2017-2018学年辽宁省实验中学、东北育才学校高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年辽宁省实验中学、东北育才学校高二上学期期末数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（　　）‎ A． B． C．|a|＞|b| D．a2＞b2‎ ‎3．（5分）下列函数中，最小值为4的是（　　）‎ A．y=log3x+4logx3 B．y=ex+4e﹣x C．y=sinx+（0＜x＜π） D．y=x+‎ ‎4．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（　　）‎ A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣10‎ ‎5．（5分）下列命题中，说法错误的是（　　）‎ A．“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”‎ B．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件 C．“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“∃x≤2，x2﹣2x≤0”‎ D．“若b=0，则f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题 ‎6．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎7．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（　　）‎ A．﹣1 B．2﹣ C． D．‎ ‎8．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2﹣8a5=0，则=（　　）‎ A． B． C．2 D．17‎ ‎9．（5分）等差数列{an}中，Sn是其前n项和，，则S11=（　　）‎ A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣10‎ ‎10．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎11．（5分）设{an}为等差数列，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时的n值为（　　）‎ A．18 B．19 C．20 D．21‎ ‎12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＜0时，f（x）满足，2f（x）+xf'（x）＜xf（x），则f（x）在R上的零点个数为（　　）‎ A．5 B．3 C．1或3 D．1‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）函数的递增区间为　 　．‎ ‎14．（5分）在数列{an}中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，则an=　 　．‎ ‎15．（5分）已知函数，若函数f（x）在区间[2，4]上是单调增函数，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎16．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠‎ AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）若数列{an}满足．‎ ‎（1）求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=log2（1﹣an），若数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1（a≠0）．‎ ‎（1）若f（x）≤2在R上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）解关于x的不等式f（x）＜0．‎ ‎19．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点，当直线的斜率是时，．‎ ‎（1）求抛物线G的方程；‎ ‎（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，a2=4b1，Sn=2an﹣2，．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列．‎ ‎（3）若数列{cn}的通项公式为，令pn=c2n﹣1+c2n．Tn为{pn}的前n项的和，求Tn．‎ ‎21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）‎ ‎（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a，b的值；‎ ‎（2）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公共的切线，求正数a的最小值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据双曲线的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线，则mn＞0，‎ 即“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的充要条件，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解双曲线方程的特点是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（　　）‎ A． B． C．|a|＞|b| D．a2＞b2‎ ‎【分析】利用不等式的基本性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜0，‎ ‎∴＞，|a|＞|b|，a2＞ab＞b2．‎ 因此A，C，D正确．‎ 对于B：a＜b＜0时，可得＜，‎ 因此B不正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）下列函数中，最小值为4的是（　　）‎ A．y=log3x+4logx3 B．y=ex+4e﹣x C．y=sinx+（0＜x＜π） D．y=x+‎ ‎【分析】A.0＜x＜1时，y＜0，即可判断出正误；‎ B．由ex＞0，利用基本不等式的性质即可判断出正误．‎ C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，利用导数研究其单调性即可判断出正误．‎ D．x＜0时，y＜0，即可判断出正误．‎ ‎【解答】解：A.0＜x＜1时，y＜0，不正确 B．