2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）上学期期末考试数学（理）试题 解析版

育才学校 2018-2019 学年度上学期期末考试 高二（实验班）理科数学 （考试时间：120 分钟 ，满分：150 分） 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知命题 ， ，则 是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知 为正数，则“ ”是“ ”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也 不必要条件 3.已知向量 ，使 成立的 x 与使 成立的 x 分 别为（ ） A. B. C. D. 4.下列说法中正确的是 A. “ ”是“函数 是奇函数”的必要条件 B. 若 ，则 C. 若 为假命题，则 ， 均为假命题 D. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” 5.已知 两点均在焦点为 的抛物线 上，若 ，线段 的 中点到直线 的距离为 1，则 的值为 （ ） A. 1 B. 1 或 3 C. 2 D. 2 或 6 6.设点 为双曲线 （ ， ）上一点， 分别是左右焦点， 是 的 内 心 ， 若 ， ， 的 面 积 满 足 2 1:p x x∀ > 2 12 2x x> p¬ 2 1x x∀ > 2 12 2x x< 2 1x x∃ > 2 12 2x x≤ 2 1x x∀ ≤ 2 12 2x x≤ 2 1x x∃ ≤ 2 12 2x x< m 1m > 1 1lg 1m m + < ( ) ( )2, 1,3 , 4,2,a b x= − = − a ⊥ b / /a b ( )0 0f = ( )f x 2 0 0 0: , 1 0p x R x x∃ ∈ − − > 2: , 1 0p x R x x¬ ∀ ∈ − − < p q∧ p q 6 πα = 1sin 2 α = 6 πα ≠ 1sin 2 α ≠ P 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 1 2,F F I 1 2PF F∆ 1IPF∆ 2IPF∆ 1 2IF F∆ 1 2 3, ,S S S ，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7.直线 交椭圆 于 两点，若线段 中点的横坐标为 1， 则 （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 8.如图，60°的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两 个半平面内，且都垂直于 ．已知 ，则 的长为（　　） A. B. 7 C. D. 9 9.在空间直角坐标系 ， ， ， 确定的平面记为 ，不经过点 的平面 的一个法向量为 ，则（ ） A. B. C. 相交但不垂直 D. 所成的锐二面角为 10.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 ，线段 交抛物线 于点 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 11.如图，面 ,B 为 AC 的中点， ， ( )1 2 32 S S S− = 3 2 4 0x y m+ + = 2 2 116 x y+ = A B、 AB m = ,A B ,AC BD AB 4, 6, 8AB AC BD= = = CD 17 2 17 O xyz− ( )0,1,0A ( )1,1,1B ( )0,2,1C α A β ( )2,2, 2n = − / /α β α β⊥ ,α β ,α β 060 2: 4C y x= F l A l∈ AF C B 3FA FB=  AF = 3 4 6 7 ACD α⊥ 2, 60 ,AC CBD P α= ∠ =  为 内的动点 且 P 到直线 BD 的距离为 则 的最大值为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 12.椭圆 上一点 A.关于原点的对称点为 B，F 为其右焦点，若 ，设 且 ，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.条件 ，条件 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是______________． 14.过双曲线 的左焦点 引圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于 点.设 为线段 的中点， 为坐标原点，则 __________． 15.若直线 的方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则直线 与 平面 所成角的正弦值等于_________。 16.已知 为椭圆 上任意一点， 为圆 的任意一 条直径，则 的取值范围是__________． 