2017-2018学年山东省潍坊市高二5月份统一检测数学（理）试题 解析版

2017-2018学年山东省潍坊市高二5月份统一检测数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 山东省潍坊市2017-2018学年高二5月份统一检测数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据充要条件的判定方法，即可得到结论．‎ 详解：由题意，当时，是成立的，当当时，如，而是不成立的，所以是的充分不必要条件，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了充分不必要条件的判定问题，其中明确充分不必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎2．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）‎ A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据随机变量服从正态分布，得到正态曲线关于对称，利用对称轴两边各占0.5，再结合概率的有关知识，求得，从而得结果.‎ 详解：因为随机变量服从正态分布，‎ 所以正态曲线关于对称，‎ 因为，‎ 所以，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，需要明确正态曲线的对称轴的位置，以及有关两边对称的区域内相应的概率是相等的，从而求得结果.‎ ‎3．若曲线在点处的切线与平行,则的值为（ ）‎ A. -2 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由函数在点的切线为，所以，即可求得实数的值．‎ 详解：由函数，得，‎ 因为函数在点的切线为，‎ 所以，解得，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎4．有20件产品,其中15件合格品,5件次品.现从中任意选取10件产品,用表示这10件产品中的次品的件数,下列概率中等于的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先需要明确题中所给的条件，合格品件数和次品件数，需要明确各个组合数对应的结果是什么，之后再根据古典概型的概率计算公式求得相应的结果.‎ 详解：根据题意，20件产品中有15件合格品，5件次品，所以表示的是从5件次品中选3件对应的选法，表示的是从15件合格品中取7件对应的选法，而表示的是从20件产品中任选10件对应的选法，所以表示所选10件产品中有3件次品的概率，从而得，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关古典概型的问题，在解题的时候，根据古典概型的概率公式进行判断即可.‎ ‎5．设满足约束条件,则的最大值为（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，结合图象可知，当直线过点时，目标函数取得最大值，联立方程组，求得的坐标，代入即可得到最大值．‎ 详解：画出约束条件所表示的平面区域，‎ 如图所示，‎ 目标函数，化为，‎ 结合图象可知，当直线过点时，目标函数取得最大值，‎ 又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选D．‎ 点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如．‎ ‎6．以下说法正正确的是（ ）‎ ‎①两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1‎ ‎②回归直线方程必过点 ‎③已知一个回归直线方程为,则变量每增加一个单位时,平均增加3个单位 A. ③ B. ①③ C. ①② D. ②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据回归直线的方程的特征和变量相关性的相关系数的概念，即可得到结论．‎ 详解：由题意①中，根据变量相关性的相关系数可知，相关系数，且越接近，相关性越强，所以是正确的；‎ ‎②中，根据回归直线方程的特征，可知所有的回归直线方程都过点，所致是正确的；‎ ‎③中，由回归直线方程，可知回归系数，所以变量每增加一个单位时，平均减少个单位，所以是不正确的，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了回归直线方程的特征和变量相关性的概念，以及相关系数的判定问题，其中熟记回归分析的基本概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎7．根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为，连续2天有客人入住的概率为,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先设出所求的概率为P，根据题中的条件，可以列出P所满足的等量关系式，从而求得相应的结果.‎ 详解：设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有，解得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关两个事件同时方式的概率问题，也可以看做是有关条件概率的问题，在解题的过程中，需要正确应用公式求得结果.‎ ‎8．的展开式中的系数是（ ）‎ A. -35 B. -5 C. 5 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先根据题中所给的式子，去判断要求的项在什么情况下会出现，先根据二项式定理得到展开式的通项，求出其三次项与四次项的系数，根据多项式乘法运算法则，求得最后的结果.‎ 详解：展开式的通项是，所以展开式中的系数是，项的系数是，所以的展开式中项的系数是，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关与二项展开式相关的项的系数问题，在求解的过程中，需要分析四次项出现的位置，以及应用多项式乘法运算从合并同类项的角度去分析，但是，应用二项式定理得到展开式的通项是关键.‎ ‎9．的内角的对边分别为,已知 ，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据正弦定理，化简得，再由余弦定理求得，即可求解角的值．‎ 详解：在中，已知，‎ 由正弦定理可得，通分整理得，‎ 又由余弦定理得，所以，故选B．‎ 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎10．若函数,则下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先对函数进行求导，根据题中说涉及到的自变量的值，可以将其锁定在某个区间上，结合导数的符号，判断相应的区间上的函数的单调性，利用奇函数的性质，得到对应的结果，之后借助于自变量的大小，得到函数值的大小.‎ 详解：，可以判断得出在区间上恒成立，所以在上是增函数，又因为是R上的奇函数，所以可以得到在上是增函数，所以有，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关函数值比较大小的问题，在解题的过程中，可以利用题中所给的函数解析式，结合求导公式，对函数求导，结合函数的性质，得到导数在相应的区间上的符号，从而得到函数在对应区间上的单调性，从而求得结果.