∵ex＞0，∴=4，当且仅当x=ln2时取等号，正确．‎ C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，y′=1﹣＜0，因此函数f（t）在（0，1）上单调递减，∴f（t）＞f（1）=5，不正确．‎ D．x＜0时，y＜0，不正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（　　）‎ A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣10‎ ‎【分析】先画出实数x，y满足的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣2y，不难求出目标函数z=x﹣2y的最小值．‎ ‎【解答】解：如图作出阴影部分即为实数x，y满足的可行域，‎ 由z=x﹣2y，得y=x﹣z，‎ 平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A，‎ 直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，‎ 由得点A（3，6），‎ 当x=3，y=6时，z=x﹣2y取最小值为﹣9．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）下列命题中，说法错误的是（　　）‎ A．“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”‎ B．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件 C．“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“∃x≤2，x2﹣2x≤0”‎ D．“若b=0，则f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题 ‎【分析】直接写出原命题的否命题判断A；由复合命题的真假判断判断B；写出原命题的否定判断C；由互为逆否命题的两个命题共真假判断D．‎ ‎【解答】解：对于A，“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，故A正确；‎ 对于B，若p∧q是真命题，则P、q均为真命题，则p∨q是真命题；反之，p∨q是真命题，p与q不一定都是真命题，则p∧q不一定是真命题，‎ ‎∴“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，故B正确；‎ 对于C，“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“∃x＞2，x2﹣2x≤0”，故C错误；‎ 对于D，命题“若b=0，则f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的否命题为：“若b≠0，则f（x）=ax2+bx+c不是偶函数”，是真命题，则“若b=0，则f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题，故D正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】a＞0，b＞0，是3a与32b的等比中项，3a•32b=．可得a+2b=1．可得=（a+2b）=4++，再利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与32b的等比中项，∴3a•32b==3．‎ ‎∴a+2b=1．‎ 则=（a+2b）=4++≥4+2=8，当且仅当a=2b=时取等号．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（　　）‎ A．﹣1 B．2﹣ C． D．‎ ‎【分析】先根据题意和圆的性质可判断出△F1PF2为直角三角形，根据∠PF1F2=2∠PF2F1，推断出∠PF1F2=60°，进而可求得PF1和PF2‎ ‎，进而利用椭圆的定义求得a和c的关系，即可求椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，‎ ‎∴△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，‎ ‎∵∠PF1F2=2∠PF2F1，‎ ‎∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，‎ ‎∴PF1=c，PF2=c，‎ 由椭圆的定义知，PF1+PF2=c+c=2a，‎ 即==﹣1‎ ‎∴离心率为﹣1．‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．椭圆的离心率是椭圆基本知识中重要的内容，求离心率的关键是通过挖掘题设信息求得a和c的关系，结合椭圆的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2﹣8a5=0，则=（　　）‎ A． B． C．2 D．17‎ ‎【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可以将a2﹣8a5=0变形为a1q=8a1q4，解可得q的值，又有等比数列前n项和公式可得===1+q4，将q的值代入即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，等比数列{an}中a2﹣8a5=0，即a2=8a5，‎ 则有a1q=8a1q4，即有q3=，‎ 解可得q=，‎ 则===1+q4=1+（）4=；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质以及等比数列前n项和公式的应用，关键是求出等比数列的公比．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）等差数列{an}中，Sn是其前n项和，，则S11=（　　）‎ A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣10‎ ‎【分析】根据等差数列的前n项和Sn，可知，由可求得d，代入，进而可求得S11．‎ ‎【解答】解：，‎ 得，‎ 由，‎ 得，d=2，‎ ‎，‎ ‎∴S11=﹣11，‎ 故选A ‎【点评】本题主要考查等差数列的求和公式．