吉林省吉林市龙潭区吉化第一高级中学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

吉林省吉林市龙潭区吉化第一高级中学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年度第一学期期中考试 高二数学试卷（文科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，试卷满分：150分，考试时间：120分钟.‎ 考试范围：必修33和选修1-1第一二章.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.‎ ‎1.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题“”的否定是：‎ 考点：全称命题与特称命题 ‎2.已知双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的的方程，可直接得出结果.‎ ‎【详解】令，得，‎ 即双曲线双曲线的渐近线方程为.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.‎ ‎3.若,则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由可知，所以“”是“”的充分而不必要条件 考点：充分条件与必要条件 ‎4.椭圆的左右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点，则的周长为（ ）‎ A. B. 6 C. D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由题意，根据椭圆定义，得到，‎ 所以的周长为：.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查椭圆中三角形的周长，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.‎ ‎5.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：‎ ‎①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；‎ ‎④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中数据，结合平均数与方差的计算公式即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：‎ 甲：26，28，29，31，31；乙：28，29，30，31，32；‎ 所以，甲地该月14时的平均气温为：；‎ 乙地该月14时的平均气温为：；故；即①正确；‎ 又甲地该月14时温度的方差为：‎ 乙地该月14时温度方差为：‎ ‎；‎ 故；即④正确.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查由茎叶图求数据的平均数与方差，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是　　 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序的运行结果，分析满足输出条件继续循环和不满足输出条件退出循环时，变量i值所要满足的要求，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得， ‎ 满足判断框内的条件，执行循环体，，，‎ 满足判断框内的条件，执行循环体，，，‎ 满足判断框内的条件，执行循环体，，，‎ 满足判断框内的条件，执行循环体，，，‎ 由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为10．‎ 可得判断框内的条件为？．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了条件结构的程序框图，其中模拟运行过程是处理此类问题常用的方法，属于基础题．‎ ‎7.袋中有大小相同4个小球，编号分别为从袋中任取两个球（不放回）,则这两个球编号正好相差的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：任意取两个的种数为，编号差1的种数有3种，所以概率为 考点：古典概型概率 ‎8.已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入双曲线方程，求得两焦点的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，得到关于的不等式，代入，解不等式得到的横坐标的范围.‎ ‎【详解】因为双曲线方程 所以，‎ 所以，所以 由可得 代入得 ‎，‎ 解得 而 所以或 所以的范围为 故选：D.‎ ‎【点睛】双曲线的几何性质，向量的数量积运算，属于简单题.‎ ‎9.假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 由资料可知对呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（ ）‎ A. 26.2 B. 27 C. 27.6 D. 28.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由表格中数据求出，的平均值，再由回归直线必过样本中心求出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可得：，，‎ 因此这组数据的样本中心点是，由回归直线必过样本中心可得：，‎ 解得；因此线性回归方程为，‎ 所以使用年限为20年时，维修费用约为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查线性回归直线方程，熟记线性回归直线必过样本中心即可，属于常考题型.‎ ‎10.已知是抛物线的焦点,准线与轴的交点为，点在抛物线上,且,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：过N作NE垂直于准线与E．由抛物线定义得：|NE|=|NF|．在Rt△ENM中，因为|EN|=|NF|=|MN|，所以∠EMN=30°．故∠FMN=90°-∠EMN=60°‎ 考点：抛物线的简单性质 ‎11.已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，，由题意得到，，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.‎ ‎【详解】设，，由题意可得：，两式作差可得：，‎ 即，‎ 又点恰好为中点，所以直线的斜率为：，‎ 因此，直线的方程为：，即.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设椭圆的长轴长为，短轴长为；双曲线的实轴长为，虚轴长为；根据题意得到，推出，再结合基本不等式以及椭圆与双曲线离心率的范围，即可得出结果.‎ ‎【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为；双曲线的实轴长为，虚轴长为；‎ 因为椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，‎ 所以，平方可得：，由此可得：，‎ 即，也即，所以，‎ 因为，都是正数，‎ 所以，因为，分别是椭圆与双曲线的离心率，显然不相等，‎ 因此，即取值范围为.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的离心率问题，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题 ‎13.一个单位共有职工人，其中男职工人，女职工人．用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为的样本，应抽取女职工 人．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设女职工抽取人数为 考点：分层抽样 ‎14.若点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点与双曲线的左焦点的距离为_________‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先记双曲线左右焦点分别为，，根据题意求出点纵坐标，得到，再由双曲线定义，即可得出结果.‎ ‎【详解】记双曲线左右焦点分别为，，‎ 因为点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，‎ 所以点横坐标为：，因此，解得，‎ 因此，由双曲线定义可得：，‎ 所以或（舍）.‎ 故答案为11‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线上的点到焦点的距离，熟记双曲线的定义即可，属于基础题型.‎ ‎15.