至(0,0)的距离的平方知，z的最小值为(0,0)到直线x＋y－4＝0的距离的平方．‎ ‎∴zmin＝2＝8.‎ ‎(2)由z＝的几何意义为区域内的点(x，y)与原点连线的斜率．因为A(1,3)，B(3,1)，kOA＝3.kOB＝，‎ ‎∴z的取值范围是.‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1．利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本 题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可 行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．‎ ‎2．非线性目标函数的最值的求解策略 ‎(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的 平方，特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离 的平方．‎ ‎(2)z＝型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．‎ ‎(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的 倍．‎ 已知目标函数的最值求参数 ‎　已知约束条件且目标函数z＝a2x＋(a－2－a2)y取得最小值的最优解唯一，为(2,2)，则a的取值范围是________．‎ 思路探究：本题中的目标函数中两个元的系数都含有参数，因此需要研究参数的几何意义和符号特征，注意到a－2－a2的判别式非正，且a2≥0，又最小值的最优解唯一，从而斜率范围可以确定．‎ 　[线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示．‎ 由于目标函数的y的系数a－2－a2＝－2－<0，x的系数a2≥0，故平行直线系z＝a2x＋(a－2－a2)y的斜率非负，为 - 9 -‎ ‎.由于是最小值问题且最优解唯一，为图中的点A(2,2)，从而只需<，解得0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为________．‎ - 9 -‎ 图333‎ 　[取得最大值的最优解有无穷多个，说明将l0：ax＋y＝0平移时，恰好和AC所在的直线重合，即－a＝kAC＝＝－，∴a＝.]‎ ‎4．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．‎ ‎[5,7)　 [表示的区域如图所示，则由不等式组表示的区域是三角形时a的取值范围是5≤a<7.]‎ ‎5．已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，求a的取值范围.‎ 导学号：91432326】‎ ‎[解]　变量x，y满足约束条件，在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD.‎ 其中A(3,1)，D，B(1,3)，kAD＝1，kAB＝－1，目标函数z＝ax＋y(其中a>0)中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于－1，即－a<－1，所以a的取值范围为(1，＋∞)．‎ - 9 -‎