‎ ‎11．如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”,图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相通,假设一个小弹子在交点处向左或向右是等可能的.若竖直线段有一条的为第一层,有两条的为第二层,……,依此类推,现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动.则该小弹子落入第四层从左向右数第3个竖直通道的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据小弹子以相同的概率落入每个通道，每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，根据独立重复试验的概率公式求得结果，该小弹子落入第四层从左向右数第3个竖直通道的概率，还可以推出具有一般性的结论.‎ 详解：根据题意可知，每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，故该小弹子落入第四层从左向右数第3个竖直通道的概率为，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关独立重复试验的问题，在求解的过程中，根据小弹子以相同的概率落入每个通道，在每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，根据独立重复试验的概率公式得到结果，可以推出具有一般性的结论.‎ ‎12．设是奇函数的导函数, ,当时, 则使得成立的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意，构造新函数，得到函数的单调性与奇偶性，结合和，即可求解不等式的解集．‎ 详解：由题意，当时，，且，‎ 设，则，‎ 所以函数在区间为单调递增函数，‎ 由因为是奇函数，所以为偶函数，所以函数在区间为单调递减函数，且函数的图象关于轴对称，‎ 又由，所以，‎ 所以不等式的解集为 ‎ 所以不等式的解集等价于的解集，‎ 所以不等式的解集为，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及不等式求解，着重考查了着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，解答中根据题意，构成新函数 ‎，利用导数得到函数的单调性与奇偶性是解答的关键．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．若函数,则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由函数，求得，即可求解的值．‎ 详解：由题意，则，所以．‎ 点睛：本题主要考查了导数的运算，属于基础题，着重考查了运算能力．‎ ‎14．甲、乙两人独立地破译一密码,他们能单独破译该密码的概率分别是,假设他们破译密码彼此没有影响,则该密码被破译的概率为了__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先根据题意可以得到，密码破译出的对立事件是密码不能被译出，而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出密码被译出的概率.‎ 详解：两人独立地破译一个密码，能译出的概率分别为，密码被译出的对立事件是密码不能被译出，而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，所以密码被译出的概率为，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关相互独立事件同时发生的概率以及对立事件发生的概率求解问题，在解题的过程中，也可以用加法来算，分析密码被破译应该有三种情况：甲破译而乙没有破译、乙破译而甲没有破译、甲乙同时破译，当对应的情况较多时，可以用其对立事件的概率来求解.‎ ‎15．若函数在在上单调递增,则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由函数在上单调递增，所以在上恒成立，进而得到在上恒成立，利用二次函数的性质，即可得到实数的取值范围．‎ 详解：由函数，则 函数在上单调递增，所以在上恒成立，‎ 即，即在上恒成立，‎ 又由，当时，，‎ 所以，即实数的取值范围是．‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎16．2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】分析：首先要明确该题应该分类讨论，第一类是大一的两名同学在乙组，第二类是大一的两名同学不在乙组，利用组合知识，求得相应的数，之后应用分类加法计数原理，求得结果，问题得以解决.‎ 详解：根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两个为种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为种，故有种；‎ 第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为种，这时共有种；‎ 根据分类计数原理得，共有种不同的分组方式.‎ 点睛：该题是一道关于分类加法计数原理的题目，解题的过程中，熟练掌握分类加法计数原理的运用是解答此题的关键，再者就是对题中的条件要会分析，可以将其分为大一两名学生在乙组和不在乙组两类，列出式子计算即可得结果.‎ 三、解答题 ‎17．已知公差不为0的等差数列的首项,且，，成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据题意，求得，利用等差数列的通项公式，即可得到数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，利用裂项相消求和，即可求得数列的前项和．‎ 详解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ ‎ ，，成等比数列，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和裂项相消求和，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎18．某公司共有职工1500人,其中男职工1050人,女职工450人.为调查该公司职工每周平均上网的时间,采用分层抽样的方法,收集了300名职工每周平均上网时间的样本数据(单位:小时)‎ 男职工 女职工 总计 每周平均上网时间不超过4个小时 每周平均上网时间超过4个小时 ‎70‎ 总计 ‎300‎ ‎(Ⅰ)应收集多少名女职工样本数据?‎ ‎(Ⅱ)根据这300个样本数据,得到职工每周平均上网时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:，，，，，.试估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率是多少?‎ ‎(Ⅲ)在样本数据中,有70名女职工的每周平均上网时间超过4个小时.请将每周平均上网时间与性别的列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”‎ ‎【答案】(1) 应收集90位女职工的样本数据;(2)0.75;(3) 没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，即可得到，应收集位女职工的样本数据.