2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　3 第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　3 第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β；‎ cos(α∓β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos____α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎[三角函数公式的变形]‎ ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.‎ ‎3．三角函数公式关系 ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)‎ ‎(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)‎ ‎(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)‎ ‎(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(必修4P127练习T2改编)若cos α＝－.α是第三象限的角，则sin＝________．‎ 解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.‎ 答案：－ ‎2．(必修4P131练习T5改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．‎ 解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.‎ 答案： ‎3．(必修4P146A组T4改编)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________．‎ 解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，‎ 所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)‎ ‎＝－tan 20°tan 40°，‎ 所以原式＝－tan 20°tan40°＋tan 20°tan 40°＝.答案： ‎[易错纠偏]‎ ‎(1)不会逆用公式，找不到思路；‎ ‎(2)不会合理配角出错；‎ ‎(3)忽视角的范围用错公式．‎ ‎1．化简：＝________．‎ 解析：原式＝ ‎＝＝＝.‎ 答案： ‎2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．‎ 解析：tan β＝tan[α－(α－β)]‎ ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案： ‎3．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________．‎ 解析：法一：sin＝，得sin θ－cos θ＝，①‎ 已知θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，‎ 可求得sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＝，cos θ＝，‎ 所以tan θ＝，tan 2θ＝＝－.‎ 法二：因为θ∈且sin＝，‎ 所以cos＝，‎ 所以tan＝＝，所以tan θ＝.‎ 故tan 2θ＝＝－.‎ 答案：－ ‎　　　　　　三角函数公式的直接应用 ‎ (1)已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)‎ A．－　　 　B.　　　 C.　　　 D．－ ‎(2)(2020·杭州中学高三月考)已知α∈，且sin＝，则sin α＝______，cos ＝______．‎ ‎【解析】　(1)因为α∈，所以cos α＝－，‎ 所以tan α＝－，‎ 所以tan＝＝＝.‎ ‎(2)因为α∈，所以0<α－<，‎ 所以cos＝＝，‎ 所以sin α＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝，‎ cos＝cos＝－sin＝－.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)　－ 利用三角函数公式应注意的问题 ‎(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．‎ ‎(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．‎ ‎(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　 ‎ ‎　(2020·温州七校联考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选B.因为α为锐角，cos＝>0，所以α＋为锐角，sin＝＝，所以sin＝2sincos＝，故选B.‎ ‎　　　　　　三角函数公式的活用(高频考点)‎ 三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．主要命题角度有：‎ ‎(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；‎ ‎(2)二倍角公式的活用．‎ 角度一　两角和与差公式的逆用及变形应用 ‎ (1)已知sin α＋cos α＝，则sin2(－α)＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. ‎(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ ‎【解析】　(1)由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，‎ 所以sin2(－α)＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，‎ 可得＝－1，‎ 即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，‎ 所以A＋B＝，‎ 则C＝，cos C＝.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 角度二　二倍角公式的活用 ‎ ＝________．‎ ‎【解析】　法一：原式＝ ‎＝＝tan 30°＝.‎ 法二：原式＝ ‎＝＝＝.‎ 法三：因为＝＝.‎ 又＞0，所以＝.‎ ‎【答案】　 三角函数公式的应用技巧 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．‎ 公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．　 ‎ ‎1．化简·sin 2α－2cos2α＝(　　)‎ A．cos2α B．sin2α C．cos 2α D．－cos 2α 解析：选D.原式＝·sin αcos α－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α.‎ ‎2．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．‎ 解析：－1＝tan＝tan(α＋β)＝，‎ 所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β.‎ 所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，‎ 即(1－tan α)(1－tan β)＝2.‎ 答案：2‎ ‎　　　　　　角的变换 ‎ (1)(2020·金华十校联考)已知sin 2α＝(＜2α＜π)，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．－ D. ‎(2)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.‎ ‎①求sin(α＋π)的值；‎ ‎②若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．‎ ‎【解】　(1)选A.因为sin 2α＝，2α∈，‎ 所以cos 2α＝－，tan 2α＝－，‎ tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝‎ ＝－2.‎ ‎(2)①由角α的终边过点P得 sin α＝－，‎ 所以sin(α＋π)＝－sin α＝.‎ ‎②由角α的终边过点P得 cos α＝－，‎ 由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.‎ 由β＝(α＋β)－α得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，‎ 所以cos β＝－或cos β＝.‎ 角的变换技巧 ‎(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．‎ ‎(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．‎ ‎(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．　 ‎ ‎1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan 的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选B.tan＝tan＝＝＝.‎ ‎2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)‎ A. B. C.或 D.或 解析：选A.