数学卷·2018届湖南省常德一中高二下学期3月月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届湖南省常德一中高二下学期3月月考数学试卷（文科）（解析版）

湖南省常德一中2016-2017学年高二（下）3月月考数学试卷（文科）（解析版）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（　　）‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP ‎2．命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是（　　）‎ A．若a，b都是偶数，则a+b不是偶数 B．若a，b都不是偶数，则a+b不是偶数 C．若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数 D．若a，b不都是偶数，则a+b是偶数 ‎3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）‎ A． B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+1‎ ‎4．若条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是（　　）‎ A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3‎ ‎5．已知函数f（x）的定义域为（0，2]，函数f（）的定义域为（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，3] C．[，3） D．（0，）‎ ‎6．设＜（）b＜（）a，则下列不等关系成立的是（　　）‎ A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa ‎7．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为（　　）‎ A．f（x）=2+|x+1| B．f（x）=2﹣x C．f（x）=3﹣|x+1| D．f（x）=2x+4‎ ‎8．函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，） C．[﹣1，） D．（0，）‎ ‎10．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）‎ ‎11．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（　　）‎ A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）‎ C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）‎ ‎12．设函数f（x）=，则函数F（x）=xf（x）﹣1的零点的个数为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．函数y=loga（x﹣1）（其中a＞0且a≠1）的图象恒过定点　 　．‎ ‎14．方程x2﹣2x+m=0在（﹣1，5）有一根，实数m的取值范围为　 　．‎ ‎15．如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n根金属片从1号针移到3号针最小需要移动的次数为f（n），则f（10）　 　．‎ ‎16．关于函数，有下列命题 ‎①其图象关于y轴对称；‎ ‎②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；‎ ‎③f（x）的最小值是lg2；‎ ‎④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数；‎ ‎⑤f（x）无最大值，也无最小值 其中所有正确结论的序号是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．（10分）已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|y=}．‎ ‎（Ⅰ）若A∪B=R，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+4x ‎（1）求函数f（x），x∈R的解析式；‎ ‎（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，4]，记函数g（x）的最大值为h（a），求函数h（a）的解析式，并写出函数h（a）的值域．‎ ‎19．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．‎ ‎（1）求f（x）．‎ ‎（2）在区间[﹣1，1]上，函数f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．‎ ‎（1）求f（1）的值；‎ ‎（2）判断并证明f（x）的单调性；‎ ‎（3）若f（3）=﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．‎ ‎（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；‎ ‎（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）判断并证明f（x）的奇偶性；‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省常德一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（　　）‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP ‎【考点】18：集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q⊆CRP．‎ ‎【解答】解：∵P={x|x＜1}，‎ ‎∴CRP={x|x≥1}，‎ ‎∵Q={x|x＞1}，‎ ‎∴Q⊆CRP，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．‎ ‎　‎ ‎2．命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是（　　）‎ A．若a，b都是偶数，则a+b不是偶数 B．若a，b都不是偶数，则a+b不是偶数 C．若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数 D．若a，b不都是偶数，则a+b是偶数 ‎【考点】25：四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】根据命题的否定和命题之间的关系确定结论即可．