2020高中数学 第一章组合的综合应用

2020高中数学 第一章组合的综合应用

第2课时　组合的综合应用 学习目标：1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．组合的有关概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．‎ 组合数用符号C表示，其公式为C＝＝.‎ ‎(m，n∈N*，m≤n)，特别地C＝C＝1.‎ ‎2．组合与排列的异同点 共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素．‎ 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．‎ ‎3．应用组合知识解决实际问题的四个步骤 ‎(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．‎ ‎(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．‎ ‎(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．‎ ‎(4)结论：根据计算结果写出方案个数．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．以下四个命题，属于组合问题的是(　　)‎ A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开两辆车往返甲、乙两地 C　[从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]‎ ‎2．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　) ‎ ‎【导学号：95032059】‎ A．A种　　　　　　　 B．45种 C．54种 D．C种 D　[由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C种．]‎ ‎3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　)‎ 8‎ A．C种 B．A种 C．AA种 D．CC种 D　[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．]‎ ‎4．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．‎ ‎10　[从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C＝10个子集．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 无限制条件的组合问题 ‎　现有10名学生，男生6人，女生4人．‎ ‎(1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？‎ ‎(2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？‎ ‎(3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？‎ ‎ 【导学号：95032060】‎ ‎[思路探究]　首先要分清是组合还是排列问题，与顺序有关即为排列，与顺序无关即为组合，一定要理解清楚题意．‎ ‎[解]　(1)从6名男生中选2人的组合数是C＝15种．‎ ‎(2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合．C·C＝90种．‎ ‎(3)从10名学生中选2名的组合数C＝45种．‎ ‎[规律方法]　解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有(　　)‎ A．70个　　B．80个　　　C．82个　　D．84个 A　[分两类分别求即可，共有CC＋CC＝30＋40＝70.]‎ ‎2．若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答) ‎ 8‎ ‎【导学号：95032061】‎ ‎140　[第一步，安排周六有C种方法，第二步，安排周日有C种方法，所以不同的安排方案共有CC＝140种．]‎ 有限制条件的组合问题 ‎　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．‎ ‎(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？‎ ‎[思路探究]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．‎ ‎[解]　(1)从余下的34名学生中选取2名，‎ 有C＝561(种)．‎ ‎∴不同的取法有561种．‎ ‎(2)从34名可选学生中选取3名，有C种．‎ 或者C－C＝C＝5 984种．‎ ‎∴不同的取法有5 984种．‎ ‎(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100种．‎ ‎∴不同的取法有2 100种．‎ ‎(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555种．‎ ‎∴不同的取法有2 555种．‎ ‎(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090种．‎ ‎∴不同的取法有6 090种．‎ ‎[规律方法]　常见的限制条件及解题方法 ‎1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．‎ ‎2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．‎ ‎3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．‎ 8‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：‎ ‎(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？‎ ‎(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？‎ ‎(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？‎ ‎[解]　(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．‎ ‎(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，‎ 法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：‎ ‎①选2名外科专家，共有C·C种选法；‎ ‎②选3名外科专家，共有C·C种选法；‎ ‎③选4名外科专家，共有C·C种选法；‎ 根据分类加法计数原理，共有 C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．‎ 法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：‎ C－C·C－C＝185种抽调方法．‎ ‎(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．‎ ‎①没有外科专家参加，有C种选法；‎ ‎②有1名外科专家参加，有C·C种选法；‎ ‎③有2名外科专家参加，有C·C种选法．‎ 所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法．‎ 分组(分配)问题 ‎　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：‎ ‎(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；‎ ‎(2)分为三份，每份两本；‎ ‎(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；‎ ‎(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；‎ ‎(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本. ‎ ‎【导学号：95032062】‎ ‎[思路探究]‎ 8‎ ‎　(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．‎ ‎[解]　(1)根据分步乘法计数原理得到：CCC＝90种．‎ ‎(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．‎ ‎(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种方法．‎ ‎(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种方法．‎ ‎(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CC‎5CA＝360种方法；③“1、1、4型”，有CA＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．‎ ‎[规律方法]‎ ‎1．分清是分组问题还是分配问题，是解题的关键．‎ ‎2．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：‎ ‎(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．‎ ‎(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.‎ ‎(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．‎ ‎36　[分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种．所以满足条件的分配方案有·A＝36(种)．]‎ 排列、组合的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？‎ ‎[提示]　共有C＝＝6(个)不同结果．‎ 完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．‎ 8‎ ‎2．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？‎ ‎[提示]　共有A－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．‎ ‎3．完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？‎ ‎[提示]　由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC＝18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A＋CCC＝30(种)不同的结果．‎ ‎　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：‎ ‎(1)有女生但人数必须少于男生；‎ ‎(2)某女生一定担任语文课代表；‎ ‎(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；‎ ‎(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表. ‎ ‎【导学号：95032063】‎ ‎[思路探究]　(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．‎ ‎[解]　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC种，后排有A种，‎ 共(CC＋CC)·A＝5 400种．‎ ‎(2)除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．‎ ‎(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3 360种．‎ ‎(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种．‎ ‎[规律方法]　 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 ‎1．按事情发生的过程进行分步．‎ ‎2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：‎ ‎(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；‎ ‎(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．‎ 8‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为(　　)‎ A．360　　B．‎520　‎　　C．600　　D．720‎ C　[分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．‎ 第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10×(24－12)＝120种选法．‎ 所以共有480＋120＝600种选法．]‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　)‎ A．120　　　B．‎84　‎　　　C．52　　　D．48‎ C　[间接法：C－C＝52种．]‎ ‎2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有(　　)‎ ‎ 【导学号：95032064】‎ A．60种 B．20种 C．10种 D．8种 C　[四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C＝10.]‎ ‎3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)‎ A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 B　[分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.]‎ ‎4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．‎ ‎225　[在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225个．]‎ ‎5．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？‎ ‎(1)只有一名女生；‎ 8‎ ‎(2)两队长当选；‎ ‎(3)至少有一名队长当选；‎ ‎(4)至多有两名女生当选. ‎ ‎【导学号：95032065】‎ ‎[解]　(1)一名女生，四名男生，故共有CC＝350种选法．‎ ‎(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC＝165种选法．‎ ‎(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．‎ 故共有CC＋CC＝825种选法．‎ 或采用间接法：C－C＝825种．‎ ‎(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．‎ 故共有CC＋CC＋C＝966种选法．‎ 8‎