2018-2019学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．下列命题中的假命题是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】A，由指数函数y＝3x的值域为（0，+∞），可判定A；‎ B，当x＝1，＝0，可判定B；‎ C，当x=2时，, 可判定C；‎ D，当x=时，, 可判定D.‎ ‎【详解】‎ 对于A，由指数函数y＝3x的值域为（0，+∞），可判定A正确；‎ 对于B，当x＝1，＝0，不满足大于0，故B不正确；‎ 对于C，当x=2时，故C正确，‎ 对于D，当x=时，，故D正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假的判定，对于存在性命题，只需要找到符合条件的即可说明，属于基础题．‎ ‎2．双曲线的实轴长为( )‎ A．3 B．4 C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用双曲线方程求解实轴长即可．‎ ‎【详解】‎ 双曲线，焦点在y轴上，可得a＝2，b，‎ 双曲线的实轴长为：2a＝4；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程及简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎3．设函数,则( )‎ A．-6 B．-3 C．3 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由导数的定义可知f′（1），求导，即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据导数的定义：则f′（1），‎ 由f′（x）＝2x+1，‎ ‎∴f′（1）＝3，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的定义，导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎4．双曲线与椭圆共焦点,且一条渐近线方程是,则此双曲线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线中满足c2＝a2+b2，结合题中双曲线的渐近线方程列出方程组，求出a，b；写出双曲线方程．‎ ‎【详解】‎ 椭圆方程为：，‎ 其焦点坐标为（±2，0）‎ 设双曲线的方程为 ‎∵椭圆与双曲线共同的焦点 ‎∴a2+b2＝4①‎ ‎∵一条渐近线方程是，‎ ‎∴②‎ 解①②组成的方程组得a＝1，b 所以双曲线方程为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程，其中椭圆中三系数的关系是：a2＝b2+c2；双曲线中系数的关系是：c2＝a2+b2，做题时需要细心.‎ ‎5．函数则的大小关系为(　 )‎ A． B． C． D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由f（x）＝x2＋2x f ′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），‎ 把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=-2，∴，‎ ‎∴f（-1）=5，f（1）=-3，则f（-1）＞f（1）．‎ ‎【考点】导数的运算 ‎6．对于实数则是的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】举例说明不满足充分性和必要性.‎ ‎【详解】‎ 当时，不一定有．比如a=-1，b=2.故不是充分条件；‎ 反之，若，不一定有，比如a=2，b=-1.故不是必要条件；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件的判断，一般采用举反例说明不成立.‎ ‎7．若函数在[0,1]上单调递减，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求导数，再由“在[0,1]内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在[0,1]上恒成立求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在[0,1]上单调递减，‎ ‎∴f′（x）＝ex﹣a≤0，在[0,1]上恒成立，‎ ‎∴a≥ex在[0,1]上恒成立，‎ ‎∵y＝ex在[0,1]上为增函数，‎ ‎∴y的最大值为e，‎ ‎∴a≥e，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零．‎ ‎8．已知定义在上的函数的图象如图所示,则的解集为(　　).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：不等式等价为当时,,即时,函数递增,此时,或者当时,,即时,函数递减,此时,综上或,即不等式的解集为,所以A选项是正确的.‎ ‎【考点】单调性和导数之间的关系.‎ ‎9．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且，若AB＝6，BC＝2，则椭圆的焦距为(　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程，由条件结合条件得到点的坐标，代入椭圆的方程，求解，进而求得的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的方程为，‎ 由题意可知，得，即椭圆的方程为，‎ 因为，如图所示，可得点，‎ 代入椭圆的方程，即，解得， ‎ 所以，即，‎ 所以椭圆的焦距为，故选C.‎ ‎ 【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中根据三角形的性质，得到点的坐标，代入椭圆的方程求解得值，再借助求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎10．已知双曲线 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出双曲线双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵双曲线（a＞0，b＞0），‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是y＝±x 又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x，‎ 故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，‎ 又由双曲线的离心率为2，所以2，则，‎ A，B两点的纵坐标分别是y＝±，即=,‎ 又△AOB的面积为，且轴，‎ ‎∴，得p＝2．‎ 抛物线的焦点坐标为：（1，0）‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨．‎ ‎11．