数学理卷·2019届四川省成都市树德中学高二上学期阶段性考试（2017-12）

数学理卷·2019届四川省成都市树德中学高二上学期阶段性考试（2017-12）

‎ 高2016级高二上期12月阶段性测试数学试题（理科）‎ 一：选择题（60分）‎ ‎1．下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“3能被2整除”是真命题 B. 命题“，”的否定是“，”‎ C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题 D. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是假命题 ‎2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是 （ ）‎ A. 3 B. 9C. 51D. 17‎ ‎3．是任意实数，则方程表示的曲线不可能是(　　)‎ A. 椭圆B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 ‎4.已知是不同的两个平面，直线，直线，条件与没有公共点，条件，则是的（ ）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ ‎ C． 充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎5．把离心率的曲线称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（）‎ ‎ A.无交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 有4个交点 ‎6．椭圆的一个顶点在抛物线的准线上，则椭圆的离心率（ ）‎ A B a b l A. B. C. D. ‎ ‎7．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则（ ）‎ ‎ A. B．‎ ‎ C． D．‎ ‎8．如图所示，在正方体中，点是平面内一点，且，则的最大值为（ ）．‎ A. B. C. 2D. ‎ ‎9．如图程序框图在输入时运行的结果为，点M为抛物线 上的一个动点，设点M到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A.B. C. 2D. ‎ ‎10．在正方体中，在线段上运动且不与，重合，给出下列结论：‎ ‎①；‎ ‎②平面；‎ ‎③二面角的大小随点的运动而变化；‎ ‎④三棱锥在平面上的投影的面积与在平面上的投影的面积之比随点的运动而变化；‎ 其中正确的是（）‎ A．①③④ B．①③‎ C．①②④ D．①②‎ ‎11．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点.的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．如图，面,B为AC的中点，，且P到直线BD的距离为则的最大值为（）‎ ‎ A．30° B．60° ‎ C．90° D．120°‎ 二：填空题（20分）‎ 13. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是．‎ 14． 执行程序框图，该程序运行后输出的S的值是__________．‎ 15. 已知，若向量共面，则．‎ 16. 抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．‎ 三． 解答题（70分）‎ ‎17.（10分）已知：方程有两个不等的正根；：方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围 ‎18.（12分）设分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）已知直线与双曲线的右支交于两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标．‎ ‎19.（12分）如图，在直三棱柱中，，‎ ‎，分别是的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线和平面所成角的大小．‎ ‎20.（12分）已知抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设点在抛物线上，过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线、分别交直线于、两点，求最小时直线的方程.‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且．‎ ‎（Ⅰ）已知点在上，且，求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①；②；③．‎ ‎（1）求顶点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．‎ ①求四边形的面积的最小值；‎ ②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．‎ 高2016级高二上期12月阶段性测试数学理科答案 ‎1-12 C C C B D C D D B D A B ‎13. 14.-9 15.3 16.‎ ‎17.（1）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，‎ 所以，解得，即.‎ ‎（2）若方程有两个不等的正根，‎ 则解得，即.‎ 因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，，解得；‎ 当为假，为真时，，解得.综上，或.‎ ‎18.(1）双曲线的渐近方程为，焦点为，‎ 焦点到渐近线的距离为，‎ 又，双曲线的方程为 ‎（2）设点 由得：，‎ ‎，，有 又点在双曲线上，,解得，‎ 点在双曲线的右支上，，，此时点．‎ ‎19.解：解法一：（I）证明：由已知 所以BC⊥平面ACC1A1连接AC1，则BC⊥AC1。 ‎ 由已知，侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1 ‎ 又 ‎ 因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，‎ 则点M是AB1的中点，‎ 又点N是B1C1的中点，则MN是的中位线，所以MN//AC1故MN⊥平面A1BC ‎（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，‎ 连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角 设AC=BC=CC1=a，则在 所以 ，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°‎ 解法二：建系 ‎ ‎20（1）抛物线的焦点为，，得，或（舍去）‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）点在抛物线上，∴，得，设直线为，，，由得，；‎ ‎∴，，，‎ 由，得，同理；‎ ‎∴当时，，此时直线方程：‎ ‎21.（Ⅰ）∵，，∴，‎ ‎∵底面是直角梯形，，，‎ ‎∴，即，∴，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，则，∴，‎ ‎∵底面，∴，∵，‎ ‎∴平面，∵平面，∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）解：∵，，∴平面，则为直线与平面所成的角，‎ 若与平面所成夹角为，则，即，‎ 取的中点为，连接，则，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量，则即 令，则，，∴，‎ ‎∵是平面的一个法向量，∴，‎ 即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为．‎ ‎22.（1）∵，由①知，∴为的重心，设，则，由②知是的外心，∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：．‎ ‎（2）解：恰为的右焦点，‎ ‎①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，‎ 由，‎ 设则，‎ ‎①根据焦半径公式得，‎ 又，‎ 所以，同理，‎ 则，‎ 当，即时取等号．‎ ‎②根据中点坐标公式得，同理可求得，‎ 则直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 整理化简得，‎ 令，解得，∴直线恒过定点，‎ ‎②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线即为轴，过点，‎ 综上，的最小值的，直线恒过定点．‎