数学文卷·2018届广东省珠海二中、斗门一中高三上学期期中联考（2017

数学文卷·2018届广东省珠海二中、斗门一中高三上学期期中联考（2017

珠海二中2017－2018学年度第一学期期中考试 高　三　年级　　（文数）试题 考试时间　120　分钟，总分　150　分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知集合M＝，N＝，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．命题“”的否定是 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4．已知等比数列的公比为正数，前项和为，，则等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知平面向量，，则与的夹角为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数的大致图象为 （ ）‎ ‎7．多面体的底面为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则的长为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 第7题图 ‎8．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 （ ）‎ ‎ A．若，则 　 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11．设D表示不等式组所确定的平面区域，在D内存在 无数个点落在y＝a（x+2）上，则a的取值范围是 （　　）‎ ‎ A．R B．（，1） C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）‎ ‎12．设是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数，恒有，当时，，则函数在区间上零点的个数为 （ ）‎ ‎ A．2017 B．‎2018 C．4034 D．4036‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13．已知，则 ．‎ ‎14．已知矩形，，则 ．‎ ‎15．已知函数的极小值点，则＝ ．‎ ‎16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”． “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2018这2017个数中，能被3除余1且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都须作答．第22、23题为选考题，考生只选其一作答．）‎ ‎17．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎ （Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2‎ 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知数列与满足，，，且．‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设，为数列的前项和，求．‎ ‎19．（本小题满分12分）2017年年底，某商业集团根据相关评分标准，对所属20家商业连锁店进行了年度考核评估，并依据考核评估得分（最低分60分，最高分100分）将这些连锁店分别评定为A，B，C，D四个类型，其考核评估标准如下表：‎ 评估得分 ‎[60,70）‎ ‎[70,80）‎ ‎[80,90）‎ ‎[90,100]‎ 评分类型 D C B A 考核评估后，对各连锁店的评估分数进行统计分析，得其频率分布直方图如下：‎ ‎（Ⅰ）评分类型为A的商业连锁店有多少家；‎ ‎（Ⅱ）现从评分类型为A，D的所有商业连锁店中随机抽取两家做分析，求这两家来自同一评分类型的概率．‎ P B A D C M ‎20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．‎ ‎ （Ⅰ）设是线段上的一点，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎ （Ⅰ） 当a＝0时，求曲线f（x）在x ＝1处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ） 设函数，求函数h（x）的极值；‎ ‎ （Ⅲ） 若在[1，e]（e＝2．718 28…）上存在一点x0，使得成立，求a的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点,倾斜角为 ‎ （I）求曲线C的直角坐标方程与直线的标准参数方程；‎ ‎ （II）设直线与曲线C交于A,B两点，求．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎ （I）当时，求不等式的解集；‎ ‎ （II）设关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．‎ 珠海市斗门区第一中学2017－2018学年度第一学期期中考试 高　三　年级　　（文数）试题 考试时间　120　分钟，总分　150　分， 命题人： 审题人：‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1、已知集合M＝，N＝，则（ ）D ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2、已知复数满足，则（ ）B ‎ A． B． C． D．‎ ‎3、命题“”的否定是（ ）C ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎4、已知等比数列的公比为正数，前项和为，，则等于（ ）D ‎ A． B． C． D．‎ ‎5、已知平面向量，，则与的夹角为（ ）B ‎ A． B． C． D．‎ ‎6、函数的大致图象为（ ）C ‎7、多面体的底面为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则的长为（ ）C A． B． ‎ C． D．‎ ‎8、如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）C A． B． C． D．‎ ‎9、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）D ‎ A．若，则 　 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎10、执行如图所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围是（ ）A ‎ A． B． C． D．‎ ‎11、设D表示不等式组所确定的平面区域，在D内存在无数个点落在y＝a（x+2）上，则a的取值范围是（　　）C ‎ A．R B．（，1） C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）‎ ‎12、设是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数，恒有，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）B ‎ A．2017 B．‎2018 C．4034 D．4036‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13、已知，则 ．‎ ‎14、已知矩形，，则 ．4‎ ‎15、已知是函数的极小值点，则＝ ．