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时， ，若，则的大小关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数g（x），由g′（x），可得函数g（x）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g（x）为偶函数，即可判断．‎ ‎【详解】‎ 构造函数g（x），‎ ‎∴g′（x），‎ ‎∵xf′（x）﹣f（x）＜0，‎ ‎∴g′（x）＜0，‎ ‎∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．‎ ‎∵函数f（x）为奇函数，‎ ‎∴g（x）是偶函数，‎ ‎∴cg（﹣3）＝g（3），‎ ‎∵ag（e），bg（ln2），‎ ‎∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），‎ ‎∴c＜a＜b，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎12．命题的否定是____________。‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得结论.‎ ‎【详解】‎ 根据特称命题的否定是全称命题，‎ 得命题的否定是“或；‎ 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 考查了特称命题与全称命题的否定，即只需“改量词，否结论”，则可得特称命题与全称命题的否定.‎ ‎13．函数在点（1，0）处的切线方程为____________。‎ ‎【答案】x﹣y﹣1=0‎ ‎【解析】试题分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．‎ 解：由f（x）=xlnx，得 ‎，‎ ‎∴f′（1）=ln1+1=1，‎ 即曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，‎ 则曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），‎ 整理得：x﹣y﹣1=0．‎ 故答案为：x﹣y﹣1=0．‎ ‎14．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小值为______。‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题设条件可知bc＝2．则2bc，利用基本不等式求得最值，可得椭圆长轴的最小值．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，当椭圆上点在短轴端点时，三角形的面积的最大值，即有bc＝2．‎ ‎∴2bc，‎ ‎∴a≥2，当且仅当b时取“＝”．‎ ‎∴2a≥4，即椭圆长轴长的最小值为4，‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的性质及其应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．‎ ‎15．已知函数，对于且都有，则的取值范围是_________。‎ ‎【答案】[9，+∞）．‎ ‎【解析】不妨设x1＜x2，把6化为f（x1）﹣f（x2）＜6（x1﹣x2），构造函数g（x）＝f（x）﹣6x，利用g（x）的导数g'（x）＞0，求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 任取x1、x2∈（0，+∞），‎ 且x1＜x2，‎ ‎∵6，‎ f（x1）﹣f（x2）＜6（x1﹣x2），‎ 构造函数g（x）＝f（x）﹣6x，‎ ‎∴g（x）在（0，+∞）是单调递增函数，‎ ‎∴g′（x）＝f′（x）﹣60；‎ ‎∴a（6﹣x）x，‎ 设函数t＝6x﹣x2＝﹣（x﹣3）2+9≤9，‎ ‎∴a9；‎ ‎∴a的取值范围是[9，+∞）．‎ 故答案为[9，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的概念以及不等式恒成立问题，解题时注意将不等式两边化为形式相同的函数，通过构造函数，从而使问题得以解答．‎ 三、解答题 ‎16．已知命题“方程表示双曲线”；命题使得，若命题“p∧¬q”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题p：方程表示双曲线，则（a-1）（a﹣7）＜0，解得a范围．命题q：使得．则△＞0，解得a范围．可得￢q．再利用“p∧¬q”为真命题即可得出．‎ ‎【详解】‎ 命题p：方程表示双曲线，‎ 则（a-1）（a﹣7）＜0，解得1＜a＜7．‎ 命题q：使得，‎ 则△＝＞0，解得a＜-1或a>3．‎ 可得￢q：[-1，3]．‎ ‎∵“p∧¬q”为真命题，∴1＜a＜7且-1a3．‎ ‎∴实数a的取值范围是（1，3]．‎ 故答案为（1，3]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎17．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点。‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），运用抛物线的定义，可得23，解得p＝2，进而得到抛物线的方程；‎ ‎（2）由题意，直线AB方程为y＝x﹣1，与y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式，算出|AB|；利用点到直线的距离公式算出点O到直线AB的距离，即可求出△AOB的面积 ‎【详解】‎ ‎（1）抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，‎ 且过一点P（2，m），‎ 可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），‎ P（2，m）到焦点的距离为3，‎ 即有P到准线的距离为6，即23，‎ 解得p＝2，‎ 即抛物线的标准方程为y2＝4x；‎ ‎（2）联立方程化简，得x2﹣6x+1＝0‎ 设交点为A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎∴x1+x2＝6，x1x2＝1‎ 可得|AB||x1﹣x2|＝8‎ 点O到直线l的距离d，‎ 所以△AOB的面积为S|AB|•d82．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程的求法及抛物线定义的应用，考查待定系数法的运用，考查求焦点弦AB与原点构成的△AOB面积，属于中档题．‎ ‎18．已知时，函数有极值 ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若方程有3个实数根，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）先求导数，根据f（1）＝-2，f′（1）＝0列出方程求出a，b；‎ ‎（2）由（1）所求解析式可得f′（x），利用导数可得f（x）的单调区间及极值，根据f（x）的图象的大致形状即可求得k的范围；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以f′（x）＝3ax2+b．