河北省张家口市2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

河北省张家口市2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

张家口市2019-2020学年第一学期阶段测试卷 高三数学(文科)‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合， 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解一元二次不等式和一元一次不等式求出集合，，再进行交集运算即可．‎ ‎【详解】，‎ ‎．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合描述法的特征、一元二次不等式的解法、对数函数的定义域、集合的交运算，考查基本运算求解能力．‎ ‎2.已知集合，．若，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑集合B是空集和不是空集两种情况，求并集得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当为空集时： 成立 当不为空集时： ‎ 综上所述的：‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了集合的包含关系，忽略空集是容易犯的错误.‎ ‎3.已知向量，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行可求得，利用坐标运算求得，根据模长定义求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.‎ ‎4.函数的定义城为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．‎ ‎【详解】因为函数，‎ 所以，则，‎ 解得，‎ 所以函数定义域为，．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域、对数不等式的求解，考查基本运算求解能力，是基础题．‎ ‎5.某工厂从2017年起至今的产值分别为,且为等差数列的连续三项，为了增加产值，引人了新的生产技术，且计划从今年起五年内每年产值比上一年增长，则按此计划这五年的总产值约为( ) (参考数据:)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等差中项得，再由等比数列前项和公式，求出前五年的总产值.‎ ‎【详解】因为为等差数列的连续三项，‎ 所以，‎ 从今年起五年内每年产值构成以为首项，公比为的等比数列，‎ 所以五年的总产值.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项性质、等比数列前项和，考查数学建模能力和运算求解能力.‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用诱导公式可求，利用二倍角的余弦公式即可计算得解．‎ ‎【详解】，‎ ‎．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式等知识在三角函数化简求值中的应用，考查转化与化归思想的应用．‎ ‎7.在平行四边形中，，若是的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出草图，以为基底，利用平面向量基本定理可得结果．‎ ‎【详解】如图所示，‎ 平行四边形中，，，‎ 则，‎ 又是的中点，‎ 则．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，求解过程中关键是基底的选择，向量加法与减法法则的应用，注意图形中回路的选取．‎ ‎8.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（ ）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.‎ ‎ 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将角C用角A角B表示出来，和差公式化简得到答案.‎ ‎【详解】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，‎ 角A，B，C为△ABC的内角 故答案选C ‎【点睛】本题考查了三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎9.函数的图象的大致形状为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值排除得到答案.‎ ‎【详解】，排除ACD 故答案选B ‎【点睛】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.‎ ‎10.已知函数的部分图像如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象求得的值，再利用左加右减的平移原则，得到向右平移个单位得的图象.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 因，所以，‎ 所以.‎ 所以，‎ 所以的图象向右平移个单位 可得的图象.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的图象提取信息求 的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量而言的.‎ ‎11.已知等差数列的前项和为,若，且, 则满足的最小正整数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，可得，再利用等差数列前项和公式、等差中项，得的最小正整数的值．‎ ‎【详解】，且，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ 则满足的最小正整数的值为4039．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式、等差中项，考查逻辑推理能力和运算求解能力，注意求使和的最小正整数的区别．‎ ‎12.已知，，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设 因为 所以在 ‎ 上递增，在 递减，所以，同理可得 又注意到 所以 的图像始终在 图像的上方，故 时，的大小关系不确定，即A，B不正确.设 则易知 在上单调递增，又注意到，所以的图像始终在图像的下方，故 时， 故C正确；‎ 故选C ‎ 点睛：本题主要考查函数单调性的应用，根据A,B选项给出等式的特征构造新函数，根据C,D选项给出的式子特征构造出新函数是解决本题的关键.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，则曲线在点处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，令求得，从而得到函数解析式，进一步求得，再由直线的点斜式方程并化简得到直线的一般方程．‎ ‎【详解】，‎ ‎，则，即．‎ ‎，则．‎ 曲线在点处的切线方程是，‎ 即．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，由已知函数解析式求得，再得到函数的解析式是求解的关键．‎ ‎14.