属基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设F1，F2分别是双曲线 的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【分析】求得直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，运用a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），M（a，b），‎ 直线MF1的斜率为tan30°=，‎ 即有=，‎ 即a+c=b，‎ 平方可得（a+c）2=3b2=3（c2﹣a2）=3（c+a）（c﹣a），‎ 化简可得a+c=3（c﹣a），‎ 即为c=2a，可得e==2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和a，b，c的关系和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设{an}为等差数列，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时的n值为（　　）‎ A．18 B．19 C．20 D．21‎ ‎【分析】由题意可得等差数列{an}递增，结合题意可得a11＞0＞a10，进而可得a10+a11＞0，由等差数列的性质结合求和公式可得答案．‎ ‎【解答】解：∵Sn有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，‎ 又：‎ S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，‎ S19=19a10＜0‎ ‎∴S20为最小正值 故选C ‎【点评】本题为等差数列性质的应用，涉及项的最值问题，属基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＜0时，f（x）满足，2f（x）+xf'（x）＜xf（x），则f（x）在R上的零点个数为（　　）‎ A．5 B．3 C．1或3 D．1‎ ‎【分析】构造函数F（x）=（x＜0），求函数的导数，利用导数判断其单调性，结合函数为奇函数，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：构造函数F（x）=（x＜0），‎ ‎ 所以F′（x）==[2f（x）+xf'（x）﹣xf（x）]，‎ 因为2f（x）+xf′（x）＜xf（x），x＜0，‎ 所以F′（x）＞0，‎ 所以函数F（x）在x＜0时是增函数，‎ 又F（0）=0 所以当x＜0，F（x）＜F（0）=0成立，‎ 因为对任意x＜0，＞0，所以f（x）＜0，‎ 由于f（x）是奇函数，所以x＞0时f（x）＞0，‎ 即f（x）=0只有一个根就是0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数零点个数求解；根据条件构造函数是解决本题的关键．综合考查函数单调性和导数的关系．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）函数的递增区间为　　．‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．‎ ‎【解答】解：函数，‎ f′（x）=﹣2x2+3x﹣1，‎ 令f′（x）≥0，即﹣2x2+3x﹣1≥0，‎ 解得：x≤1，‎ 故函数在递增，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在数列{an}中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，则an=　　．‎ ‎【分析】推导出数列{nan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出an．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，‎ ‎2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，‎ ‎∴数列{nan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，‎ 解得an=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知函数，若函数f（x）在区间[2，4]上是单调增函数，则实数a的取值范围是　[﹣e2，+∞）　．‎ ‎【分析】问题转化为（x﹣1）ex+a≥0在区间[2，4]‎ 上恒成立，记g（x）=（x﹣1）ex+a，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解∵函数f（x）在区间[2，4]上是单调递增函数，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间[2，4]上恒成立，‎ 即（x﹣1）ex+a≥0在区间[2，4]上恒成立，‎ 记g（x）=（x﹣1）ex+a，则g（x）min≥0，‎ g′（x）=xex，∵x∈[2，4]，∴g′（x）＞0，‎ 故g（x）在[2，4]递增，‎ 故g（x）min=g（2）=e2+a≥0，‎ 解得：a≥﹣e2，‎ 故实数a的范围是：a≥﹣e2．‎ 故答案为：[﹣e2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为　　．‎ ‎【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．‎ ‎【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，‎ 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．‎ 由余弦定理得，‎ ‎|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，‎ 配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，‎ 又∵ab≤（）2，‎ ‎∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2‎ 得到|AB|≥（a+b）．‎ ‎∴≤=，‎ 即的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）若数列{an}满足．‎ ‎（1）求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=log2（1﹣an），若数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．‎ ‎【分析】（1）利用数列的递推关系式转化推出an﹣1=2（an﹣1‎ ‎﹣1），即可证明数列是等比数列．‎ ‎（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵an=2an﹣1﹣1‎ ‎∴an﹣1=2（an﹣1﹣1），又∵a1=﹣1，∴a1﹣1=﹣2‎ ‎∴数列{an﹣1}是首项为﹣2，公比为2的等比数列 ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知：∴，‎ ‎∴，‎ 所以．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1（a≠0）．