2020高中数学 第一章组合的综合应用

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2020高中数学 第一章组合的综合应用

第2课时 组合的综合应用 学习目标:1.学会运用组合的概念,分析简单的实际问题.(重点)2.能解决无限制条件的组合问题.(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.组合的有关概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.‎ 组合数用符号C表示,其公式为C==.‎ ‎(m,n∈N*,m≤n),特别地C=C=1.‎ ‎2.组合与排列的异同点 共同点:排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.‎ 不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.‎ ‎3.应用组合知识解决实际问题的四个步骤 ‎(1)判断:判断实际问题是否是组合问题.‎ ‎(2)方法:选择利用直接法还是间接法解题.‎ ‎(3)计算:利用组合数公式结合两个计数原理计算.‎ ‎(4)结论:根据计算结果写出方案个数.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.以下四个命题,属于组合问题的是(  )‎ A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开两辆车往返甲、乙两地 C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题.]‎ ‎2.若5名代表分4张同样的参观券,每人最多分一张,且全部分完,那么分法一共有(  ) ‎ ‎【导学号:95032059】‎ A.A种        B.45种 C.54种 D.C种 D [由于4张同样的参观券分给5名代表,每人最多分一张,从5名代表中选4人满足分配要求,故有C种.]‎ ‎3.某施工小组有男工7名,女工3名,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有(  )‎ 8‎ A.C种 B.A种 C.AA种 D.CC种 D [每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有C种选法;第二步,选男工,有C种选法.故共有CC种不同的选法.]‎ ‎4.设集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A中含有3个元素的子集共有________个.‎ ‎10 [从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集,则共有C=10个子集.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 无限制条件的组合问题 ‎ 现有10名学生,男生6人,女生4人.‎ ‎(1)要选2名男生去参加乒乓球赛,有多少种不同选法?‎ ‎(2)要选男、女生各2人参赛,有多少种不同选法?‎ ‎(3)要选2人去参赛,有多少种不同选法?‎ ‎ 【导学号:95032060】‎ ‎[思路探究] 首先要分清是组合还是排列问题,与顺序有关即为排列,与顺序无关即为组合,一定要理解清楚题意.‎ ‎[解] (1)从6名男生中选2人的组合数是C=15种.‎ ‎(2)分两步完成,先从6名男生中选2人,再从4名女生中选2人,均为组合.C·C=90种.‎ ‎(3)从10名学生中选2名的组合数C=45种.‎ ‎[规律方法] 解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出的元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出的元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数.在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有(  )‎ A.70个  B.80个   C.82个  D.84个 A [分两类分别求即可,共有CC+CC=30+40=70.]‎ ‎2.若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有________种.(用数字作答) ‎ 8‎ ‎【导学号:95032061】‎ ‎140 [第一步,安排周六有C种方法,第二步,安排周日有C种方法,所以不同的安排方案共有CC=140种.]‎ 有限制条件的组合问题 ‎ 高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中选出3名同学参加活动.‎ ‎(1)其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(2)其中某一女生不能在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(3)恰有2名女生在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(4)至少有2名女生在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(5)至多有2名女生在内,不同的取法有多少种?‎ ‎[思路探究] 可从整体上分析,进行合理分类,弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼.使用两个计数原理解决.‎ ‎[解] (1)从余下的34名学生中选取2名,‎ 有C=561(种).‎ ‎∴不同的取法有561种.‎ ‎(2)从34名可选学生中选取3名,有C种.‎ 或者C-C=C=5 984种.‎ ‎∴不同的取法有5 984种.‎ ‎(3)从20名男生中选取1名,从15名女生中选取2名,有CC=2 100种.‎ ‎∴不同的取法有2 100种.‎ ‎(4)选取2名女生有CC种,选取3名女生有C种,共有选取方式N=CC+C=2 100+455=2 555种.‎ ‎∴不同的取法有2 555种.‎ ‎(5)选取3名的总数有C,因此选取方式共有N=C-C=6 545-455=6 090种.‎ ‎∴不同的取法有6 090种.‎ ‎[规律方法] 常见的限制条件及解题方法 ‎1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据.‎ ‎2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以此作为分类依据,或采用间接法求解.‎ ‎3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.‎ 8‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3.某地区发生了特别重大铁路交通事故,某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:‎ ‎(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?‎ ‎(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?‎ ‎(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?‎ ‎[解] (1)分步:首先从4名外科专家中任选2名,有C种选法,再从除外科专家的6人中选取4人,有C种选法,所以共有C·C=90种抽调方法.‎ ‎(2)“至少”的含义是不低于,有两种解答方法,‎ 法一:(直接法):按选取的外科专家的人数分类:‎ ‎①选2名外科专家,共有C·C种选法;‎ ‎②选3名外科专家,共有C·C种选法;‎ ‎③选4名外科专家,共有C·C种选法;‎ 根据分类加法计数原理,共有 C·C+C·C+C·C=185种抽调方法.‎ 法二:(间接法):不考虑是否有外科专家,共有C种选法,考虑选取1名外科专家参加,有C·C种选法;没有外科专家参加,有C种选法,所以共有:‎ C-C·C-C=185种抽调方法.‎ ‎(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况,分类解答.‎ ‎①没有外科专家参加,有C种选法;‎ ‎②有1名外科专家参加,有C·C种选法;‎ ‎③有2名外科专家参加,有C·C种选法.‎ 所以共有C+C·C+C·C=115种抽调方法.‎ 分组(分配)问题 ‎ 6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:‎ ‎(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;‎ ‎(2)分为三份,每份两本;‎ ‎(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;‎ ‎(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本;‎ ‎(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. ‎ ‎【导学号:95032062】‎ ‎[思路探究]‎ 8‎ ‎ (1)是平均分组问题,与顺序无关,相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人,可以理解为一个人一个人地来取,(2)是“均匀分组问题”,(3)是分组问题,分三步进行,(4)分组后再分配,(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”.