已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若 是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到是正三角形的高，在中，设，可得，所以，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴及焦距，得到椭圆的离心率．‎ ‎【详解】是正三角形，‎ ‎，‎ 直线AB与椭圆长轴垂直，‎ 是正三角形的高，，‎ 中，设，，‎ ‎，‎ 因此，椭圆的长轴，焦距 椭圆的离心率为．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，当时，的面积为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 由条件知．，又根据椭圆定义得：；于是 故的面积为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设命题对任意实数，不等式恒成立；命题方程表示焦点在轴上的双曲线．‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题：“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由于双曲线焦点在轴上，所以，解得；（2）不等式恒成立，等价于判别式为非正数，解得.若或真、且假，则这两个命题一真一假.分别求出假真和真假时的取值范围，取并集得到的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎∴，得；∴当时，为真命题，………………………3分 ‎（2）∵不等式恒成立，∴，∴，‎ ‎∴当时，为真命题．6分 ‎∵为假命题，为真命题，∴一真一假；．．7分 ‎①当真假，②当假真无解 综上，的取值范围是．10分 考点：一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性.‎ ‎18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从某地区随机调查了100个用户，得到用户对产品的满意度评分频率分布表如下：‎ 组别 分组 频数 频率 第一组 ‎10‎ ‎0.1‎ 第二组 ‎20‎ ‎0.2‎ 第三组 ‎40‎ ‎0.4‎ 第四组 ‎25‎ ‎0.25‎ 第五组 ‎5‎ ‎0.05‎ 合计 ‎100‎ ‎1‎ ‎（1）根据上面的频率分布表，估计该地区用户对产品的满意度评分超过70分的概率；‎ ‎（2）请由频率分布表中数据计算众数、中位数，平均数，根据样本估计总体的思想，若平均分低于75分，视为不满意.判断该地区用户对产品是否满意？‎ ‎【答案】（1）0.7（2）样本众数约为75，中位数为75, 平均数约,该地区用户对产品是不满意的 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中数据，直接计算即可得出结果；‎ ‎（2）根据众数、中位数，平均数的概念，结合题中数据直接计算，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）由题中数据可得：该地区用户对产品的满意度评分超过70分的概率为 ‎；‎ ‎（2）由题中数据可得：满意度评分在的频率最高，因此样本众数约为75；‎ 设中位数约为，则由题意可得：，得，‎ 即中位数为75；‎ 又各组中间值分别为55、65、75、85、95，‎ 故平均值约；‎ ‎∵，‎ ‎∴该地区用户对产品是不满意的.‎ ‎【点睛】本题主要考查由频率分布表求中位数、众数，以及平均数，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎19.已知椭圆经过两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线交椭圆于两个不同的点是坐标原点，求的面积．‎ ‎【答案】(I) (II) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)将两点坐标代入椭圆方程中，求出的值，而后求出椭圆的方程；‎ ‎(II)直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，设直线与轴交于点，利用S＝|OP||y1－y2| 进行求解．‎ ‎【详解】解：(1)由题意得: , 解得: ‎ 即轨迹E的方程为＋y2＝1. ‎ ‎(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 故可设AB的方程为x＝y＋1.‎ 由消去x得5y2＋2y－3＝0， ‎ 所以 ‎ 设直线与轴交于点 S＝|OP||y1－y2| ‎ S＝.‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系．‎ ‎20.已知抛物线：上一点到焦点距离为1，‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）直线过点与抛物线交于两点，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用抛物线的定义建立方程，求出p，即可求出抛物线C的方程；（2）联立得，利用OM⊥ON，，即，求出k，即可求直线的方程 试题解析：(1)依据抛物线的定义知：到抛物线焦点F的距离为，所以，抛物线的方程为 ‎（2）依题意，直线的方程设为，联立得，‎ 由，得；‎ ‎∴即 ‎∴即解得 所以直线的方程设为即 考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线相交的相关问题 ‎21.某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过小时收费10元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人参与但都不超过小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的．为吸引顾客，每个顾客可以参加一次抽奖活动．‎ ‎(1) 用表示甲乙玩都不超过小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为44元的概率；‎ ‎(2)抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数，并按如右所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该顾客中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求顾客中奖的概率．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设甲付费a元，乙付费b元，其中a，b=10，18，26，34，由此利用列举法能求出“甲、乙二人付费之和为44元”的概率；（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1点（x，y）在正方形OABC内，作出条件的区域，由此能求出顾客中奖的概率 试题解析：(1)设甲付费元，乙付费元，其中．‎ 则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为：‎ 共16种情形．‎ 其中，这种情形符合题意．‎ 故“甲、乙二人付费之和为元”的概率为 ‎（2）由已知点如图的正方形内，‎ 由条件 得到的区域为图中阴影部分 由，令得；令得；‎ 由条件满足的区域面积．‎ 设顾客中奖的事件为，则顾客中奖的概率 考点：1.古典概型概率；2.几何概型概率 ‎22.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上． ‎ ‎（1）求椭圆方程； ‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为 ‎，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）直线过定点，该定点的坐标为．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由已知得，，解方程即可得解；‎ ‎（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆联立得．设，，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MN的方程为y=k（x-2），从而能证明直线MN过定点（2，0）．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由椭圆的离心率得，其中， ‎ ‎∴，∴解得，，， ‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由题意，知直线存在斜率，设其方程为．由 ‎ 消去，得．设，， ‎ 则， ‎ 即，，.‎ 且 ‎ 由已知，得,即．‎ 化简，得 ‎ ‎∴整理得．‎ ‎∴直线的方程为，因此直线过定点，该定点的坐标为．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎ ‎