2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

南昌二中2018—2019学年度上学期期中考试 高二数学(理科)试卷 命题人：唐宇力 审题人：周启新 一、选择题（每小题5分，共60分。）‎ ‎1. 抛物线y2＝－12x的准线方程是( )‎ ‎　A．x＝－3 B．x＝3 C．y＝3 D．y＝－3‎ 2. 当时，方程所表示的曲线是（ ）‎ A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线 C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线 ‎3.若以双曲线（）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（　 ）‎ A． B．‎1 ‎ C． D．2‎ ‎4.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）‎ A．（1，1） B． C． D．（2，4）‎ ‎5.圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则( )‎ A. B．‎4 ‎ C．2 D．‎ ‎6.M是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹为( )‎ A.直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎7.设椭圆（）的离心率为，右焦点F（c，0），方的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在( )‎ A.圆内 B．圆上 ‎ C．圆外 D．以上三种都有可能 ‎8.过抛物线（）的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若，且，则抛物线的方程为（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知圆，是圆上任意一点，过点向轴作垂线，垂足为，点在线段上，且，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点．若为等边三角形，则的面积为（ ）‎ A. 8 B. C. D. 16‎ ‎11.在直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为，点是准线上任一点，直线交抛物线于，两点，若，则的面积( )‎ A.4 B. C. D. ‎ ‎12.设双曲线（，）的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于，两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若（，），，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分。）‎ ‎13.点关于直线的对称点是______.‎ ‎14.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆 相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为_____.‎ ‎15.设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则b的值为_____.‎ ‎16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．‎ 三、 解答题（共70分） ‎ 17. ‎（本小题10分） ‎ 已知的三个顶点(4,0），(8,10），(0,6）.‎ ‎（1）求AC边上的高所在的直线方程；‎ ‎（2）求过点且与点距离相等的直线方程。‎ 18. ‎（本小题12分）‎ 在极坐标系中，极点为，已知曲线： 与曲线： 交于不同的两点，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．‎ 17. ‎（本小题12分）‎ 已知动圆与定圆内切，与直线相切. ‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）若是上述轨迹上一点，求到点距离的最小值．‎ 18. ‎（本小题12分）‎ 设直线l：y=2x﹣1与双曲线（，）相交于A、B两个不 同的点，且（O为原点）．‎ ‎（1）判断是否为定值，并说明理由；‎ ‎（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围．‎ ‎ ‎ 17. ‎（本小题12分）‎ 为抛物线的焦点，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，动点满足．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）当四边形的面积最小时，求直线的方程．‎ 18. ‎（本小题12分）‎ 如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、．‎ ‎（1）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（2）设直线、的斜率分别为、，证明为定值；‎ ‎（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．‎ 南昌二中2018—2019学年度上学期期中考试 高二数学(理科)试卷参考答案 ‎1-12 B D B A D B A A C C D A 13. ‎ ‎ ‎14.‎ 15． ‎ ‎ 16． ‎ 16.‎ ‎17.解：（1） .......5分 ‎ ‎（2） ..........10分 ‎18.解：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 又∵，可得,∴，‎ 圆心(0,0)到直线的距离为 ‎∴． ........6分 ‎（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，‎ ‎∴直线的极坐标为，即． ..........12分 ‎19.解：（Ⅰ）设动圆的圆心，‎ ‎∵动圆与定圆内切，与直线相切，‎ ‎∴，‎ 化简得． ........5分 ‎（Ⅱ）设，则，‎ ‎∴． ......8分 当时，时上式取得最小值，即取得最小值；‎ 当时，时上式取得最小值，即取得最小值．　 .....11分 ‎∴ ........12分 ‎20.【解答】解：（Ⅰ）为定值5．‎ 理由如下：y=2x﹣1与双曲线联立，‎ 可得（b2﹣‎4a2）x2+‎4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠‎2a），‎ 即有△=‎16a4+4（b2﹣‎4a2）（a2+a2b2）＞0，‎ 化为1+b2﹣‎4a2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得 x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，‎ 即5•﹣2•+1=0，‎ 化为‎5a2b2+a2﹣b2=0，即有=5，为定值． ......6分 ‎（Ⅱ）由双曲线离心率时，‎ 即为＜＜，即有‎2a2＜c2＜‎3a2，‎ 由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜‎2a2，即＜＜，‎ 由=5，可得＜﹣5＜，化简可得a＜，‎ 则双曲线实轴长的取值范围为（0，）． .......12分 ‎21.解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．‎ 设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．‎ 联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=‎4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=‎4m2‎+2．‎ ‎∴AB的中点坐标为M（‎2m2‎+1，‎2m）．‎ ‎∵=+=2，∴M为EP的中点．‎ ‎∴，∴，即y2=4x﹣12．‎ ‎∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12． ........6分 ‎（II）由（I）得y1+y2=‎4m，y1y2=﹣4．‎ ‎∴|AB|===4（m2+1）．‎ E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，‎ ‎∴S△ABE=•|AB|•d=4，‎ ‎∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，‎ ‎∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8．‎ ‎∴当m=0时，S取得最小值8．‎ 此时直线l的方程为x﹣1=0．.........12分 ‎22.解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，‎ 得，又‎2a+‎2c=，‎ 所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ 所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），‎ 因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，‎ 所以该双曲线的标准方程为． .......2分 ‎（Ⅱ）设点P（x0，y0），‎ 则k1=，k2=，‎ ‎∴k1•k2==，‎ 又点P（x0，y0）在双曲线上，‎ ‎∴，即y02=x02﹣4，‎ ‎∴k1•k2==1． .........6分 ‎（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，‎ 则由（II）知k1•k2=1，‎ ‎∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），‎ 由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则由韦达定理得，，‎ ‎∴AB==，‎ 同理可得CD===，‎ ‎∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，‎ ‎∴λ==﹣==，‎ ‎∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立． ......12分