‎ ‎[解] (1)根据分步乘法计数原理得到:CCC=90种.‎ ‎(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有CCC种方法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每份两本,设有x种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法.根据分步乘法计数原理可得:CCC=xA,所以x==15.因此分为三份,每份两本一共有15种方法.‎ ‎(3)这是“不均匀分组”问题,一共有CCC=60种方法.‎ ‎(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有CCCA=360种方法.‎ ‎(5)可以分为三类情况:①“2、2、2型”即(1)中的分配情况,有CCC=90种方法;②“1、2、3型”即(4)中的分配情况,有CC‎5CA=360种方法;③“1、1、4型”,有CA=90种方法.所以一共有90+360+90=540种方法.‎ ‎[规律方法]‎ ‎1.分清是分组问题还是分配问题,是解题的关键.‎ ‎2.分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:‎ ‎(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等.‎ ‎(2)部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!.‎ ‎(3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎4.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有________种(用数字作答).‎ ‎36 [分两步完成:第一步,将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有种;第二步,将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有A种.所以满足条件的分配方案有·A=36(种).]‎ 排列、组合的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘,有多少个不同的结果?完成的“这件事”指的是什么?‎ ‎[提示] 共有C==6(个)不同结果.‎ 完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘.‎ 8‎ ‎2.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除,有多少不同结果?这是排列问题,还是组合问题?完成的“这件事”指的是什么?‎ ‎[提示] 共有A-2=10(个)不同结果;这个问题属于排列问题;完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除.‎ ‎3.完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类,还是先分步?有多少个不同的结果?‎ ‎[提示] 由于0不能排在百位,而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法,所以完成这件事需按0是否在个位分类进行.第一类:0在个位,则百位与十位共A种排法;第二类:0不在个位且不在百位,则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位,最后从剩余数字中任取一个排十位,共CCC=18(种)不同的结果,由分类加法计数原理,完成“这件事”共有A+CCC=30(种)不同的结果.‎ ‎ 有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数:‎ ‎(1)有女生但人数必须少于男生;‎ ‎(2)某女生一定担任语文课代表;‎ ‎(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;‎ ‎(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表. ‎ ‎【导学号:95032063】‎ ‎[思路探究] (1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生,再选出其他人担任四科课代表.(4)先安排语文课代表的女生,再安排“某男生”课代表,最后选其他人担任余下三科的课代表.‎ ‎[解] (1)先选后排,先选可以是2女3男,也可以是1女4男,共有CC+CC种,后排有A种,‎ 共(CC+CC)·A=5 400种.‎ ‎(2)除去该女生后,先选后排,有C·A=840种.‎ ‎(3)先选后排,但先安排该男生,有C·C·A=3 360种.‎ ‎(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种,再安排该男生有C种,其余3人全排有A种,共C·C·A=360种.‎ ‎[规律方法]  解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 ‎1.按事情发生的过程进行分步.‎ ‎2.按元素的性质进行分类.解决时通常从以下三个途径考虑:‎ ‎(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;‎ ‎(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;‎ ‎(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数.‎ 8‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎5.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为(  )‎ A.360  B.‎520 ‎  C.600  D.720‎ C [分两类:第一类,甲、乙中只有一人参加,则有CCA=2×10×24=480种选法.‎ 第二类,甲、乙都参加时,则有C(A-AA)=10×(24-12)=120种选法.‎ 所以共有480+120=600种选法.]‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.某研究性学习小组有4名男生和4名女生,一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加,其中至少一名女生,则不同的选法种数为(  )‎ A.120   B.‎84 ‎   C.52   D.48‎ C [间接法:C-C=52种.]‎ ‎2.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有(  )‎ ‎ 【导学号:95032064】‎ A.60种 B.20种 C.10种 D.8种 C [四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯,即C=10.]‎ ‎3.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(  )‎ A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 B [分两种情况:①选2本画册,2本集邮册送给4位朋友有C=6种方法;②选1本画册,3本集邮册送给4位朋友有C=4种方法,所以不同的赠送方法共有6+4=10种,故选B.]‎ ‎4.在直角坐标平面xOy上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有________个.‎ ‎225 [在垂直于x轴的6条直线中任取2条,在垂直于y轴的6条直线中任取2条,四条直线相交得出一个矩形,所以矩形总数为C×C=15×15=225个.]‎ ‎5.课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名队长,现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法?‎ ‎(1)只有一名女生;‎ 8‎ ‎(2)两队长当选;‎ ‎(3)至少有一名队长当选;‎ ‎(4)至多有两名女生当选. ‎ ‎【导学号:95032065】‎ ‎[解] (1)一名女生,四名男生,故共有CC=350种选法.‎ ‎(2)将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有CC=165种选法.‎ ‎(3)至少有一名队长当选含有两类:有一名队长当选和两名队长都当选.‎ 故共有CC+CC=825种选法.‎ 或采用间接法:C-C=825种.‎ ‎(4)至多有两名女生含有三类:有两名女生,只有一名女生,没有女生.‎ 故共有CC+CC+C=966种选法.‎ 8‎
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