‎ ‎【解答】解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，‎ 则命题“若a，b都是偶数，则a+‎ b是偶数”的否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）‎ A． B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+1‎ ‎【考点】3K：函数奇偶性的判断；3E：函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．‎ ‎【解答】解：A中，y=为奇函数，故排除A；‎ B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；‎ C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，‎ 所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；‎ D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶i性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．‎ ‎　‎ ‎4．若条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是（　　）‎ A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3‎ ‎【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出：|x+1|＞2，根据￢p是￢q的充分不必要条件，得出q⊊p，再运用集合关系求解．‎ ‎【解答】解：∵p：|x+1|＞2，‎ ‎∴p：x＞1或x＜﹣3，‎ ‎∵￢p是￢q的充分不必要条件，‎ ‎∴q是p充分不必要条件，‎ ‎∴p定义为集合P，q定义为集合q，‎ ‎∵q：x＞a，p：x＞1或x＜﹣3，‎ ‎∴a≥1‎ 故选：A ‎【点评】本题综合考察了充分必要条件，与命题之间的关系，结合不等式求解，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数f（x）的定义域为（0，2]，函数f（）的定义域为（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，3] C．[，3） D．（0，）‎ ‎【考点】33：函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】定义域是自变量x的取值范围所组成的集合，所以，我们要求出中x的取值范围．‎ 首先考虑要满足的条件即x+1≥0．‎ 其次x和的范围一致，即，‎ 进而求出x的范围 ‎【解答】解：由函数的定义域得，‎ 又∵要满足x+1≥0‎ 综合得﹣1＜x≤3‎ 故选B．‎ ‎【点评】复合函数的定义域是经常被考查的，所以要理解其解题时要注意的问题．‎ ‎　‎ ‎6．设＜（）b＜（）a，则下列不等关系成立的是（　　）‎ A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa ‎【考点】49：指数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】利用做商法和a，b的范围，以及不等式的性质，进行比较大小关系即可．‎ ‎【解答】解：函数y=在R递减，‎ 由＜（）b＜（）a，‎ 得a＜b＜1，‎ ‎∴=aa﹣b＞1，则有aa＞ab，‎ ‎，∴ =ba﹣b＞1，则ba＞bb，‎ 而aa＜ba，bb＞ab，‎ 故ab＜aa＜ba，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了指数函数的性质，考查比较大小的方法，可以用做商法或作差法、不等式的性质进行比较，难度不大，考查不等式的应用．‎ ‎　‎ ‎7．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为（　　）‎ A．f（x）=2+|x+1| B．f（x）=2﹣x C．f（x）=3﹣|x+1| D．f（x）=2x+4‎ ‎【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】①当x∈[﹣2，﹣1]时，则x+4∈[2，3]，由题意可得：f（x+4）=x+4．再根据函数的周期性可得f（x）=f（x+4）=x+4．②当x∈[﹣1，0]时，则2﹣x∈[2，3]，由题意可得：f（2﹣x）=2﹣x．再根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式．‎ ‎【解答】解：①当x∈[﹣2，﹣1]时，则x+4∈[2，3]，‎ 因为当x∈[2，3]时，f（x）=x，‎ 所以f（x+4）=x+4．‎ 又因为f（x）是周期为2的周期函数，‎ 所以f（x）=f（x+4）=x+4．‎ 所以当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）=x+4．‎ ‎②当x∈[﹣1，0]时，则2﹣x∈[2，3]，‎ 因为当x∈[2，3]时，f（x）=x，‎ 所以f（2﹣x）=2﹣x．‎ 又因为f（x）是周期为2的周期函数，‎ 所以f（﹣x）=f（2﹣x）=2﹣x．‎ 因为函数f（x）是定义在实数R上的偶函数，‎ 所以f（x）=f（﹣x）=f（2﹣x）=2﹣x．‎ 所以由①②可得当x∈[﹣2，0]时，f（x）=3﹣|x+1|．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性之间的关系进行转化是解决本题的关键．解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性等有关性质．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】3O：函数的图象．‎ ‎【分析】分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．‎ ‎【解答】解：当x＞0时，|x|=x，此时y=ax（0＜a＜1）；‎ 当x＜0时，|x|=﹣x，此时y=﹣ax（0＜a＜1），‎ 则函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是：‎ ‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，） C．[﹣1，） D．（0，）‎ ‎【考点】5B：分段函数的应用．‎ ‎【分析】根据函数解析式得出x≥1，lnx≥0，由题意可得（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数，即满足：，求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ ‎∴x≥1，lnx≥0，‎ ‎∵值域为R，‎ ‎∴（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数，‎ 即满足：，即为，‎ 即﹣1≤a＜，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了函数的性质，运用单调性得出不等式组即可，难度不大，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）‎ ‎【考点】4M：对数值大小的比较．