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图得，即可得到结论；‎ ‎ (Ⅲ)由（Ⅱ）知，求得每周平均上网时间与性别的列联表，利用公式，求解的值，即可作出判断结论．‎ 详解：（Ⅰ），应收集90位女职工的样本数据.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图得 估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率为0.75‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，300名职工中有人的每周平均上网时间超过4小时．‎ 有70名女职工每周平均上网时间超过4小时，‎ 有名男职工每周平均上网时间超过4小时，‎ 又样本数据中有90个是关于女职工的，有个关于男职工的，‎ 有名女职工，有名男职工的每周上网时间不超过4小时，‎ 每周平均上网时间与性别的列联表如下：‎ 男职工 女职工 总计 每周平均上网时间不超过4个小时 ‎55‎ ‎20‎ ‎75‎ 每周平均上网时间超过4个小时 ‎155‎ ‎70‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得： ‎ 所以没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”‎ 点睛：本题主要考查了分层抽样的应用，以及独立性检验的实际应用问题，其中正确理解题意，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎19．如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.‎ ‎(Ⅰ)求证: ‎ ‎(Ⅱ)若平面 平面,,求二面角的余弦值 ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：第一问要证明的是线线垂直，在做题的过程中，需要用到平面四边形中平行四边形的性质以及勾股定理得到线线垂直，之后应用线面垂直的判定定理得到线面垂直，之后应用线面垂直的性质，得到线线垂直；第二问利用题中的条件，得到相应的垂直关系，建立相应的空间直角坐标系，利用法向量求得二面角的余弦值.‎ 详解：（Ⅰ）取的中点，连接 为等边三角形 ‎ ‎ ‎ 且 又 ‎ 四边形为矩形 ‎ ‎ ‎ , 平面 又 平面， ‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知 平面平面，平面平面，平面 ‎ 平面,‎ 以为坐标原点，以所在方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系 设则 ‎ , ,‎ 又，得,‎ ‎ ,,‎ ‎ ,‎ 设平面法向量 由,得，取，得 又知是平面的一个法向量，设 ‎ ‎ ‎ 二面角的余弦值为.‎ 点睛：该题考查的是有关空间立体几何的问题，一是证明垂直关系的，二是求二面角的余弦值的，在解题的过程中，一是要对空间中线线垂直与线面垂直之间的转换关系要清楚，二是需要知道应用空间向量求解二面角的余弦值的方法步骤.‎ ‎20．为增强学生体质,学校组织体育社团,某宿舍有4人积极报名参加篮球和足球社团,每人只能从两个社团中选择其中一个社团,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团,掷出点数为5或6的人参加篮球社团,掷出点数小于5的人参加足球社团.‎ ‎(Ⅰ)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；‎ ‎(Ⅱ)用分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数,记随机变量为和的乘积,求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）依题意这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，设“这4个人中恰有个人参加篮球社团”为事件 则，，由此能求出这4个人中恰有1个人参加篮球社团的概率.‎ ‎（Ⅱ）由已知得的所有可能取值为0，3，4，， ， ，由此能求出的分布列与数学期望.‎ 详解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，设“这4个人中恰有个人参加篮球社团”为事件 则，，这4个人中恰有1个人参加篮球社团的概率.‎ ‎（Ⅱ）由已知得的所有可能取值为0，3，4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ .‎ 点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及离散型随机变量的分布列及其方差的问题，在解题的过程中，需要根据题意，利用相应的公式，求得对应事件的概率，之后应用独立重复试验的有关成功次数对应的概率公式求解，对于随机变量的分布列以及期望问题，在解题的过程中，需要结合题的条件，得到随机变量取每个值时对应的概率，之后应用公式求得期望.‎ ‎21．椭圆 ，其右焦点为,点在椭圆上,直线的方程为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若过椭圆左焦点的直线(不过点)交椭圆于两点,直线和直线相交于点,记，，的斜率分别为，，求证: ‎ ‎【答案】(1)椭圆方程为;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意知，把点代入椭圆方程，联立方程组，即可求解的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，设，，联立方程组，求得，‎ ‎，进而得到 ，，，再由三点共线，即可化简作出证明．‎ 详解：(1)由题意知，， ①‎ 把点代入椭圆方程得，‎ ‎ ②‎ ‎①代入②得，‎ ‎ ，‎ 故椭圆方程为 ‎（2）设的斜率为，易知 则直线的方程为，设，‎ ‎ ‎ 由得，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，，‎ 又 三点共线 ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎22．已知函数 ‎(Ⅰ)当时,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设，若,使得成立,求的取值范围 ‎【答案】（1）的单调减区间为，的单调增区间为；（2）的取值范围.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意，得，求得，利用和，即可求解函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）由，得，转化为，令，利用 ，求得函数的最小值，即可求解参数的取值范围．‎ 详解：（Ⅰ）由题意知定义域为 ‎ ， ‎ ‎ ‎ 令，得 当时，则，单调递减 当时，则，单调递增 综上可得：的单调减区间为 的单调增区间为 ‎（Ⅱ）由，得 令，则 当时，，单调递减 当时，，单调递增 ‎ ，即.‎ 故 令，‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ 令，得，‎ ‎ 时，，单调递减 当时，，单调递增 ‎ ‎ 故的取值范围 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