2018咸阳市第二次模拟理数答案

2018咸阳市第二次模拟理数答案

1 2018 年咸阳市高考模拟考试试题（二） 理科数学参考答案 一、选择题： DBDDB ABABC CA 二、填空题： (13) ln 2 (14) 6  (15) 20 （16） 2 三、解答题： (17)解: (I)在 ABD 中，由余弦定理得 2 2 2 2 2 28 5 7 1cos 2 2 8 5 2 AB AD BDBAD AB AD          解得 60BADo 注意到 180BAD BCD    o 可 得 120BCDo ………6 分 (II) 在 BCD 中，由余弦定理得 2222 cosBD BC DC BC DC BCD     即 2 2 2 2 27 2 cos120BC DC BC DC BC DC BC DC        o ∵ 222BC DC BC DC   ∴ 3 49BC DC,即 49 3BC DC ∴ 1 1 3 49 3sin sin1202 2 4 12BCDS BD DC BCD BC DC BC DC          o 即 BCD 面积的最大值为 49 3 12 ………12 分 法 2:如图,当C 为弧 BCD中点时, BD 上的高最大,此时 是等腰三角形,易得 30CBD CDB    o,作 上的高CE , 在 Rt BCE 中,由 730 , 2B BE  o ,得 7 23 CE  , 可得 7 7 49 3 2 1223BCDS BE CE      综上知, 即 面积的最大值为 ………12 分 （18） （I）证明:连接 AC ,由 PA 平面 ABCD, BD 平面 得 BD PA ,又 ,BD AC PA AC AI ∴ BD 平面 PAC ,得 PC BD 又 PC BM , BD BC BI ∴ PC 平面 MBD ………6 分 (II)由（I）知 平面 ,即 PBM 是直线 PB 与平面 所成角,易证 PB BC ,而 PCBM  不妨设 1PA  ,则 1, 3, 2BC PC PB   在 Rt PBC 中,由射影定理得 22: : 2:1PM MC PB BC, 可得 2 2 3 33PM PC,所以 6sin 3 PMPBM PB   2 故直线 PB与平面 MBD所成角的正弦值为 6 3 ………12 分 法 2:取 A 为原点,直线 ,,MB MD MP 分别为 ,,x y z 轴,建立 坐标系 A xyz ,不妨设 1,PA AB则 (0,0,1), (1,0,0), (1,1,0),P B C 由（I）知平面 得法向量 (1,1, 1)PC , 而 (1,0, 1)PB  ∴ (1,0, 1) (1,1, 1) 6cos , 323 PB PC       故直线 与平面 所成角的正弦值为 ………12 分 法 3:设 , , , 1,AB a AD b AP c a b c      0a b b c c a      ， 则 PB a c， 由（I）知平面 得法向量 PC a b c   , ∴ 22 ( ) ( ) 2PB PC a c a b c a a b a c c a c b c                 2, 3PB PC ∴ 26cos , 323 PB PC    故直线 与平面 所成角的正弦值为 ………12 分 （19）解： （Ⅰ）参与调查的总人数为 8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000，其中从持“不支持” 态度的人数 2000+3000=5000 中抽取了 30 人，所以 3020000 1205000n    ， ……………2 分 （Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，50 岁以下与 50 岁以上人数之比为 2:3,因此抽取的 10 人中，50 岁以下与 50 岁以上人数分别为 4 人，6 人， 0,1,2,3,  3 1 2 6 4 6 33 10 10 11( 0) ( 1)62 C C CppCC      21 3 46 4 33 10 10 31( 2) ( 3)10 30 CC CppCC      1 1 3 10 1 2 3 1.26 2 10 30E          ……7 分 3 （Ⅲ）总体的平均数为 1 (9.4 8.6 9.2 9.6 8.7 9.3 9.0 8.2 8.3 9.7) 910x            ， 那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2，8.3,9.7,所以任取 1 个数与总体平均数之 差的绝对值超过 0.6 的概率为 3 10 ………12 分 （20）解: （I）设 ( , )C x y ,则依题意得 3 4AC BCkk   ,又 ( 2,0), (2,0)AB ,所以有 3 ( 0)2 2 4 yy yxx    整理得 22 1( 0)43 xy y   ,即为所求轨迹方程 ………5 分 （II）法 1:设直线 :l y kx m,与 223 4 12xy联立得 223 4( ) 12x kx m   ，即 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m     依题意 2 2 2(8 ) 4(3 4 )(4 12) 0km k m      ,即 2234km ∴ 12 2 8 34 kmxx k  得 12 2 4 34 kmxx k  ∴ 22 43( , )3 4 3 4 km mP kk   ,而 ,得 43( , )kP mm  ,又 (4,4 )Q k m 设 ( ,0)Rt 为以 PQ 为直径的圆上一点,则由 0RP RQ 得 