‎ ‎【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．‎ ‎【解答】解：由题意．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题．分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，也要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（　　）‎ A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）‎ C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）‎ ‎【考点】3P：抽象函数及其应用；63：导数的运算．‎ ‎【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），‎ ‎∴f（x）关于直线x=2对称；‎ 又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，‎ ‎∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；‎ 同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；‎ ‎∵2＜a＜4，‎ ‎∴1＜log2a＜2，‎ ‎∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；‎ ‎∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f（x）=，则函数F（x）=xf（x）﹣1的零点的个数为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【考点】52：函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】由F（x）=0得f（x）=，然后分别作出函数f（x）与y=的图象，利用数形结合即可得到函数零点的个数．‎ ‎【解答】解：由F（x）=xf（x）﹣1=0得，f（x）=，然后分别作出函数f（x）与y=g（x）=的图象如图：‎ ‎∵当x≥2时，f（x）=f（x﹣2），‎ ‎∴f（1）=1，g（1）=1，‎ f（3）=f（1）=，g（3）=，‎ f（5）=f（3）=，g（5）=，‎ f（7）=f（5）=，g（7）=，‎ ‎∴当x＞7时，f（x）＜，‎ 由图象可知两个图象的交点个数为6个．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．本题难度较大，综合性较强．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．函数y=loga（x﹣1）（其中a＞0且a≠1）的图象恒过定点　（2，0）　．‎ ‎【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】令y=loga（x﹣1）的真数值为1，求得自变量x的值即可求得答案．‎ ‎【解答】解：令x﹣1=1，得x=2，‎ ‎∵f（2）=loga（2﹣1）=0，‎ ‎∴函数f（x）=loga（x﹣1）的图象经过定点（2，0）．‎ 故答案为：（2，0）．‎ ‎【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．方程x2﹣2x+m=0在（﹣1，5）有一根，实数m的取值范围为　﹣15＜m≤﹣3或m=1　．‎ ‎【考点】54：根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】由x2﹣2x+m=0（﹣1＜x＜5）分离参数m得：m=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1（﹣1＜x＜5），作出图形，利用二次函数的性质可得答案．‎ ‎【解答】解：由x2﹣2x+m=0（﹣1＜x＜5）得：m=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1（﹣1＜x＜5），‎ 作图如下：‎ 由图可知，当﹣15＜m≤﹣3或m=1时，‎ 直线y=m与曲线y=﹣（x﹣1）2+1（﹣1＜x＜5）只有一个交点，‎ 即方程x2﹣2x+m=0在（﹣1，5）有一根，‎ 故答案为：﹣15＜m≤﹣3或m=1．‎ ‎【点评】本题考查函数的零点与根的分布，分离参数是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n根金属片从1号针移到3号针最小需要移动的次数为f（n），则f（10）　1023　．‎ ‎【考点】F4：进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】‎ 根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．‎ ‎【解答】解：解：记n个金属片从2号针移到3号针最少需要an次；‎ 则据算法思想有：‎ 第一步，a1=1，‎ 第二步，a2=3，‎ 第三步，a3=7，‎ 第四步，a4=15，‎ ‎…an=2n﹣1，‎ ‎∴f（10）=a10=1023，‎ 故答案为：1023．‎ ‎【点评】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动次数移动到2柱，把最大的盘子移动到3柱，然后再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成移动过程是解题的关键，本题对阅读并理解题目信息的能力要求比较高．‎ ‎　‎ ‎16．关于函数，有下列命题 ‎①其图象关于y轴对称；‎ ‎②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；‎ ‎③f（x）的最小值是lg2；‎ ‎④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数；‎ ‎⑤f（x）无最大值，也无最小值 其中所有正确结论的序号是　①③④　．‎ ‎【考点】4L：对数函数的值域与最值；4O：对数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】①判断函数是否为偶函数即可．‎ ‎②将复合函数转化为两个基本函数，令t=（x＞0），易知在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．‎ ‎③因为t=≥2（x＞0），再由偶函数，可知正确．‎ ‎④当﹣1＜x＜0或x＞1时函数t=是增函数，再根据复合函数判断．‎ ‎⑤用③来判断．‎ ‎【解答】解：①定义域为R，又满足f（﹣x）=f（x），所以函数y=f（x）的图象关于y轴对称，正确．‎ ‎②令t=（x＞0），在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．‎ ‎③t=≥2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．‎ ‎④当﹣1＜x＜0或x＞1时函数t=是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．