2018-2019学年上海市徐汇中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年上海市徐汇中学高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年上海市徐汇中学高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（ ）‎ A． B．， C．， D，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意验证，，时，不等式不成立，当时，不等式成立，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：当，，时，显然不等式不成立，‎ 当时，不等式成立，‎ 故用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．‎ ‎2．设，则“数列为等比数列”是“数列满足”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】“数列为等比数列”，则，数列满足．反之不能推出，可以举出反例．‎ ‎【详解】‎ 解：“数列为等比数列”，则，数列满足．充分性成立；‎ 反之不能推出，例如，数列满足，但数列不是等比数列，即必要性不成立；‎ 故“数列为等比数列”是“数列满足”的充分非必要条件 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎3．设是复数，从，，，，，，中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）‎ A．3个元素 B．4个元素 C．5个元素 D．6个元素 ‎【答案】A ‎【解析】设复数分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.‎ ‎【详解】‎ 解：设复数 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故由以上的数组成的集合最多有，，这个元素，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.‎ ‎4．已知数列（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个是该数列中的一项，对于命题：‎ ‎① 若数列具有性质，则；‎ ‎② 若数列，，（）具有性质，则；‎ 下列判断正确的是（ ）‎ A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 ‎【答案】A ‎【解析】本题是一种重新定义问题，要我们理解题目中所给的条件，解决后面的问题，把后面的问题挨个验证．‎ ‎【详解】‎ 解：①若数列具有性质，取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，‎ 是该数列中的项，‎ 又由，‎ ‎；故①正确；‎ ‎②数列，，具有性质，，‎ 与至少有一个是该数列中的一项，且，‎ 若是该数列中的一项，则，‎ ‎，易知不是该数列的项 ‎，．‎ 若是该数列中的一项，则或或，‎ a、若同，‎ b、若，则，与矛盾，‎ c、，则，‎ 综上．故②正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．‎ 二、填空题 ‎5．计算：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分子分母同除以，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查“”型的极限计算，熟记常用做法即可，属于基础题型.‎ ‎6．若复数满足（为虚数单位），则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由复数的除法运算可得解.‎ 详解：由，得.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查了复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎7．在等比数列中，，，则________.‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】根据等比数列下标和性质解得。‎ ‎【详解】‎ 解：因为数列是等比数列，，‎ 即 解得 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质若，则，属于基础题.‎ ‎8．若复数（为虚数单位），则的共轭复数________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．‎ ‎【详解】‎ 由z＝i（2﹣i）＝1+2i，‎ 得．‎ 故答案为：1﹣2i．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．‎ ‎9．已知数列满足，（），则________.‎ ‎【答案】31‎ ‎【解析】根据数列的首项及递推公式依次求出、、……即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.‎ ‎10．设是等差数列的前项和，若，，则公差（___）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，即，‎ 又，两式相减得，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎11．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.‎ ‎【答案】512‎ ‎【解析】由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.‎ ‎【详解】‎ 是等比数列， ，， ，， 和是方程的两个实数根， 解方程， 得，， 公比q为整数， ，， ，解得， .故答案为：512‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.‎ ‎12．关于的方程（）的两虚根为、，且，则实数的值是________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】关于方程两数根为与，由根与系数的关系得：‎ ‎，，由及与互为共轭复数可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：与是方程的两根 由根与系数的关系得：，，‎ 由与为虚数根得： ，，‎ 则，‎ 解得，经验证，符合要求，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意与为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．‎ ‎13．若是等差数列，首项，，，则使前项和最大的自然数是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知条件推导出，，由此能求出使前项和成立的最大自然数的值．‎ ‎【详解】‎ 解：等差数列，首项，，，‎ ‎，．‎ 如若不然，，则，‎ 而，得，矛盾，故不可能．‎ 使前项和成立的最大自然数为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前项和取最大值时 的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．‎ ‎14．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意可得，∴，解得 0＜q＜1‎ ‎【考点】等比数列的性质 ‎15．若首项为，公比为（）的等比数列满足，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得且，即且，，化简可得由不等式的性质可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎，‎ 故有且，‎ 化简可得 且 即 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.‎ ‎16．数列的前项和为，，且（），记，则的值是________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由已知条件推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出的值.‎ ‎【详解】‎ 解：因为数列的前项和为，，且（），‎ ‎，.‎ 即，.‎ 是首项为，公比为的等比数列，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的前项和的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理应用，属于中档题.‎ ‎17．把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图乙可得：第行有个数，且第行最后的一个数为，从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列，注意到，，据此确定n的值即可.‎ ‎【详解】‎ 分析图乙，可得①第行有个数，则前行共有个数，②第行最后的一个数为，③从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列，又由，，则，则出现在第行，第行第一个数为，这行中第个数为，前行共有个数，则为第个数．故填．‎ ‎【点睛】‎ 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ 三、解答题 ‎18．（1）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，（），求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用求出数列的通项公式；‎ ‎（2）利用累加法求数列的通项公式；‎ ‎【详解】‎ 解：（1）①‎ 当时，即 当时，②‎ ‎①减②得 经检验时，成立 故 ‎（2）（）‎ ‎……‎ 将上述式相加可得 ‎【点睛】‎ 本题考查作差法求数列的通项公式以及累加法求数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎19．已知方程，.‎ ‎（1）若是它的一个根，求的值；‎ ‎（2）若，求满足方程的所有虚数的和.‎ ‎【答案】（1）；（2）190.‎ ‎【解析】（1）先设出的代数形式，把代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应相等进行求值；‎ ‎（2）由方程由虚根的条件，求出的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特点，求出所有虚根之和．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设，是的一个根，‎ ‎，，‎ ‎，解得，，，‎ ‎（2）方程有虚根，，解得，‎ ‎，，2，，‎ 又虚根是成对出现的，所有的虚根之和为．‎ ‎【点睛】‎ 本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程中虚根的特点，属于中档题．‎ ‎20．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年，为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．‎ ‎（1）试求 的表达式；‎ ‎（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.‎ 试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），‎ 第1年至此后第n（n∈N）年的累计净收入为+×+×+…+×‎ ‎=（千万元）．‎ ‎∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．‎ ‎（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，‎ ‎∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；‎ 当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．‎ 又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利．‎ 答：该项目将从2023年开始并持续赢利；‎ 方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，‎ 令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．‎ 从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；‎ 当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．‎ 又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利．‎ 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．‎ ‎21．已知数列前项和（），数列等差，且满足，前9项和为153.‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；‎ ‎（3）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2），；（3）11.‎ ‎【解析】（1）由数列的前项和结合求得数列的通项公式，再由，可得为等差数列，由已知求出公差，代入等差数列的通项公式得答案；‎ ‎（2）把数列，的通项公式代入，然后利用裂项相消法求和，可得使不等式对一切都成立的最小正整数的值；‎ ‎（3）分为偶数和奇数分类分析得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由．‎ 故当时，．‎ 时，，而当时，，‎ ‎，‎ 又，即 ，‎ 为等差数列，于是．‎ 而，故，，‎ 因此，，即；‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎．‎ 易知单调递增，由，得，而，故，；‎ ‎（3），‎ ‎①当为奇数时，为偶数．‎ 此时，，‎ ‎，．‎ ‎②当为偶数时，为奇数．‎ 此时，．‎ ‎，‎ ‎（舍去）．‎ 综上，存在唯一正整数，使得成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查数列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．‎