三、解答题(共 6 小题,共 70 分) l (1,1,1)a = α (2, 1,1)n = − l α 3 APC∠ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > AF BF⊥ ,ABF α∠ = ,12 4 π πα  ∈   2 ,12      2 6,2 3       6 ,13      2 3,2 2       : 2 5p x− < < 2: 0xq x a + <− p q a 2 2 116 25 x y− = 1F 2 2 16x y+ = T 1FT P M 1F P O MO MT− = P 2 2 116 15 x y+ = EF ( )2 2: 1 4N x y− + = •PE PF  17.（10 分）已知命题 方程： 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 双曲线 的离心率 ，若“ ”为假命题，“ ”为 真命题，求 的取值范围. 18.（12 分）已知圆 恰好经过椭圆 的两个焦 点和两个顶点. （1）求椭圆 的方程； （2）经过原点的直线 (不与坐标轴重合)交椭圆 于 两点， 轴， 垂足为 ，连接 并延长 交椭圆 于 ，证明：以线段 为直径的圆 经过点 . 19. （12 分）双曲线 的右焦点为 ． （1）若双曲线的一条渐近线方程为 且 ，求双曲线的方程； （2）以原点 为圆心， 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 ， 过 作 圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率． 20. （12 分）已知 ， 且 . （1）将 表示成 的函数 ，并求 的最小正周期. （2）记 的最大值为 ， ， ， 分别为 的三个内角 、 、 对应的边长，若 且 ，求 的最大值. 21. （12 分）已知过点 的动直线 与抛物线 ： 相交于 两点．当直线 的斜率是 时， . (1)求抛物线 的方程； (2)设线段 的中垂线在 轴上的截距为 ，求 的取值范围． :p 2 2 12 9 x y m m + =− y :q 2 2 15 y x m − = 6 , 22e  ∈    p q∧ p q∨ m 2 2: 4O x y+ = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > C l C ,A B AM x⊥ M BM BM C N BN A A A 3− ( )2cos 2 3sin 1a x x= + ， ( )cosb y x= ， a b   y x ( )f x ( )f x ( )f x M a b c ABC A B C 2 Af M  =   2a = bc ( 4,0)A − l G 2 2 ( 0)x py p= > ,B C l 1 2 4AC AB=  G BC y b b 22. （12 分）如图，在四棱锥 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD， PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2， . （1）求证：PD⊥平面 PAB； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值. P ABCD− 5AC CD= = 参考答案与解析 1.B 【 解 析 】 命 题 是 全 称 命 题 ， 其 否 定 为 特 称 命 题 ， 所 以 “ ， ”．故选 ． 2.C 【解析】2.设 ，则 在 上单调递减。 若 ，则 ，即 ； 若 ，即 ，则有 。 综上可得“ ”是“ ”的充要条件。选 C。 3.A 【解析】向量 , 若 ,则 ，解得 . 若 ，则 ，解得 .故选 A. 4.D 【解析】对于 A 中，如函数 是奇函数，但 ，所以不正确；B 中，命题 ，则 ，所以不正确；C 中，若 为假命题，则 ， 应至少有一个假命题，所以不正确；D 中，命 题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”是正确的，故选 D． 5.B 【解析】 因为线段 的中点到直线 的距离为 1，所以 ， 选 B. 6.A p :p¬ 2 1x x∃ > 2 12 2x x≤ B ( ) 1 1 1lg lg ( 0)f x x xx x x = + = − > ( )f x ( )0,+∞ 1m > ( ) ( )1 lg 1 1f m m fm = − < = 1 1lg 1m m + < 1 1lg 1m m + < ( ) ( )1 lg 1 1f m m fm = − < = 1m > 1m > 1 1lg 1m m + < ( ) ( )2, 1,3 , 4,2,a b x= − = − a ⊥ b 8 2 3 10 3 0a b x x= − − + = − + =  10 3x = / /a b 4 2 2 1 3 x− = =− 6x = − ( ) 1f x x x = + ( )0 0f ≠ 2 0 0 0: , 1 0p x R x x∃ ∈ − − > 2: , 1 0p x R x x¬ ∀ ∈ − − ≤ p q∧ p q 6 πα = 1sin 2 α = 6 πα ≠ 1sin 2 α ≠ 【解析】 如图,设圆 I 与 的三边 、 、 分别相切于点 ，连接 ， 则 ， 它们分别是 , , 的高， ∴ ， ， ， 其中 r 是 的内切圆的半径。 ∵ ， ∴ − = ， 两边约去 r 得： ， 根据双曲线定义,得 ， ∴ 离心率为 .