安徽省合肥市第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

安徽省合肥市第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

‎2018级高二开学考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，再通过诱导公式计算。‎ ‎【详解】，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，属于基础题。‎ ‎2.函数定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数真数必须大于零和分式分母不等于零可构造不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：，解得：且 函数的定义域为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，关键是明确对数型复合函数和分式的基本要求，属于基础题.‎ ‎3.设函数，则（）‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据自变量的范围分别代入对应的解析式中，求得对应的函数值，加和得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查分段函数函数值的求解问题，关键是准确判断自变量所处的范围，从而代入对应的解析式中，属于基础题.‎ ‎4.己知，则为（）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分子分母同时除以，可构造出关于的式子，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查正余弦的齐次式的求解，关键是能够利用同角三角函数的商数关系构造出关于的式子，属于基础题.‎ ‎5.若，，，则有（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数和对数函数的单调性分别将与作比较，从而得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性比较大小的问题，常用方法是采用临界值的方式，通过与临界值的大小关系得到所求的大小关系.‎ ‎6.已知函数和的图像如图所示，若关于的方程和的实数根的个数分别为和，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得和的实数根的个数，相加后得出正确选项.‎ ‎【详解】根据函数的图像，由，得或.当时，由的图像可知有三个解，即有三个根.当时，由的图像可知有三个解，即有三个根.故有个根，即.由，结合图像可知，有三个零点.当 时，由图像知此时有个零点；当时，由图知此时有个零点；当时，由的图像知此时有个零点.故有个根.故，所以本题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的图像与性质，考查函数零点的个数判断，属于中档题.对于复合函数零点问题，首先根据函数值，确定好对应内部函数的函数值，再根据内部函数的函数值，确定出相应自变量的值.在转化过程中，要注意看准对应的函数图像.‎ ‎7.己知函数（，，，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.‎ ‎【详解】由图象可知，的最小正周期：‎ 又 ‎ 又，且 ‎ ‎ ，，即，‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.‎ ‎8.如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最大值是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点可建立坐标系，设，；根据可求得，从而得到，利用三角函数值域求解方法可求得结果.‎ ‎【详解】以为轴，以为原点，建立坐标系，如下图所示：‎ 设，，则，，‎ ‎，，‎ ‎ ，解得：‎ ‎ ‎ ‎，即最大值为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.‎ ‎9.在中，所对的边长分别是，若，则的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由sinC＋sin(B－A)＝sin2A 再注意到：，所以有，故知△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D.‎ 考点：三角恒等变形公式.‎ ‎10.已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　‎ A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 周期为 D. 在上是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时,,∴f(x)不关于直线对称；‎ 当时, ,∴f(x)关于点对称；‎ f(x)得周期，‎ 当时, ,∴f(x)在在上是增函数。‎ 本题选择D选项.‎ ‎11.已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得 ，则 的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设正项等比数列{an}的公比为q，且q＞0，‎ 由a7=a6+2a5得：a6q=a6+ ，‎ 化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），‎ 因为aman=16a12，所（a1qm﹣1）（a1qn﹣1）=16a12，‎ 则qm+n﹣2=16，解得m+n=6，‎ ‎=×（m+n）×（）=×（17++）≥×（17+2 ）=，‎ 当且仅当=，解得：m=，n= ，‎ 因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，＞，‎ 验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．‎ 故答案选：B．‎ 点睛：本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简及计算能力，注意等号的成立的条件，易错点是，m,n必须取整数值，应在m=的附近取整数值，还要保证最后的结果是最小值.‎ ‎12.定义在上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足，若存在实数，使得成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：当时，0≤≤1，∵是奇函数，∴值域为[-1,1]，‎ 要使存在实数，使得成立,则-1≤=≤1，解得或，故选B.‎ 考点: 函数的奇偶性；指数函数的图像性质；对数函数的图像性质、幂函数图像与性质；数形结合思想 二、填空题 ‎13.设的内角，，所对的边分别为，，.若，则角__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式化简为，利用余弦定理可求得，从而得到结果.‎ ‎【详解】由得：‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理解三角形的问题，属于基础题.‎ ‎14.设是等差数列的前项和，若，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列可知，代入可求得结果.‎ ‎【详解】由等差数列性质可知：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.‎ ‎15.已知的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，利用正弦定理可得：，，∵，，∴，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴（当且仅当时，取等号），∴面积为，则面积的最大值为，故答案为.‎ ‎16.已知函数，则 _________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意可得，利用倒序相加法，从而即可得到答案.‎ 详解：‎ ‎，‎ 设 ①‎ 则 ②‎ ‎①+②得，‎ ‎.‎ 故答案为：2018.‎ 点睛：本题考查数列与函数的应用，考查推理能力以及运算求解能力.