2013届人教A版理科数学课时试题及解析（13）导数在研究函数中的应用B
课时作业(十三)B [第13讲 导数在研究函数中的应用]
[时间：45分钟 分值：100分]
1． 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图K13－4所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
图K13－4
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2． 设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a
f(b)g(x)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b)
D．f(x)g(x)>f(b)g(a)
3．如图K13－5，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是( )
图K13－5
图K13－6
4． 满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)．|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|恒成立”的函数叫Ω函数，则下面四个函数中，属于Ω函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝|x|
C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2
5．图K13－7中三条曲线给出了三个函数的图象，一条表示汽车位移函数s(t)，一条表示汽车速度函数v(t)，一条是汽车加速度函数a(t)，则( )
图K13－7
A．曲线a是s(t)的图象，b是v(t)的图象，c是a(t)的图象
B．曲线b是s(t)的图象，a是v(t)的图象，c是a(t)的图象
C．曲线a是s(t)的图象，c是v(t)的图象，b是a(t)的图象
D．曲线c是s(t)的图象，b是v(t)的图象，a是a(t)的图象
6．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )
A．ln2 B．－ln2
C. D.
7．f(x)是定义在R上的可导函数，且对任意x满足xf′(x)＋f(x)>0，则对任意的实数a，b有( )
A．a>b⇔af(b)>bf(a) B．a>b⇔af(b)b⇔af(a)b⇔bf(b)0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
11． 已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，f(－4)，f，f的大小关系为____________(用“<”连接)．
12．已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·ex，设t>－2，函数f(x)在[－2，t]上为单调函数时，t的取值范围是________．
13．已知函数f(x)的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝x＋m－lnx的保值区间是[2，＋∞)，则m的值为________．
14．(10分)已知函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)不等式f(x)>ax的解集为P，若M＝且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；
(3)已知n∈N﹡，且Sn＝[f(x)＋x]dx(t为常数，t≥0)，是否存在等比数列{bn}，使得b1＋b2＋…＋bn＝Sn？若存在，请求出数列{bn}的通项公式；若不存在，请说明理由．
15．(13分) 设f(x)＝x3＋mx2＋nx.
(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；
(2)如果m＋n<10(m，n∈N＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)
16．(12分) 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0f(x)g(x)>f(b)g(b)．
3．D [解析] 选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．
4．A [解析] ∵|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|，∴<1，即Ω函数是指对于区间(1,2)上，曲线上任意两点连线的斜率均在(－1,1)内，对于A，f′(x)＝－的值域为，对于曲线上任意两点的连线，一定存在曲线的切线与它平行，符合条件，故选A.
【能力提升】
5．D [解析] 由于v(t)＝s′(t)，a(t)＝v′(t)，注意到所给的三条曲线中，只有曲线a上有部分点的纵坐标小于零，因此只有曲线a才能作为a(t)的图象，曲线b有升有降，因此其导函数图象有正有负，这与所给曲线a的形状吻合，因此b为v(t)的图象．
6．A [解析] f′(x)＝ex－ae－x，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f′(0)＝0，故只能是a＝1.此时f′(x)＝ex－e－x，设切点的横坐标是x0，则ex0－e－x0＝，即2(ex0)2－3ex0－2＝0，即(ex0－2)(2ex0＋1)＝0，只能是ex0＝2，解得x0＝ln2.正确选项为A.
7．D [解析] 构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，故函数g(x)是R上的单调递增函数，由增函数的定义，对任意实数a，b有a>b⇔g(a)>g(b)，即a>b⇔bf(b)0，当x>1时f′(x)<0，故x＝－2是函数的极小值点且f(－2)＝－，x＝1是函数的极大值点且f(1)＝1.
10．3 [解析] f′(x)＝3x2－a在[1，＋∞)上恒大于0，则f′(1)＝3－a≥0⇒a≤3.
11．f0⇒x>1或x<0，由f′(x)<0⇒00时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减，
∴f(x)min＝f(0)＝1.
(2)∵M∩P≠∅，∴f(x)>ax在区间有解，
由f(x)>ax，得ex－x>ax，即
a<－1在上有解．
令g(x)＝－1，x∈，
∵g′(x)＝，
∴g(x)在上递减，在[1,2]上递增．
又g＝2－1，g(2)＝－1，且g(2)>g，
∴g(x)max＝g(2)＝－1，
∴a<－1.
(3)设存在等比数列{bn}，使b1＋b2＋…＋bn＝Sn，
∵Sn＝[f(x)＋x]dx＝en－et，∴b1＝e－et，
n≥2时bn＝Sn－Sn－1＝(e－1)en－1，
当t＝0时，bn＝(e－1)en－1，数列{bn}为等比数列，
当t≠0时，≠，则数列{bn}不是等比数列，
∴当t＝0时，存在满足条件的数列bn＝(e－1)en－1满足题意．
15．[解答] (1)由题意得g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2＋(n－3)－(m－1)2，
已知g(x)在x＝－2处取得最小值－5，
所以即m＝3，n＝2.
即得f(x)＝x3＋3x2＋2x.
(2)因为f′(x)＝x2＋2mx＋n，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，
从而Δ＝4m2－4n>0，即m2>n.
不妨设两根为x1，x2，则|x2－x1|＝2为正整数．
又m＋n<10(m，n∈N＋)，
故m≥2时才可能有符合条件的m，n，
当m＝2时，只有n＝3符合要求；
当m＝3时，只有n＝5符合要求；
当m≥4时，没有符合要求的n.
综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求．
【难点突破】
16．[解答] (1)f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a；令＋2a＞0，得a＞－，
所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)，
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，
得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