因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，故2α∈，α∈，所以cos 2α＝－.又β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°‎ ‎＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°‎ ‎＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.‎ ‎2．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C. D．1‎ 解析：选A.因为sin＝cos，‎ 所以cos α－sin α＝cos α－sin α，‎ 所以sin α＝cos α，‎ 所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.‎ ‎3．若α∈，tan＝，则sin α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选A.因为tan＝＝，‎ 所以tan α＝－＝，所以cos α＝－sin α.‎ 又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝.‎ 又因为α∈，所以sin α＝.‎ ‎4．(2020·宁波效实中学高三质检)sin 2α＝，0<α<，则cos的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选D.cos＝＝sin α＋cos α，‎ 又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，0<α<，‎ 所以sin α＋cos α＝，故选D.‎ ‎5．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B. C. D．－ 解析：选A.因为sin α＝，α∈，‎ 所以cos α＝－＝－，‎ 所以tan α＝＝－.‎ 因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，‎ 则tan(α－β)＝＝－.‎ ‎6．(2020·温州市十校联合体期初)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.3cos 2α＝sin，‎ 可得3cos 2α＝(cos α－sin α)，‎ ‎3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，‎ 因为α∈，所以cos α－sin α≠0，‎ 上式化为sin α＋cos α＝，‎ 两边平方可得1＋sin 2α＝.‎ 所以sin 2α＝－.‎ ‎7．(2020·金华市东阳二中高三调研)设sin＝，则sin 2θ＝________．‎ 解析：因为sin＝，即sin θ＋cos θ＝，平方可得＋sin 2θ＝，解得sin 2θ＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知sin(α－45°)＝－，0°＜α＜90°，则cos α＝________．‎ 解析：因为0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°，‎ 所以cos(α－45°)＝＝，‎ 所以cos α＝cos[(α－45°)＋45°]‎ ‎＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°‎ ‎＝.‎ 答案： ‎9．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝________．‎ 解析：由sin α－sin β＝1－，得(sin α－sin β)2＝，即sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝－，①‎ 由cos α－cos β＝，得cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝，②‎ ‎①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝，即cos(α－β)＝.‎ 答案： ‎10．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝，则sin 2x＝________，＝________．‎ 解析：sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sin x－cos x＝，即sin x＋cos x＝－，‎ 两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，‎ 即1＋sin 2x＝，则sin 2x＝－，‎ 由＝ ‎＝＝＝＝－，‎ 答案：－　－ ‎11．已知tan α＝2.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)tan＝＝＝－3.‎ ‎(2) ‎＝＝ ‎＝＝1.‎ ‎12．已知coscos＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ 解：(1)coscos ‎＝cossin＝sin＝－，‎ 即sin＝－.‎ 因为α∈，所以2α＋∈，‎ 所以cos＝－，‎ 所以sin 2α＝sin ‎＝sincos －cossin ＝.‎ ‎(2)因为α∈，‎ 所以2α∈，‎ 又由(1)知sin 2α＝，‎ 所以cos 2α＝－.‎ 所以tan α－＝－＝ ‎＝＝－2×＝2.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·浙江五校联考)已知3tan ＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝(　　)‎ A. B．－ C．－ D．－3‎ 解析：选B.因为sin β＝3sin(2α＋β)，‎ 所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，‎ 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α＋3cos(α＋β)sin α，所以2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α，‎ 所以tan(α＋β)＝＝－＝－2tan α，‎ 又因为3tan＋tan2＝1，‎ 所以3tan＝1－tan2，‎ 所以tan α＝＝，‎ 所以tan(α＋β)＝－2tan α＝－.‎ ‎2．(2020·浙江省名校协作体高三联考)对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：ω＝‎ 为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为(　　)‎ A. B. C. D．与a0有关的一个值 解析：选A.集合相对a0的“正弦方差”‎ ω＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎3．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________．‎ 解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝.‎ 由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，‎ 因为α∈，所以tan α＞0，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.‎ 答案： ‎4．(2020·杭州模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则sin β＝________，cos α＝________．‎ 解析：依题设及三角函数的定义得 cos β＝－，sin(α＋β)＝.又因为0<β<π，‎ 所以<β<π，<α＋β<π，‎ sin β＝，cos(α＋β)＝－.‎ 所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝.‎ 答案：　 ‎5．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α和tan 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α＋2β)的值．‎ 解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，‎ 即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.‎ 又2α∈，所以cos 2α＝＝，‎ 所以tan 2α＝＝.‎ ‎(2)因为β∈，β－∈，sin＝，所以cos＝，‎ 于是sin 2＝2sincos＝.‎ 又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，‎ 又2β∈，所以sin 2β＝，‎ 又cos2α＝＝，α∈，‎ 所以cos α＝，sin α＝.‎ 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ‎＝×－×＝－.‎ ‎6．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．‎ ‎(1)求a，θ的值；‎ ‎(2)若f＝－，α∈，求sin的值．‎ 解：(1)因为y＝a＋2cos2x是偶函数，所以g(x)＝cos(2x＋θ)为奇函数，而θ∈(0，π)，故θ＝，所以f(x)＝－(a＋2cos2x)sin 2x，代入得a＝－1.‎ 所以a＝－1，θ＝.‎ ‎(2)f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin 2x＝－cos 2xsin 2x＝－sin 4x，因为f＝－，‎ 所以f＝－sin α＝－，故sin α＝，又α∈，所以cos α＝－，sin＝×＋×＝.‎