2018-2019学年上海市金山中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年上海市金山中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年上海市金山中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．命题“若是奇函数，则是奇函数”的逆否命题是（ ）‎ A．若不是奇函数，则不是奇函数 B．若是偶函数，则是偶函数 C．若不是奇函数，则不是奇函数 D．若是偶函数，则是偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】直接根据逆否命题的定义得到答案.‎ ‎【详解】‎ 命题“若是奇函数，则是奇函数”的逆否命题是：‎ 若不是奇函数，则不是奇函数 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了逆否命题，意在考查学生的推断能力.‎ ‎2．“是奇函数”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】为奇函数，但在处无意义，所以“是奇函数”不是“”的充分条件；又对于，满足，但为偶函数，“是奇函数”不是“”的必要条件；所以“是奇函数”是“”的既不充分也不必要条件.‎ ‎【考点】充分条件、必要条件.‎ ‎3．在下列给出的区间中，函数存在零点的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别计算的值，根据零点存在定理得到答案.‎ ‎【详解】‎ 则；；；； ‎ 根据零点存在定理得到在存在零点.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了零点存在定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4．设函数，若函数有且只有两个不相等的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先确定时，函数为周期为的函数，画出函数图像，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，函数为周期为的函数，即 画出函数图像，如图所示：‎ 函数有且只有两个不相等的零点，故 ‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题，根据函数周期画出函数图像是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎5．已知集合，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用交集公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交集的运算，属于简单题.‎ ‎6．函数的定义域为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据定义域的定义得到不等式，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域满足： 解得 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数定义域，属于基础题型.‎ ‎7．函数y=x﹣2的单调增区间是 ．‎ ‎【答案】（﹣∞，0）‎ ‎【解析】试题分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．‎ 解：函数y=x﹣2为偶函数，在（0，+∞）内为减函数，‎ 则在（﹣∞，0）内为增函数，‎ 故函数的增区间为（﹣∞，0），‎ 故答案为（﹣∞，0）‎ ‎【考点】函数的单调性及单调区间．‎ ‎8．函数图像经过定点的坐标是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据过,令即可.‎ ‎【详解】‎ 令则,故图像经过定点的坐标是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的定点问题,属于基础题型.‎ ‎9．偶函数在区间上的值域为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数为偶函数得到，再求值域得到答案.‎ ‎【详解】‎ 为偶函数，则得到 ‎ 故在上的值域为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎10．设函数的单调减区间是，则实数的值是__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据题意得到分段函数得到单调性计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，故函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 故 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，化简得到分段函数是解题的关键.‎ ‎11．给出下列4各命题：‎ ‎①设函数满足，则是偶函数；‎ ‎②一次函数不可能为奇函数；‎ ‎③函数的零点为；‎ ‎④若函数在区间上连续且，‎ 则在内只有一个零点.其中所有假命题的代号是___________.‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】依次判断每个选项的正误：①不能得到函数为偶函数；②当时，函数为奇函数；③函数的零点为；④在内有零点，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①设函数满足，不能得到函数为偶函数，错误；‎ ‎②一次函数，当时，函数为奇函数，错误；‎ ‎③函数的零点为，错误；‎ ‎④若函数在区间上连续且，则在内有零点，错误.‎ 故答案为：①②③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性和零点，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎ ‎12．设函数是奇函数，且当时是增函数，若，则不等式的解集为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】讨论和两种情况，利用函数的单调性和奇偶性计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，函数单调递增，，即；‎ 当时，函数单调递增，，即.‎ 综上所述：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.‎ ‎13．设函数对都满足，方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为____________.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】根据得到函数关于对称，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数对都满足，即函数关于对称.‎ 方程恰有6个不同的实数根，根据对称性知实数根两两相加为 这6个实根的和为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题，得到函数关于对称是解题的关键.‎ ‎14．设实数满足，则的值为____________.‎ ‎【答案】2020‎ ‎【解析】根据得到，代入式子计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 易知：，，则 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15．已知不等式对一切正数恒成立,则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】参变分离后再换元,利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由且有,‎ 又,当且仅当时取“=”.‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式的用法与恒成立问题,要注意结合题中所给的形式选用合适的基本不等式,属于中等题型.‎ ‎16．设函数，对任意非零实数，若等式成立，则正整数的值为__________.‎ ‎【答案】504‎ ‎【解析】根据题意得到，代入计算得到式子，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则 则 ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数值的计算，确定是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．设函数为偶函数，求实数的值 ‎【答案】‎ ‎【解析】根据计算得到，再证明为偶函数，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数为偶函数，则即 ‎ 当时：，偶函数 故 ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数的奇偶性求参数，先确定再证明是解题的关键.‎ ‎18．‎ 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x的函数；‎ ‎（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。‎ ‎【答案】（Ⅰ）y=225x+‎ ‎（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。‎ ‎【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+‎ ‎（2）‎ ‎．当且仅当225x=时，等号成立．‎ 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用 ‎19．设为定义在上的函数.‎ ‎（1）判断函数的单调性，并加以证明：‎ ‎（2）解不等式 ‎【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）先判断为单调递增函数，再设，计算得到证明.‎ ‎（2）先计算，再利用函数的单调性得到不等式解得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数单调递增.‎ 设，则 ‎，则，故，故函数单调递增.‎ ‎（2）则 ‎，即 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性和利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.‎ ‎20．设函数（其中都为有理数且）‎ ‎（1）若点都在函数图像上，求的值.‎ ‎（2）当时，求证：对任意的两个不同的实数，都有成立，并指出此不等式的几何意义；‎ ‎（3）当时，设点（为实常数），是函数图像上的点，求的最小值 ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】（1）将点代入函数计算得到答案.‎ ‎（2）将不等式化简得到要证，再写出几何意义得到答案.‎ ‎（3）计算得到，构造函数 ‎，根据对称轴的范围得到函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将点代入函数得到： 解得 ‎（2）当时：‎ ‎；‎ 要证明，即证明即成立.‎ 不等式的几何意义为：两点中点对应的函数值小于两点函数值的平均值.‎ ‎（3）当时：，，‎ 构造函数 ，对称轴为 当，即时，函数；‎ 当，即时，函数；‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的解析式，不等式几何意义，距离的最值，意在考查学生对于函数知识的灵活运用.‎ ‎21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.‎ ‎（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；‎ ‎（2）求证：函数是‘依赖函数’，并直接写出“依赖函数”的两个基本性质 ‎（3）当时，函数是“依赖函数”，求正实数的最大值及相应的的值.‎ ‎【答案】（1）不是，理由见解析（2）证明见解析①函数是单调函数；②函数的值域不包含（3）的最大值为时，‎ ‎【解析】（1）取时，，不存在使成立，故不是“依赖函数”.‎ ‎（2）对于任意，取，计算，故为“依赖函数”.‎ ‎（3）化简得到，函数在单调递减，在上单调递增，根据（2）知得到，代入函数得到，解得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数不是为“依赖函数”‎ 当时，，不存在使成立，故函数不是“依赖函数”‎ ‎（2），对于任意，取，则，‎ 故函数为“依赖函数”‎ 性质：①函数是单调函数；②函数的值域不包含.‎ ‎（3）‎ 根据双勾函数知：函数在单调递减，在上单调递增.‎ ‎，根据（2）知：依赖函数是单调函数，故 ‎ 故的最大值为，当时：，故 解得或（舍去）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数知识的灵活运用和理解能力.‎