故选：A. 7.A 【解析】 ， 设 ， 1 2PF F∆ 1 2F F 1PF 2PF .E F G， ， IE IF IG、 、 1 2 1 2, ,IE F F IF PF IG PF⊥ ⊥ ⊥ 1 2IF F∆ 1IPF∆ 2IPF∆ 1 1 1 1 1 2 2S PF IF PF r= ⋅ = 2 2 2 1 1 2 2S PF IG PF r= ⋅ = 3 1 2 1 2 1 1 2 2S F F IE F F r= ⋅ = 1 2IF F∆ ( )1 2 32 S S S− = 1PF r 2PF r 1 2 1 2 F F r 1 2 1 2 1 2PF PF F F− = 1 2 1 22 , 2PF PF a F F c− = = 2a c= ⇒ 2ce a = = 4 0x y m+ + = 1 4 4 my x∴ = − − ( )1 1A x y， ( )2 2B x y， ，两式相减， 中点的横坐标为 1 则纵坐标为 将 代入直线 ，解得 8.C 【 解 析 】 ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ，故选 C. 9.A 【解析】∵ ， ， )确定的平面记为 α， ∴ ， 设平面 α 的法向量 ， 则 ，不妨令 x=1,得 ， ∵不经过点 A 的平面 β 的一个法向量为 n→=(2,2,−2)， ， ∴α∥β.。故选：A. 10.B 2 21 1 2 22 2 116{ 116 x y x y + = + = ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 16 4 y y x x x x y y − += − = −− + AB 1 4 11 4     ， 1 4 4 my x= − − 2m = − CA AB⊥ BD AB⊥ 0 0CA AB DB AB⋅ = ⋅ =   ， CD CA AB BD= + +    2 2 2 2 2 2 2CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅          2 2 26 4 8 2 6 8cos120 68= + + + × × ° = 2 17CD = ( )0,1,0A ( )1,1,1B ( )0,2,1C ( ) ( )1,0,1 , 0,1,1AB AC= =  ( ), ,m x y z= 0{ 0 m AB x z m AC y z = + = = + =     ( )1,1, 1m = − ( )2,2, 2 2n m= − =  【解析】 由 已 知 为 的 三 等 分 ， 作 于 ， 如 图 ， 则 ， ，故选 B. 11.B 【解析】∵ 到直线 的距离为 ∴空间中到直线 的距离为 的点构成一个圆柱面，它和面 相交得一椭圆， 即点 在 内的轨迹为一个椭圆， 为椭圆中心， ， ， 则 ∴ 为椭圆的焦点 ∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值 ∴ 的最大值为 。故选 B 12.B 【解析】已知椭圆 焦点在 x 轴上， 椭圆上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，设左焦点为 F1， 则：连接 AF，AF1，AF，BF 所以：四边形 AFF1B 为长方形． 根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a， ∠ABF=α，则：∠AF1F=α． ∴2a=2ccosα+2csinα，即 a=（cosα+sinα）c， 由椭圆的离心率 e= = = ， B AF BH l⊥ H 2 4 4,3 3 3BH FK BF BH= = ∴ = = 3 4AF BF∴ = =  P BD 3 BD 3 α P α B 3b = 3 2sin60a = =° 1c = A B， APC∠ 60° 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > c a 1 sinα cosα+ 1 2sin 4 πα +   由 ，, ， sin（α+ ）∈[ ，1]， ∈[ ， ]， ∈ ，故选：B． 13. 【解析】 是 的充分不必要条件， 是不等式 的解集的真子集 故 14.1 【解析】设 是双曲线的右焦点，连接 分别为 ， 的中点 由双曲线定义得， 故 15. 【解析】设直线 与平面 所成的角为 ． 所以 ． 16.[5,21] 【解析】因为 ,12 4 π πα  ∈   ,4 3 2 π π πα  + ∈   4 π 3 2 2sin 4 πα +   6 2 2 1 2sin 4 πα +   2 6,2 3       5a > p q 2 5x∴− < < 2 0x x a + <− 5a > F′ PF′ M O ， 1F P 1F F′ 1 2MO PF∴ = ′ 2 2 1 1 5FT OF OT= − = 1 8F P PF′− = ( )1 1 1 1 1 1 4 5 12 2MO MT PF MF FT PF F P FT′ ′− = − + = − + = − + = 2 3 l α θ 2 1 1 2sin cos , 33 6 a n a n a n θ ⋅ − += = = = ×⋅       ( ) ( ) ( ) 2 •PE PF NE NP NF NP NE NF NP NE NF NP= − ⋅ − = ⋅ − ⋅ + +           . 又因为椭圆 的 ， N(1,0)为椭圆的右焦点， ∴ ∴ . 故答案为：[5,21]. 17.实 m 的取值范围是 或 . 【解析】若 真，则有 9-m>2m>0 即 00 且 ，解得 因为“ ”为假命题，“ ”为真命题，则 ，q 一真一假。 ①若 P 真 q 假，则 0

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