第六届中国东南地区数学奥林匹克试题

第六届中国东南地区数学奥林匹克试题

第六届中国东南地区数学奥林匹克试题 一、解答题 ‎1、在一个圆周上给定十二个红点；求的最小值，使得存在以红点为顶点的个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．‎ ‎2、设，；‎ 求证： ．‎ ‎3、在凸五边形中，已知，且 四点共圆．‎ 证明：四点共圆的充分必要条件是．‎ ‎4、试求满足方程的所有整数对．‎ 以下是答案 一、解答题 ‎1、解：设红点集为：，过点的弦有条，而任一个含顶点的三角形，恰含两条过点的弦，故这条过点的弦，至少要分布于个含顶点的三角形中；‎ 同理知，过点的弦，也各要分布于个含顶点的三角形中，这样就需要个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重复计算了三次，因此至少需要个三角形．‎ 再说明，下界可以被取到．不失一般性，考虑周长为 的圆周，其十二等分点为红点，以红点为端点的弦共有条．若某弦所对的劣弧长为，就称该弦的刻度为；于是红端点的弦只有种刻度，其中，刻度为的弦各条，刻度为的弦共条； ‎ 如果刻度为（）的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一：‎ 或者；或者；‎ 于是红点三角形边长的刻度组只有如下种可能：‎ ‎；‎ 下面是刻度组的一种搭配：取型各六个，型四个；这时恰好得到条弦，且其中含刻度为的弦各条，刻度为的弦共条；‎ 今构造如下：先作型的三角形各六个，型的三角形 三个，再用三个型的三角形来补充．‎ 型六个：其顶点标号为：；‎ 型六个：其顶点标号为：；‎ 型六个：其顶点标号为：；‎ 型三个：其顶点标号为：；‎ 型三个：其顶点标号为：．‎ ‎（每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得）．‎ 这样共得到个三角形，且满足本题条件，因此，的最小值为．‎ ‎2、证明：先证不能构成三角形的三边．因为 ‎，‎ ‎．‎ 所以 ()()()‎ ‎ ,‎ 于是 ‎ ‎ ()()(),‎ 故 ．‎ ‎3、证明：必要性：若共圆，则由 ‎，得，，所以，故得；‎ 充分性：记所共的圆为，若，则圆心在的中垂线上，设点关于的对称点为，则在上，且因，即，所以不共点，且≌，又由，知≌，因此，‎ ‎≌，故由，得共圆，即点在上，也即点在上，从而共圆．‎ ‎4、解： 设整数对满足方程 …（1），将其看作 关于的一元二次方程，其判别式的值 应为一完全平方数；‎ ‎ 若，则；‎ ‎ 若，则可取，相应的值分别为和 ，它们皆不为平方数；‎ ‎ 因此，仅当时，为完全平方数．‎ 若，方程（1）化为， 解得或；‎ 若，方程（1）化为 ，解得或．‎ 综上可知，满足原方程的全部整数对为：．‎