专题22+函数与方程思想、数形结合思想（命题猜想）-2019年高考数学（理）命题猜想与仿真押题
【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.
【命题热点突破一】函数与方程思想
1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.
2.函数与方程的思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处文数列问题十分重要.
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
方法一 点坐标代入函数(方程)法
点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法．此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题．破解此类题的关键点：
①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式．
②解含参方程，求解关于参数的方程或不等式．
③检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验．
例1、函数y＝ax (a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为( )
A．2 B．3
C．2或 D.
解析 因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，且y＝logax的图象过点(，a)，
所以a＝loga，所以aa＝，
所以a＝，检验易知当a＝时，函数有意义．故选D.
答案 D
【特别提醒】应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义．
【变式探究】函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(a，)，则a的值为________．
答案
解析 因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(a，)，所以＝aa，
即a＝aa，所以a＝.经检验知a＝符合要求．
方法二 平面向量问题的函数(方程)法
平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：
①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)．
又0
g(x2)，
∴，故选C.
【变式探究】已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式>1的解集为________.
答案 (－∞，0)
解析 ∵函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴g(0)＝g(4)＝1.
设f(x)＝，
则f′(x)＝＝.
又g′(x)－g(x)<0，∴f′(x)<0，
∴f(x)在R上单调递减.
又f(0)＝＝1，∴f(x)>f(0)，∴x<0.
【变式探究】已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，则x的取值范围是__________________.
【变式探究】若x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是______.
答案 [－6，－2]
解析 当－2≤x<0时，不等式转化为a≤.
令f(x)＝(－2≤x<0)，
则f′(x)＝＝，
故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝＝－2.
当x＝0时，不等式恒成立.
当00，
故φ(x)在上单调递增，
所以φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
所以a－＝2－，解得a＝2，
所以a的取值集合为{2}．
答案 {2}
【特别提醒】求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题．
【变式探究】关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在(2，＋∞)上恰成立，则a的取值集合为__________．
答案 {－1,3}
解析 关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在(2，＋∞)上恰成立⇔函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上的值域为(a2－2a＋1，＋∞)．
由f(x)＝x＋，x∈(2，＋∞)，
可得f′(x)＝1－＝>0，
所以f(x)＝x＋在(2，＋∞)上为单调递增函数，
所以f(x)>f(2)＝4.
又关于x的不等式x＋>a2－2a＋1在(2，＋∞)上恰成立，所以a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3.
方法四 函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)
的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.
例4.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
解析 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，
又可设A(x0，2)，D，
点A(x0，2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②
点D在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋2＝r2，③
联立①②③，解得p＝4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
【变式探究】如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，
所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R，
又＝3，则|OP|＝|PQ|＝R.
双曲线C的渐近线方程是y＝x，A(a，0)，
所以点A到直线y＝x的距离d＝＝，
所以2＝(2R)2－R2＝3R2，
即a2b2＝3R2(a2＋b2)，
在△OQA中，由余弦定理得，
|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|cos 60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×＝7R2＝a2.
由得
所以双曲线C的离心率为e＝＝＝＝＝＝.
【变式探究】设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若＝6，则k的值为________.
若两个根y1，y2∉[－2,2]，设φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，其图象的对称轴方程为y＝∈[－2,2]．
则又r>0，解得00，
设Sn＝f(n)，则f(n)为二次函数，
又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，
故Sn取最小值时n的值为12.
【变式探究】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S6＝3，则nSn的最小值为________.
答案 －9
解析 由解得a1＝－2，d＝1，
所以Sn＝ ，故nSn＝.
令f(x)＝，则f′(x)＝x2－5x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
∴ f(x)在上单调递减，在上单调递增.
又∵n是正整数，故当n＝3时，nSn取得最小值－9.
【命题热点突破二】数形结合思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”
，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
方法一 函数图象数形沟通法
函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：
①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．
②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象．
③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化．
④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．
例1、设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
解析 ∵当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，f(x)是最小正周期为2π的偶函数，
∴当x∈[－3π，3π]时，0≤f(x)≤1.
∵当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0，
∴当x∈时，f(x)为单调减函数；
当x∈时，f(x)为单调增函数，
∵当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，
定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y＝sin x和y＝f(x)的草图如图，
由图知y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C.
答案 C
【特别提醒】由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．
【变式探究】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为( )
A．－7 B．－6
C．－3 D．－1
答案 A
解析 因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象，
由图知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个．不妨设7个解中x1.
所以k的取值范围为.
【变式探究】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________.
答案 －7
解析 因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1＝f(x)与y2＝|cos πx|的图象如图所示.
由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个.
不妨设x1时，只需求出当直线y＝ax和曲线y＝ln x相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a的取值范围是.
方法五 、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.
例5.(2018·全国Ⅰ )设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)
C.(－1，0) D.(－∞，0)
答案 D
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0).
故选D.
答案
解析 因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，
由抛物线的定义可知，△APF的周长为
|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝.
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
【变式探究】已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.
答案 2
解析 连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；
当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.
