2020高中数学 第三章方程的根与函数的零点

2020高中数学 第三章方程的根与函数的零点

‎3.1.1　‎方程的根与函数的零点 学习目标：1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．函数的零点 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．‎ 思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？‎ ‎[提示]　不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．‎ ‎2．方程、函数、函数图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ ‎3．函数零点的存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．‎ 思考2：该定理具备哪些条件？‎ ‎[提示]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)所有的函数都有零点．(　　)‎ ‎(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．(　　)‎ ‎(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．函数y＝2x－1的零点是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D．2‎ A　[由2x－1＝0得x＝.]‎ ‎3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　　)‎ ‎【导学号：37102345】‎ A．(0,1) B．(－1,0)‎ C．(2,3) D．(1,2)‎ D　[由f(1)＝3－4＝－1<0，f(2)＝9－4＝5>0得f(x)的零点所在区间为(1,2)．]‎ ‎4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．‎ 两　[由Δ＝b2－‎4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]‎ - 5 -‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的零点 ‎　(1)求函数f(x)＝的零点；‎ ‎(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点. ‎ ‎【导学号：37102346】‎ ‎[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；‎ 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.‎ 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.‎ ‎(2)由已知得f(3)＝0即‎3a－b＝0，即b＝‎3a.‎ 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．‎ 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，‎ 解得x＝0或x＝－.‎ 所以函数g(x)的零点为0和－.‎ ‎[规律方法]　函数零点的求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.‎ (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. ‎[跟踪训练]‎ ‎1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．‎ ‎(1)f(x)＝x2＋7x＋6；‎ ‎(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；‎ ‎(3)f(x)＝2x－1－3；‎ ‎(4)f(x)＝.‎ ‎[解]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，‎ 得x＝－1或x＝－6，‎ 所以函数的零点是－1，－6.‎ ‎(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.‎ ‎(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.‎ ‎(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.‎ 判断函数零点所在的区间 - 5 -‎ ‎　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)‎ A．(3,4) B．(2，e)‎ C．(1,2) D．(0,1)‎ ‎(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是(　　) ‎ ‎【导学号：37102347】‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ex ‎0.37‎ ‎1‎ ‎2.72‎ ‎7.39‎ ‎20.08‎ x＋3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ A.(－1,0) B．(0,1)‎ C．(1,2) D．(2,3)‎ ‎(1)C　(2)C　[(1)因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.‎ ‎(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，‎ f(0)＝1－3＝－2<0，‎ f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，‎ f(2)＝7.39－5＝2.39>0，‎ f(3)＝20.08－6＝14.08>0，‎ f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]‎ ‎[规律方法]　‎ 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断. (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. ‎[跟踪训练]‎ ‎2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)‎ A．－2　　　　B．‎0　‎　　　C．1　　　　D．3‎ A　[f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]‎ 函数零点的个数 - 5 -‎ ‎[探究问题]‎ ‎1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝a的图象交点个数什么关系？‎ 提示：相等．‎ ‎2．若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，如何求实数a的取值范围？‎ 提示：法一：若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－‎4a≥0，故a≤1.‎ 法二：由f(x)＝0有解可知a＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，即a的范围为a≤1.‎ 法三：在同一坐标系中分别画出y＝a及y＝－x2＋2x的图象，数形结合得a的范围为a≤1.‎ ‎　已知00，‎ ‎∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]‎ ‎3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)‎ ‎【导学号：37102349】‎ A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 D　[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]‎ ‎4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．‎ ‎(－1,0)　[∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，‎ ‎∴∴∴－1

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