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示．‎ 组别 ‎ 分组 ‎ 回答正确的人数 ‎ 回答正确的人数占本组的概率 ‎ 第1组 ‎ ‎[15,25) ‎ ‎5 ‎ ‎0.5 ‎ 第2组 ‎ ‎[25,35) ‎ ‎ ‎ ‎0.9 ‎ 第3组 ‎ ‎[35,45) ‎ ‎27 ‎ ‎ ‎ 第4组 ‎ ‎[45,55) ‎ ‎ ‎ ‎0.36 ‎ 第5组 ‎ ‎[55,65) ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎（1）分别求出的值；‎ ‎（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?‎ ‎（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）人，人，1人；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由统计表可求得第１组的人数，再由频率分布直方图可得到第１组人数点总体人数的频率（等于对应矩形方块的高度矩形方块的宽度），从而就可得到总体的人数n；进而就可求得其余各组的人数，再由统计表就可计算出a,b,x,y的值；（2）分层抽样方法就是各层按照相同的比例抽样：其抽取的比例为：结合（１）结果就可得到各组所抽取的人数；（３）将从（２）中抽取的6人按组别用不同的字母表示,然后用树形图方式列举出从中抽取2人的所有可能情况,数出全部情况总数,最后从中数出第2组至少有1人的情况的种数,从而就可求得所求的概率.‎ ‎【详解】（1）第1组人数， 所以，‎ 第2组人数，所以，‎ 第3组人数，所以，‎ 第4组人数，所以，‎ 第5组人数，所以. ‎ ‎（2）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人. ‎ ‎（3）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，. ‎ 其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：，，，，，，，，.‎ 故所求概率为. ‎ 考点：1. 频率分布表和频率分布直方图;2.抽样方法;3.古典概率.‎ ‎18.正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)，.(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意结合数列的性质可得数列的公差，则，结合的通项公式可得.‎ ‎（2）结合(1)中取得结果错位相减可得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：‎ ‎，即，‎ 又，解得或（舍去），‎ ‎，‎ 所以，‎ 又，，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ 两式相减得 ，‎ 则.‎ ‎【点睛】一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．‎ ‎19.某地区2008年至2016年粮食产量的部分数据如下表：‎ ‎（1）求该地区2008年至2016年的粮食年产量与年份之间的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2008年至2016年该地区粮食产量的变化情况，并预测该地区 2018年的粮食产量.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.‎ ‎【答案】（1）；（2）测该地区2018 量为299. 2万吨.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）计算和，利用的计算公式即可得解；‎ ‎（2）由的意义得该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6. 5 万吨，将代入中的线性回归方程得预测值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由所给数据可以看出，粮食年产量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，为此对数据预处理如下： ‎ 对预处理后的数据，容易算得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ 由上述计算结果，知所求线性回归方程为，‎ 即.‎ ‎（2）由（1)知，，故2008年至2016年该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6. 5 万吨.‎ 将代入（1）中的线性回归方程，得，故预测该地区2018 量为299. 2万吨.‎ 点睛：求解回归方程问题的三个易误点：‎ ‎① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上．‎ ‎③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎20.已知等比数列{an}满足an+1+an=9·2n-1,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若不等式Sn>kan-2对一切n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）an=3·2n-1,n∈N*；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为an+1+an=9·2n-1,n∈N*,‎ 所以a2+a1=9,a3+a2=18,‎ 所以q===2,‎ 又2a1+a1=9,所以a1=3.‎ 所以an=3·2n-1,n∈N*.‎ ‎(2)Sn===3(2n-1),‎ 所以3(2n-1)>k·3·2n-1-2,所以k<2-.‎ 令f(n)=2-,f(n)随n的增大而增大,‎ 所以f(n)min=f(1)=2-=.‎ 所以k<,所以实数k的取值范围为.‎ ‎21.已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围 ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)整理函数的解析式可得： ，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为 ；‎ ‎(2)化简三角函数的解析式，结合函数的定义域可得函数的取值范围是 .‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ ‎＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ ‎＝2sin＋λ.‎ 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，‎ 所以2ωπ－＝kπ＋ (k∈Z)，即ω＝＋ (k∈Z)．‎ 又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.‎ 所以f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，‎ 即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.‎ 故f(x)＝2sin－，‎ 由0≤x≤，有－≤x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，得－1－≤2sinx－－≤2－.‎ 故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．‎ ‎22.己知等差数列前项和，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若数列的前项和.求证：‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可求得，根据与关系可求得时，，得到等差数列公差为；利用可构造方程求得；（2）由（1）可得，从而得到；利用裂项相消法求得后，结合可证得结论.‎ ‎【详解】 ‎ 又 数列是以为首项，为公差的等差数列 ‎ ‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎，解得：‎ ‎（2）由（1）可得：‎ ‎ ，即 ‎【点睛】本题考查与关系的应用、裂项相消法求数列的前项和的问题；关键是能够利用证得数列为等差数列，进而求得通项公式，属于常考题型.‎ ‎ ‎