43( , ) (4 ,4 ) 0k t t k mmm      整理得 24 ( 1) 4 3 0k t t tm      由 k m 的任意性得 10t  且 2 4 3 0tt   解得 1t  综上知, 以 PQ为直径的圆过 x 轴上一定点(1,0) . …………12 分 法 2：设 00( , )P x y ,则曲线C 在点 P 处切线 00:143 x x y yPQ ,令 4x  ,得 0 0 33(4, )xQ y  ,设 ,则由 0RP RQ得 00( ) (4 ) 3 3 0x t t x      ,即 2 0(1 ) 4 3 0t x t t     由 0x 的任意性得10t 且 解得 综上知, 以 为直径的圆过 轴上一定点 . …………12 分 (21)解: （I） 22( ) ,( 0)xf x xax     当 0a  时, ( ) 0fx  ,知 )(xf 在 (0, ) 上是递减的; 当 0a  时, 2( )( )() x a x afx ax   ,知 在 (0, )a 上是递减的,在( , )a  上递增的. …………6 分 (II)由（I）知, , min( ) ( ) 1 lnf x f a a   , 依题意1 ln 0a 即 ae …………7 分 4 由 2ae 得, 2 2( ) 2ln ( 0)xf x x xe   , 12(0, ), ( )x e x e    由 (2 ) 2 2ln 2 0fe   及 2( ) 0fx  得, 2 2xe ,即 2 ( ,2 )x e e 欲证 122x x e,只要 122x e x 注意到 )(xf 在 (0, )e 上是递减的,且 1( ) 0fx  , 只要证明 2(2 ) 0f e x即可 由 2 2 222( ) 2ln 0xf x xe   得, 22 222 lnx e x 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 222 (2 ) 4 4(2 ) 2ln(2 ) 2ln(2 )e x e ex xf e x e x e xee          22 22 22 4 4 2 ln 2ln(2 )e ex e x exe    2 2 2 2 44 2ln 2ln(2 ), ( ,2 )x x e x x e ee      令 4( ) 4 2ln 2ln(2 ), ( ,2 )tg t t e t t e ee      则 24 2 2 4( )( ) 02 (2 ) etgt e t e t et e t       ,知 ()gt 在 ( ,2 )ee上是递增的,于是 ( ) ( ) 0g t g e,即 综上, …………12 分 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.解: （I）曲线 22:( 5) 10C x y   ,即 2210 15 0x y x    将 2 2 2 cosx y x     代入得 曲线C 的极坐标方程为 2 10 cos 15 0     …………5 分 （II）法 1:由圆的弦长公式 2222rd及 2 10r  ,得圆心 (5,0)C 到直线l 距离 3d  如图,在 Rt OCD 中,易得 3tan 4DOC,可知 直线l 的斜率为 3 4 ………10 分 法 2:设直线 cos:(sin xtltyt      为参数),代入 22( 5) 10xy   中得 22( cos 5) ( sin ) 10tt   整理得 2 10 cos 15 0tt   由 2AB  得 122tt,即 2(10cos ) 4 15 2    解得 4cos 5  ,从而得直线 的斜率为 3tan 4  ………10 分 法 3: 设直线 :l y kx ,代入 中得 22( 5) ( ) 10x kx   ,即 22(1 ) 10 15 0k x x    5 由 2AB  得 2 1212k x x   ,即 22 2 2 10 60(1 )121 kk k  解得直线l 的斜率为 3 4k  ………10 分 法 4: 设直线 :l y kx ,则圆心 (5,0)C 到直线l 的距离为 2 5 1 kd k   , 由圆的弦长公式 2222rd及 2 10r  ,得圆心 到直线l 距离 3d  所以 2 5 3 1 k k   ,解得直线 的斜率为 ………10 分 （23） 解: （Ⅰ）法 1:由 3, 0 ( ) 2 3, 0 3 3, 3 x f x x x x        知 ( ) [ 3,3]fx ,即 3m  …………5 分 法 2:由三角不等式得 ( ) 3 3 3f x x x x x       ,即 …………5 分 法 3:由绝对值不等式的几何意义知 ( ) 3 [ 3,3]( )f x x x x R      ,即 ………5 分 （II）法 1:∵ 2 3 4 3( , , 0)a b c a b c    ∴ 1 1 1 1 1 1 1(2 3 4 )( )2 3 4 3 2 3 4a b ca b c a b c       1 2 3 2 4 3 4[3 ( ) ( ) ( )] 33 3 2 4 2 4 3 a b a c b c b a c a c b        当且仅当 2 3 4a b c,即 1 1 1,,2 3 4a b c   时取等号 即 1 1 1 32 3 4a b c   ………10 分 法 2: ∵ ∴由柯西不等式得 1 1 1 1 1 13 2 3 4 2 3 4 2 3 42 3 4 a b c a b c a b ca b c             整理得 1 1 1 32 3 4a b c   当且仅当 ,即 时取等号 ………10 分