‎ ‎⑤由③知，不正确．‎ 故答案为：①③④‎ ‎【点评】本小题主要考查对数函数的单调性与特殊点、对数函数的值域与最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．（10分）（2017春•武陵区校级月考）已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|y=}．‎ ‎（Ⅰ）若A∪B=R，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；1D：并集及其运算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出集合B，利用A∪B=R，列出不等式，即可求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）利用p是q的充分条件，推出集合的子集关系，然后求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 由题意知，B={x|x2﹣3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}…（2分）‎ ‎∵A∪B=R，且 ‎∴‎ ‎∴1≤a≤2…‎ 即所求实数的取值范围是[1，2]…（6分）‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 B={x|x≤1或x≥2}，且…（7分）‎ ‎∵是的充分条件，‎ ‎∴A⊆B…（8分）‎ ‎∴a+1≤1或a﹣1≥2‎ ‎∴a≤0或a≥3…（11分）‎ 即所求实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}…（12分）‎ ‎【点评】本题考查集合的基本运算，充要条件的判断考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017春•武陵区校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+4x ‎（1）求函数f（x），x∈R的解析式；‎ ‎（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，4]，记函数g（x）的最大值为h（a），求函数h（a）的解析式，并写出函数h（a）的值域．‎ ‎【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3L：函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】（1）先设x＞0，则﹣x＜0，然后，根据x≤0时，f（x）=x2+4x的解析式可求出x＞0的解析式．‎ ‎（2）化简函数的解析式，利用二次函数的性质求出最大值，求解函数h（a）的解析式，然后求解函数的值域即可．‎ ‎【解答】解：（1）设x＞0，则﹣x＜0．又因为当x≤0时，f（x）=x2+4x，‎ 所以f（﹣x）=（﹣x）2+4（﹣x）=x2﹣4x，又因为f（﹣x）=f（x）．‎ 所以x＞0时，f（x）=x2﹣4x．‎ 所以f（x）=．‎ ‎（2）函数g（x）=x2﹣4x﹣2ax+2=（x﹣a﹣2）2﹣（a+2）2+2，1≤x≤‎ ‎4，二次函数的对称轴为：x=a+2，‎ ‎∴当a+2≤，即a时，g（a）=g（4）=﹣8a+2；‎ 当a时，g（a）=g（1）=﹣2a﹣1；‎ ‎∴g（a）=，‎ ‎∴当a≤时，g（a）=﹣8a+2，∴g（a）≥﹣2；‎ 当a＞时，g（a）=﹣2a﹣1，∴g（a）＞﹣2；‎ 综上所得：g（a）≥﹣2，‎ 故g（a）的值域为：[﹣2，+∞）．‎ ‎【点评】本题利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式．利用转化与化归的思想方法．考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017春•武陵区校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．‎ ‎（1）求f（x）．‎ ‎（2）在区间[﹣1，1]上，函数f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】3W：二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果．‎ ‎（2）转化为x2﹣3x+1＞m，在x∈[﹣1，1]时恒成立，令k（x）=x2﹣3x+1，x∈[﹣1，1]，单调递减，转为最值来研究恒成立问题 ‎【解答】解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax2+bx+c （a≠0）‎ 由f（0）=1得c=1，‎ 故f（x）=ax2+bx+1．‎ 因为f（x+1）﹣f（x）=2x，‎ 所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．‎ 即2ax+a+b=2x，‎ 根据系数对应相等 ‎∴‎ 所以f（x）=x2﹣x+1；‎ ‎（2）∵当x∈[﹣1，1]时，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，‎ ‎∴x2﹣3x+1＞m，在x∈[﹣1，1]时恒成立，‎ 令k（x）=x2﹣3x+1，x∈[﹣1，1]，单调递减 ‎∴k（x）≥k（1）=﹣1，‎ m＜﹣1，‎ 故实数m的取值范围：m＜﹣1．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的解析式，对称性，单调性，最大值，最小值，不等式恒成立问题，属于对二次函数的综合题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016春•南宁校级期中）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．‎ ‎（1）求f（1）的值；‎ ‎（2）判断并证明f（x）的单调性；‎ ‎（3）若f（3）=﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．‎ ‎【考点】3P：抽象函数及其应用；3E：函数单调性的判断与证明；5A：函数最值的应用．‎ ‎【分析】（1）由定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2），当x1=x2时，能求出f（1）．‎ ‎（2）设x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（），由x1＞x2，知＞1，当x＞1时，f（x）＜0，由此能推导出f（x）在区间（0，+∞）是减函数．‎ ‎（3）由f（1）=0，f（3）=﹣1，知f（）=f（1）﹣f（3）=1，f（9）=f（3）=f（3）﹣f（）=﹣2，由f（x）在区间（0，+∞）是减函数，能求出f（x）在[2，9]上的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2），‎ ‎∴当x1=x2时，f（1）=0．‎ ‎（2）f（x）是减函数．