已知函数(且)恒过定点， 则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令幂指数等于零，求得的值，可得它的图象经过定点的坐标，从而得到的值，再代入对数式中进行求值．‎ ‎【详解】在函数且中，‎ 令，求得，，所以图象经过定点．‎ 又图象恒过定点，，则，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的图象经过定点、对数式求值，考查基本运算求解能力，属于基础题．‎ ‎15.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量数量积公式化简即得解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以=-7.‎ 故答案为：-7‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.在中，，，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简已知三角等式得，再根据得BC的值.‎ ‎【详解】由已知得：，‎ 化简得，‎ 故，‎ 所以，‎ 从而，‎ 由，，‎ 得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.正项数列,对于任意的，向量， 且 ‎.‎ ‎(1)求数列的通项公式:‎ ‎(2)若, 求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据向量互相垂直，数量积为0，得到的递推关系，并证明出数列为等比数列，再由求得的值，进而得到等比数列的通项公式；‎ ‎（2）将代入的通项公式，再利用分组求和法求得.‎ ‎【详解】(1)由，得,即,因为，‎ 所以为等比数列.‎ 因为，‎ 即，得,‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由(1)可得,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算、等比数列通项公式、等比数列与等差数列前项和，考查基本法的运用.‎ ‎18.已知的最小正周期为．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)在中，角，，所对的边分别是为，，，若 ‎，求角的大小以及的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ,.‎ ‎【解析】‎ ‎ 试题分析：（1） 根据三角恒等变换的公式，得，根据周期，得，即，即可求解的值；‎ ‎（2）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简，可得，可得，进而求得，即可求解的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵ ‎ ‎ ，由函数的最小正周期为，即，得，∴，∴ ．‎ ‎（2）∵，∴由正弦定理可得 ，∴ ．∵，∴．∵，．∵，∴，∴，∴，∴．‎ ‎19.的内角A，B，C的对边分别为，已知 ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若求b的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）≤b<1.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ 在三角形ABC中有余弦定理得 考点：本题主要考查解三角形、正余弦定理、基本不等式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.已知数列是公比大于的等比数列 ，且是与的等差中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式:‎ ‎(2)设为数列的前项和，记，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差中项求出公比，再由求出首项，再代入通项公式求；‎ ‎（2）由（1）得，求出数列的前项和，再利用裂项相消法求.‎ ‎【详解】（1）由题意得: ‎ 设数列公比为，则，即 解得：（舍去）或，则，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得：，可知为首项为，公差为的等差数列.‎ 则 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项公式、对数运算、等差数列前项和及裂项相消法求和，考查基本量法运用.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若函数在处取得极值，求的值;‎ ‎(2)当时，函数在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由极值的定义得到方程组从而求得的值，再进行验证；‎ ‎（2）化简函数的表达式，求出导函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值为1，求出，然后求解在该区间上的最大值．‎ ‎【详解】（1）‎ 由已知得，‎ ‎，‎ 当，当，‎ 在递增，递减，满足在处取到极值，‎ 满足条件.‎ ‎（2）当时，‎ 时，时，，‎ 在单增，在单减 又；‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数在区间上的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值、单调区间的求法，考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想的应用，求解时要注意定义域优先法则的应用，同时注意第（1）问中求得的值后，还要进行验证．‎ ‎22.已知函数，其中为自然对数的底数，。‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，问函数有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由。‎ ‎【答案】(Ⅰ)a=1；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意可得f′(x)=aex+(ax−1)ex+a，利用导函数研究函数切线方程确定实数a的值即可；‎ ‎(Ⅱ)当时,，∴，‎ 设g(x)=ex(x−1)+1,则g′(x)=xex，据此可确定的符号，从而确定函数有无极值点.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意得f(x)=(ax−1)ex+ax+1，‎ ‎∴f′(x)=aex+(ax−1)ex+a，‎ ‎∵在点(0,f(0))处的切线与直线x−y+1=0平行，‎ ‎∴切线的斜率为f′(0)=a−1+a=1，解得a=1.‎ ‎(Ⅱ)当时,，‎ ‎∴，‎ 设g(x)=ex(x−1)+1,则g′(x)=ex(x−1)+ex=xex，‎ 则函数区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 函数，‎ 据此可得恒成立，‎ 函数在定义域内单调递增，函数不存在极值点.‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程，导函数研究函数的最值，导函数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎ ‎