‎ ‎（1）若f（x）≤2在R上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）解关于x的不等式f（x）＜0．‎ ‎【分析】（1）利用不等式恒成立列出不等式组，求解即可．‎ ‎（2）化简不等式，通过a与0和1，分类讨论求解不等式的交集即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）≤2在R上恒成立，即ax2﹣（a+1）x﹣1≤0在R上恒成立，‎ 所以；‎ ‎（2）f（x）＜0⇔ax2﹣（a+1）x+1＜0⇔（ax﹣1）（x﹣1）＜0（*）‎ 当0＜a＜1时，（*）式等价于；‎ 当a=1时，（*）式等价于（x﹣1）2＜0⇒x∈∅；‎ 当a＞1时，（*）式等价于；‎ 当a＜0时，（*）式等价于或x＞1‎ 综上，当0＜a＜1时，f（x）＜0的解集为；‎ 当a=1时，f（x）＜0的解集为∅；‎ 当a＞1时，f（x）＜0的解集为；‎ 当a＜0时，f（x）＜0的解集为．‎ ‎【点评】本题考查函数的恒成立问题的解决方法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点，当直线的斜率是时，．‎ ‎（1）求抛物线G的方程；‎ ‎（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．‎ ‎【分析】（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），当直线l的斜率是时，l的方程为x=2y﹣4，理论中心与抛物线方程，通过韦达定理以及向量的关系，求解即可．‎ ‎（2）设l：y=k（x+4），BC的中点坐标为（x0，y0）由得x2﹣4kx﹣16k=0，利用韦达定理求出中点坐标，得到线段的中垂线方程，求出线段BC的中垂线在y轴上的截距的表达式然后求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），‎ 当直线l的斜率是时，l的方程为，即x=2y﹣4，‎ 由得2y2﹣（8+p）y+8=0，∴，‎ 又∵，∴y2=4y1，‎ 由这三个表达式及p＞0得y1=1，y2=4，p=2，‎ 则抛物线的方程为x2=4y…（5分）‎ ‎（2）设l：y=k（x+4），BC的中点坐标为（x0，y0）‎ 由得x2﹣4kx﹣16k=0∴，‎ 线段的中垂线方程为 ，‎ ‎∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2，‎ 由△=16k2+64k＞0得k＞0或k＜﹣4，‎ ‎∴b∈（2，+∞）…（7分）‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，a2=4b1，Sn=2an﹣2，．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列．‎ ‎（3）若数列{cn}的通项公式为，令pn=c2n﹣1+c2n．Tn为{pn}的前n项的和，求Tn．‎ ‎【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式．‎ ‎（3）利用乘公比错位相减法求出数列的和．‎ ‎【解答】解：（1）当n＞1时，⇒an=2an﹣1‎ 当n=1时，S1=2a1﹣2⇒a1=2，‎ 综上，{an}是公比为2，首项为2的等比数列，‎ 则：．‎ ‎（2）证明：∵a2=4b1，‎ ‎∴b1=1，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 综上，是公差为1，首项为1的等差数列．‎ ‎（3）由（2）知：‎ ‎∴pn=c2n﹣1+c2n=，‎ ‎∴，‎ 两式相减得：，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意方程求出a，b的值，结合隐含条件求得c，则椭圆离心率可求；‎ ‎（Ⅱ）设出BC所在直线方程x=ty+1，与椭圆方程联立，把AB，AC的方程用含有A，B的坐标表示，再由MP⊥NP，利用数量积为0求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程可得，a=2，b=，‎ 从而椭圆的半焦距．‎ ‎∴椭圆的离心率为；‎ ‎（Ⅱ）解：依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为x=ty+1．‎ 将其代入，整理得（4+3t2）y2+6ty﹣9=0．‎ 设B（x1，y1），C（x2，y2），‎ ‎∴，．‎ 直线AB的方程是，从而可得M（4，），‎ 同理可得．‎ 假设x轴上存在定点P（p，0）使得MP⊥NP，则有．‎ ‎∴．‎ 将x1=ty1+1，x2=ty2+1代入上式，整理得．‎ ‎∴，即（p﹣4）2﹣9=0，‎ 解得p=1，或p=7．‎ ‎∴x轴上存在定点P（1，0）或P（7，0），使得MP⊥NP成立．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量数量积在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）‎ ‎（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a，b的值；‎ ‎（2）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公共的切线，求正数a的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用切点在曲线上也在切线上，结合切线方程相同，列出方程组求解即可．‎ ‎（2）当a＞0，b=1时，可得在点（t，lnt）处的切线方程为：，即，‎ 由得：①通过f（x），g（x）总存在公切线，判别式等于0，转化关于t的方程②总有解．构造函数，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），f（x）=，g（x）=2ax﹣1；‎ 曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，‎ 依据题意：‎ ‎（2）当a＞0，b=1时，f（x）=lnx，在点（t，lnt）处的切线方程为：，即 由得：①‎ ‎∵f（x），g（x）总存在公切线，∴①的，‎ 即关于t的方程②总有解．‎ ‎∵左边＞0，a＞0，∴1﹣lnt＞0⇒0＜t＜e，于是，②式 令，则 当t∈（0，1）时，h'（t）＜0；当t∈（1，e）时，h'（t）＞0，∴h（t）在（0，1）递减，（1，e）递增．‎ ‎∴h（t）min=h（1）=4，∴要使②有解，须4a≥4，即a≥1，‎ 故amin=1．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及构造法，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