‎ 证明：设x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（），‎ ‎∵x1＞x2，∴＞1，‎ ‎∵当x＞1时，f（x）＜0，‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）＜0，‎ ‎∴f（x）在区间（0，+∞）是减函数．‎ ‎（3）∵f（1）=0，f（3）=﹣1，‎ ‎∴f（）=f（1）﹣f（3）=0﹣（﹣1）=1，‎ ‎∴f（9）=f（3）=f（3）﹣f（）=﹣1﹣1=﹣2，‎ ‎∵f（x）在区间（0，+∞）是减函数，‎ ‎∴f（x）在[2，9]上的最小值为f（9）=﹣2．‎ ‎【点评】本题考查抽象函数的函数值、单调性、最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2010•荆门模拟）设函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．‎ ‎（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；‎ ‎（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．‎ ‎【考点】3N：奇偶性与单调性的综合；3F：函数单调性的性质．‎ ‎【分析】先利用f（x）为R上的奇函数得f（0）=0求出k以及函数f（x）的表达式，‎ ‎（1）利用f（1）＞0求出a的取值范围以及函数f（x）的单调性，再把不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0利用函数f（x）是奇函数进行转化，再利用求得的单调性解不等式即可；‎ ‎（2）先由f（1）=得a=2，得出函数f（x）的单调性，再对g（x）进行整理，整理为用f（x）表示的函数，最后利用函数f（x）的单调性以及最值来求g（x）在[1，+∞）上的最小值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴k﹣1=0⇒k=1，‎ ‎∴f（x）=ax﹣a﹣x ‎（1）∵f（1）＞0，∴a﹣a﹣1＞0，a＞0，∴a＞1．‎ ‎∴f（x）为R上的增函数 由f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0得：f（x2+2x）＞f（4﹣x）‎ 即：x2+3x﹣4＞0⇒x＜﹣4或x＞1．‎ 即不等式的解集（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．‎ ‎（2）由f（1）=得a=2，‎ 由（1）可知f（x）为[1，+∞）上的增函数．‎ f（x）≥f（1）=‎ 所以g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x）=（f（x）﹣2）2﹣2≥﹣2（当f（x）=2时取等号）‎ 故g（x）在[1，+∞）上的最小值﹣2．‎ ‎【点评】本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查．对函数单调性和奇偶性的综合考查的一般出题形式是解不等式的题，解题方法是先利用奇偶性进行转化，再利用单调性解不等式．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2017春•武陵区校级月考）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）判断并证明f（x）的奇偶性；‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．‎ ‎【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）直接利用函数奇偶性的定义证明函数为偶函数；‎ ‎（2）利用分离参数法把不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立转化为m≤在（0，+∞）上恒成立，换元后利用基本不等式求得最值得答案；‎ ‎（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性间的关系分别进行讨论即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）解：f（x）为定义域上的偶函数．‎ 证明：f（x）=ex+e﹣x的定义域为R，‎ ‎∵f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），∴f（x）为定义域上的偶函数；‎ ‎（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，‎ 即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，‎ 即m≤在（0，+∞）上恒成立，‎ 设t=ex（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立．‎ ‎∵=﹣．‎ 当且仅当t=2时上式等号成立．‎ ‎∴m；‎ ‎（3）解：令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x）．‎ 则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），‎ 当x＞1时，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞‎ ‎）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+．‎ 由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，‎ 故e+＜0，即a＞（e+）．‎ 令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，h′（x）=1﹣，‎ 由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1．‎ 当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增．‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1）．‎ 注意到h（0）=h（1）=0，‎ ‎∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0．‎ x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0．‎ ‎∴h（x）＜0对任意x∈（1，e）成立．‎ ‎①a∈（，e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1；‎ ‎②a=e时，ea﹣1=ae﹣1；‎ ‎③a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1 ．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法和函数构造法，对于（3），由要证的结论想到构造函数h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1是关键，难度较大．‎