甘肃省武威市凉州区武威第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 含解析

甘肃省武威市凉州区武威第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 含解析

武威一中2019年秋学期期中考试 高三年级数学（理科）试卷 一．选择题 ‎1.设集合，，则集合为 A. {，0，} B. {0，} C. {，0} D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,故.选.‎ ‎2.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，化为，即可解出．由化为．即可判断出结论．‎ ‎【详解】解：解得即；‎ 又解得或即；‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3.下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题是真命题 B. 命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题 C. 命题“，”的否定为“，”‎ D 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举例说明错误；由复合命题的真假判断；写出特称命题的否定判断；由向量的数量积的定义判断．‎ ‎【详解】解：对于，命题“若，则”的逆命题是“若，则”，是假命题，如时，，故错误；‎ 对于，命题“或”为真命题，则命题和命题中至少一个为真命题，故错误；‎ 对于，命题“存在”的否定为：“对，”，故正确；‎ 对于，若，则，当时即可得在方向上的投影相等，无法得到，当时，（为任意向量），同样无法得到，故错误．‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数的基本关系，将弦化切，再代入求值。‎ 详解】解：,分子、分母同除得 故选：‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题。‎ ‎5.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，．故C正确．‎ 考点：复合函数求值．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将转换为同为2为底的指数，，可以转换为指数相同。所以。‎ ‎【详解】因为，，所以，故选A．‎ ‎【点睛】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．‎ ‎2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.‎ ‎3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.‎ 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目。‎ ‎7.已知角的终边过点，且，则的值为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B.‎ ‎8.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，则 为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，‎ 故选B.‎ 考点：函数的图象.‎ ‎9.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位。‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎10.函数（，）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 2和 D. 2和 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数的周期性可求得，可求得；再利用“五点作图法”可求得，从而可得答案．‎ ‎【详解】解：由图知，，故．‎ 由“五点作图法”知，，解得，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期性与“五点作图法”的应用，考查识图能力，属于中档题．‎ ‎11.如图，在中，点为的中点，点在上，，点在上，，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 本题选择D选项.‎ ‎12.已知定义在上的函数对任意实数满足，，且当时，，则函数与的图象的交点个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由可知函数的周期为2,由可知的图象关于直线对称,根据条件可以画出函数与的图象,如图所示,由图可知,交点共6个.‎ 二．填空题 ‎13.已知向量， ， 若，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值．‎ ‎【详解】由题意得，‎ ‎∵)，‎ ‎∴，∴，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎14.已知与的夹角为45°，且，，则______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用平面向量模长的运算可得结果．‎ ‎【详解】解：根据题意得，‎ ‎ ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量模长的计算，属于基础题。‎ ‎15.已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，，‎ 故答案为.‎ ‎16.已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件构造函数g（x）＝f（x）﹣x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．‎ ‎【详解】由x﹣3≤f（x）≤x等价为﹣3≤f（x）﹣x≤0‎ 设g（x）＝f（x）﹣x，‎ 又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），‎ 则有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f（x）+x＝﹣[f（x）﹣x]＝﹣g（x），‎ 即函数g（x）为R上的奇函数，‎ 则有g（0）＝0；‎ 又由对任意0≤x1＜x2时，有1，‎ 则1，‎ ‎∵1，‎ ‎∴1＜0，‎ 即g（x）在[0，+∞）上为减函数，‎ ‎∵g（x）是奇函数，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，‎ ‎∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；‎ g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0，‎ 则﹣3≤f（x）﹣x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），‎ ‎∵g（x）减函数，‎ ‎∴0≤x≤2，‎ 即不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；‎ 故答案为：[0，2]．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．‎ 三．解答题 ‎17.已知，，，（其中O为坐标原点）‎ ‎（1）求使取得最小值时的；‎ ‎（2）对（1）中求出的点C，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，求出 和的坐标，代入 的式子进行运算，再利用二次函数的性质求出的最小值．‎ ‎（2）把和的坐标代入两个向量的夹角公式，求出 的值．‎ ‎【详解】（1）由题知 ‎，‎ 所以 当时取最小值，此时；‎ ‎（2）由（1），‎ ‎，，，‎ 所以，‎ ‎【点睛】本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．‎ ‎18.在中，内角的对边分别是，已知。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；‎ ‎（2）由正弦定理，, 利用三角形内角和定理可得，‎ 由三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意，得.‎ ‎∵. ‎ ‎∴,‎ ‎∵ ，∴ .‎ ‎（2）∵，‎ 由正弦定理，可得. ‎ ‎∵a>b，∴, ‎ ‎∴. ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎19.已知为的三个内角的对边，向量，，若，且，求角的大小.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可先求出，进而得到；再由正弦定理，将化为，整理后求出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以，所以，因此；‎ 又，‎ 所以，‎ 即，所以，故，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角，熟记三角恒等变换，以及正弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求函数单调递减区间；‎ ‎（2）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，求．‎ ‎【答案】（1）递减区间为，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间；‎ ‎（2）根据题意，利用余弦定理求得的值．‎ ‎【详解】（1）‎ 由，‎ 得，‎ 所以函数单调递减区间为，；‎ ‎（2），，，，‎ 又由余弦定理，，‎ 得．‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．‎ ‎21.已知函数f(x)= ln(a x)+bx在点（1，f(1)）处的切线是y=0；‎ ‎(I)求函数f(x)的极值；‎ ‎(II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)‎ ‎【答案】(1) 的极大值为，无极小值；‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先根据导数几何意义得解得b,再根据得a，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为，解得实数m的取值范围.‎ 详解： ‎ ‎（1）因为，所以 因为点处的切线是，所以，且 所以，即 ‎ 所以，所以在上递增，在上递减，‎ 所以的极大值为，无极小值 ‎ ‎（2）当恒成立时,由（1），‎ 即恒成立，‎ 设，则，，‎ 又因为，所以当时，；当时，‎ ‎.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，； ‎ 在上单调递增，在上单调递减，.‎ 所以均在处取得最值，所以要使恒成立，‎ 只需，即 ‎ 解得，又，所以实数的取值范围是.‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（Ⅰ）根据题意可得，分和两种情形讨论的符号可得单调性．（Ⅱ）令 ，可得，构造函数，结合导数可得，于是可得在上单调递减，在上单调递增，故，然后再证明，即可得，从而可得成立．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意得，‎ ‎①当时，则在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递减.‎ ‎②当时，‎ 则当时，单调递增，‎ 当时，单调递减．‎ 综上：当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）令 ，‎ 则 ，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∵,‎ ‎∴当时， 单调递增；‎ 当时， 单调递减．‎ ‎∴（因为），‎ ‎∴.‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 设，‎ 则，‎ ‎，在上递减，‎ ‎∴；‎ ‎∴，故.‎ 说明：判断的符号时，还可以用以下方法判断：‎ 由得到，‎ 设，则，‎ 当时，；当时，.‎ 从而在上递减，在上递增. ‎ ‎∴.‎ 当时，，即.‎ ‎ ‎