2‎ ‎16、“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”． “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2018这2017个数中，能被3除余1且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 ． 134‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）‎ ‎17、（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎ （1）求函数的单调递增区间；‎ ‎ （2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．‎ 解：（1） ‎ ‎ ……3分 ‎ 由得 ……5分 ‎ 所以的单调递增区间是 ……6分 ‎（2）由（1）知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到 的图象， ……10分 即，所以． ……12分 ‎18、（本小题满分12分）已知数列与满足，，‎ ‎，且．‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设，为数列的前项和，求．‎ 解：（Ⅰ）因为，，‎ 所以， ……2分 所以是等差数列，首项为，公差为4，即． ……5分 ‎（Ⅱ）． ……6分 ‎∴，①‎ ‎，② ……8分 ‎①②得：‎ ‎， ……11分 ‎∴． ……12分 ‎19、（本小题满分12分）2017年年底，某商业集团根据相关评分标准，对所属20家商业连锁店进行了年度考核评估，并依据考核评估得分（最低分60分，最高分100分）将这些连锁店分别评定为A，B，C，D四个类型，其考核评估标准如下表：‎ 评估得分 ‎[60,70）‎ ‎[70,80）‎ ‎[80,90）‎ ‎[90,100]‎ 评分类型 D C B A 考核评估后，对各连锁店的评估分数进行统计分析，得其频率分布直方图如下：‎ ‎（Ⅰ）评分类型为A的商业连锁店有多少家；‎ ‎（Ⅱ）现从评分类型为A，D的所有商业连锁店中随机抽取两家做分析，求这两家来自同一评分类型的概率．‎ 解：（Ⅰ）评分类型为A的商业连锁店所占的频率为，‎ 所以评分类型为A的商业连锁店共有家；………………．4分 ‎（Ⅱ）依题意评分类型为D的商业连锁店有3家，‎ 设评分类型为A的4商业连锁店为，‎ 评分类型为D的3商业连锁店为，………………………．6分 从评分类型为A，D的所有商业连锁店中随机抽取两家的所有可能情况有 共21种，…………………．10分 其中满足条件的共有9种，………………………．11分 所以这两家来自同一评分类型的概率为．………………………．12分 ‎20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．‎ P B A D C M ‎ （Ⅰ）设是线段上的一点，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积．‎ P B A D C M O ‎（Ⅰ）证明：在中，，，，‎ ‎∵ ‎ ‎,即．………………2分 又平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 平面，………………………………………………………………4分 又平面，‎ 平面平面…………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）解：过作交于，‎ 又∵平面平面，平面平面，平面，‎ 平面…………………………………………………………………6分 线段为四棱锥的高，………………………………………………8分 在四边形中，∵，，‎ 四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，‎ 即梯形的高为，………………………………………………10分 梯形的面积为 ………………………………11分 ‎．…………………………………………………12分 ‎21、（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎ （Ⅰ） 当a＝0时，求曲线f（x）在x ＝1处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ） 设函数，求函数h（x）的极值；‎ ‎ （Ⅲ） 若在[1，e]（e＝2．718 28…）上存在一点x0，使得成立，‎ 求a的取值范围．‎ 解：（Ⅰ） 当a＝0时，f （x） ＝, f （1） ＝1, 则切点为（1, 1），………………………1分 ‎∵, ∴切线的斜率为, ……………………………………2分 ‎∴曲线f （x）在点（1, 1）处的切线方程为y-1＝ -（ x-1），即x+ y-2＝0…………………3分 ‎（Ⅱ）依题意，定义域为（0, +∞），‎ ‎∴, ……………………4分 ‎①当a+1＞0，即a＞-1时，令，∵x＞0，∴0＜x＜1+ a, ‎ 此时，h（x） 在区间（0, a+1）上单调递增，‎ 令，得 x＞1+ a．‎ 此时，h（x）在区间（a+1,+∞）上单调递减． ……………………………………5分 ‎②当a+1≤0，即a≤-1时，恒成立， h（x）在区间（0,+∞）上单调递减． ………6分 综上，当a＞-1时，h（x）在x＝1+a处取得极大值h（1+a）＝，无极小值；‎ 当a≤-1时，h（x）在区间（0,+∞）上无极值． ………………………………………7分 ‎（Ⅲ） 依题意知，在[1, e]上存在一点x0，使得成立,‎ 即在[1, e]上存在一点x0，使得h（x0）≥0，‎ 故函数在[1, e]上，有h（x）max≥0． ………………………………8分 由（Ⅱ）可知，①当a+1≥e, 即a≥e-1时，h（x）在[1, e]上单调递增，‎ ‎∴, ∴, ‎ ‎∵，∴． ‎ ‎ ………………………………………………………9分 ‎②当0＜a+1≤1，或a≤-1，即a≤0时，h（x）在[1, e]上单调递减，‎ ‎∴，∴a ≤-2． ……………………………………………10分 ‎③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e-1时，‎ 由（Ⅱ）可知，h（x）在x＝1+a处取得极大值也是区间（0, +∞）上的最大值，‎ 即h（x）max＝h（1+a）＝，‎ ‎∵0＜ln（a+1）＜1, ∴h（1+a）＜0在[1, e]上恒成立，‎ 此时不存在x0使h（x0）≥0成立．……………………………………………………………11分 综上可得，所求a的取值范围是或a≤-2． ……………………………………12分 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点,倾斜角为 ‎ （1）求曲线C的直角坐标方程与直线的标准参数方程；‎ ‎ （2）设直线与曲线C交于A,B两点，求．‎ 解：（1）对于C：由 ……2分 对于 有 ……4分 ‎（2）设A,B两点对应的参数分别为 将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程 得 ‎ 化简得 ……6分 ‎ ……10分 ‎23、（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎ （I）当时，求不等式的解集；‎ ‎ （II）设关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．‎ 解：（I）当时，，‎ ‎，‎ 上述不等式可化为或或 解得或或 ……………………………………3分 ‎∴或或， ……………………… ……………4分 ‎∴原不等式的解集为． ……………………………………………5分 ‎（II）∵的解集包含，‎ ‎∴当时，不等式恒成立，…………………………………6分 即在上恒成立，‎ ‎∴， ‎ 即，∴，………………………………………………7分 ‎∴在上恒成立，…………………………………8分 ‎∴， ∴，‎ 所以实数的取值范围是．………………………………………………10分