‎ 又因为当x＝1时，f（x）的极值为-2，所以，‎ 解得a＝1，b＝-3．‎ ‎（2）由（1）可得，f′（x）＝3x2-3＝3（x+1）（x﹣1），‎ 令f′（x）＝0，得x＝±1，‎ 当x＜﹣1或x＞1时f′（x）＞0，f(x)单调递增，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f(x)单调递减；‎ 所以当x＝﹣1时f（x）取得极大值，f（﹣1），当x＝1时f（x）取得极小值，f（1），大致图像如图：‎ 要使方程f（x）＝k有3个解，只需k．‎ 故实数k的取值范围为（-2，2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数在某点取得极值的条件及根的个数判断，考查数形结合思想，根据单调性及极值画出函数的图像是关键，属于中档题．‎ ‎19．2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔。我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量（单位：百件）与销售价格（元/件）近似满足关系式，其中为常数已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件。‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润（单位：百元）最大。‎ ‎【答案】（1）；（2）当销售价格为3元/件时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎【解析】（1）由题意将（3，10）代入函数解析式，建立方程，即可求出g（x）的解析式；‎ ‎（2）商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，102（3-5）2，解得a＝2，故g（x）2（x﹣5）2（2＜x＜5）；‎ ‎（ 2）商场每日销售该商品所获得的利润为y＝h（x）＝（x﹣2）g（x）＝2+2（x﹣5）2（x﹣2）（2＜x＜5），‎ y′=4（x-5）(x-2)+ 2（x﹣5）2＝2(3x-9)（x﹣5）．‎ 列表得x，y，y′的变化情况：‎ ‎ x ‎（2，3）‎ ‎3‎ ‎（3，5）‎ ‎ y'‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ y ‎ 单调递增 极大值10 ‎ ‎ 单调递减 由上表可得，x＝3是函数h（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点，此时y＝10‎ ‎【点睛】‎ 本题函数解析式的求解比较简单，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于A，B两点，的周长为。‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)是否存在直线使为直角，若存在求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）故不存在直线使为直角 ‎【解析】（1）由离心率为得ac，由△F1AB周长为4可求得a值，进而求得b值；‎ ‎（2）联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程根与系数之间的关系，利用设而不求思想进行转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆离心率为，∴，∴ac，‎ 又△F1AB周长为4，∴4a＝4，解得a，∴c＝1，b，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：；‎ ‎（2）椭圆C的右焦点（1，0），‎ ‎①当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于（，）．（1，）两点，显然不存在满足条件的直线．‎ ‎②当直线l斜率存在时，设直线l：y＝kxk代入，‎ 消y得，（2+3k2）x2-6k2x+3k2﹣6＝0，‎ 由于直线l经过椭圆 C左焦点，所以直线l必定与椭圆C有两个交点，‎ 则△＞0恒成立 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，‎ 若为直角，则0，即x1x2+y1y2＝0 （）‎ 而y1y2＝（kx1k）（kx2k）＝k2x1x2k2（x1+x2）+k2，代入（）式得，‎ ‎（1+k2）x1x2k2（x1+x2）+k2＝0，‎ 即（1+k2）•k2•k2＝0，解得k2，‎ 所以不存在k使得为直角．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查了直线和椭圆位置关系的应用，利用设而不求思想转化为一元二次方程是解决本题的关键，考查分析问题的能力及综合运算能力．‎ ‎21．已知函数 ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)若关于的不等式在[1，＋∞）上恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；‎ ‎（2）令h（x）＝lnx+ex﹣2ax+2a﹣e，求出函数的导数，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，‎ 当a≤0时，1﹣2ax＞0，故f（x）＞0；‎ 当a>0时，x=，故当时，f（x）＞0，当时，f ‎'（x）＜0；‎ 综上：当a≤0时，函数f（x）在(0，+∞）上单调递增；‎ 当a>0时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）由题意得，当x≥1时，lnx+ex﹣2ax+2a﹣e≥0恒成立；‎ 令h（x）＝lnx+ex﹣2ax+2a﹣e，‎ 求导得，‎ 设，则，‎ 因为x≥1，所以，所以（x）＞0，‎ 所以φ（x）在[1，+∞）上单调递增，即h'（x）在[1，+∞）上单调递增，‎ 所以h（x）≥h（1）＝1+e﹣2a；‎ ‎①当时，h（x）≥0，此时，h（x）＝lnx+ex﹣2ax+2a﹣e在[1，+∞）上单调递增，‎ 而h（1）＝0，所以h（x）≥0恒成立，满足题意；‎ ‎②当时，h（1）＝1+e﹣2a＜0，‎ 而；‎ 根据零点存在性定理可知，存在x0∈（1，ln2a），使得h（x0）＝0．‎ 当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，h（x）单调递减；‎ 当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，h（x）单调递增．‎ 所以有h（x0）＜h（1）＝0，这与h（x）≥0恒成立矛盾，舍去；‎ 综上所述，实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