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文档介绍
南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题01:基本初等函数
南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 21 页 专题 1:基本初等函数 目录 问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2 类型一:分段函数 ........................................................................................................................................... 2 类型二:求函数的解析式 ............................................................................................................................... 4 类型三:二次函数 ........................................................................................................................................... 6 类型四:指数函数与对数函数 ....................................................................................................................... 8 类型五:函数的零点问题 ..............................................................................................................................11 综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 13 一、例题分析 ................................................................................................................................................. 13 二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 16 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 21 页 问题归类篇 类型一:分段函数 一、前测回顾 1.已知函数 f(x)= x+1, x≥1, -x2+4, x<1 ,①若 f(x)≥2,则 x 的取值范围为 .②f(x)在区间[-1,3]的 值域为 . 答案:①[- 2,+∞);②[2,4]. 2.设函数 f(x)= 2x 3 -1, x≥0, 1 x, x<0 ,若 f(f(b))=-2,求实数 b 的值. 答案:b=3 4或-2. 二、方法联想 方法 1:分类讨论,按分段区间进行分类讨论,最后汇总(求并集); 方法 2:图象法,画出分段函数的图象,根据图象探讨不等式解集及值域问题. 三、方法应用 例 1 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1)上,f(x)= x+a,-1≤x<0, 2 5-x ,0≤x<1, 其中 a∈R.若 f -5 2 =f 9 2 ,则 f(5a)的值是________. 解析 由已知 f -5 2 =f -5 2+2 =f -1 2 =-1 2+a, f 9 2 =f 9 2-4 =f 1 2 = 2 5-1 2 = 1 10. 又∵f -5 2 =f 9 2 , 则-1 2+a= 1 10,∴a=3 5, ∴f(5a)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=-1+3 5=-2 5. 答案 -2 5 例 2 已知函数 f (x)= x2-4,x≤0, ex-5,x>0. 若关于 x 的方程| f (x)|-ax-5=0 恰有三个不同的实数解,则满足条件 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 21 页 的所有实数 a 的取值集合为________. 解析 关于 x 的方程| f (x)|-ax-5=0 有三个不同的实数解,即函数 y=| f (x)|与函数 y=ax+5(过定点(0, 5))的图象有三个不同的交点.作出函数图象如图所示, ①当 a>0 时,y=ax+5 与 y=4-x2(x<0)相切,即 x2+ax+1=0,由 Δ=a2-4=0,a>0,得 a=2,当 a=2 时,符合题意; 当 y=ax+5 经过点(-2,0)时,a=5 2也符合题意; ②当 a<0 时,y=ax+5 与 y=5-ex(x>0)相切,设切点(x0,5-ex0),x0>0,则切线方程为 y-(5-ex0)=-ex0 (x-x0),代入点(0,5),解得 x0=1,此时 a=-e,符合题意; 当 y=ax+5 经过(ln 5,0)时,a=- 5 ln 5,也符合题意; ③当 a=0 时,两函数的图象有两个交点,不符合题意. 综上所述,满足条件的所有实数 a 的取值集合为 -e,- 5 ln 5,2,5 2 . 答案 -e,- 5 ln 5,2,5 2 例 3 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间[0,1)上,f(x)= x2,x∈D, x,x∉D, 其中集合 D= x x=n-1 n ,n∈N* ,则方程 f(x)-lg x=0 的解的个数是________. 解析 由于 f(x)∈[0,1),则只需考虑 1≤x<10 的情况,在此范围内,x∈Q,且 x∉Z 时,设 x=q p,p,q∈N*, p≥2 且 p,q 互质.若 lg x∈Q,则由 lg x∈(0,1),可设 lg x=n m,m,n∈N*,m≥2 且 m,n 互质.因此 10 n m= q p,10n= q p m ,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾.因此 lg x∉Q,因此 lg x 不可能与每个周期内 x∈D 对应的部分相等,只考虑 lg x 与每个周期 x∉D 部分交点,画出函数草图如图. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 21 页 图中交点除(1,0)外,其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期 x∉D 部分,且 x=1 处(lg x)′= 1 xln 10,因 1 ln 10<1,则在 x=1 附近仅有一个交点(1,0),因此方程解的个数为 8 个. 答案 8 四、归类巩固 *1.已知 f(x)= 2x, x≤1, log2x+1, x>1 ,则 f[f(-1)]= . 答案:0.(考查分段函数求值问题) *2.设函数 f(x)= 1+log2(2-x),x<1 2x-1,x≥1 ,则 f(-2)+f(log212)= . 答案:9 **3.设函数 f(x)= 21-x,x≤1, 1-log2x,x>1, 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________. 答案:[0,+∞) **4.已知函数 f(x)= -x2+2x,x≤0 ln(x+1),x>0,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 . 答案:[-2,0] ***5.已知函数 f(x)= |lnx|,x>0 x2+4x+1,x≤0,若关于 x 的方程 f(x)2-bf(x)+c=0(b,c∈R)有 8 个不同的实数 根,则 b+c 的取值范围是 . 答案:(0,3) ***6 已知函数 f(x)=|lnx|,g(x)= 0,0<x≤1 |x2-4|-2,x>1,则方程|f(x)+g(x)|=1 实根的个数为________. 答案:4 类型二:求函数的解析式 一、前测回顾 1.已知 f[f(x)]=9+4x,且 f(x)是一次函数,则 f(x)= .若 f(x2+1)=x2,则 f(x)= . 答案:①2x+3 或-2x-9;②.x-1(x≥1) 2.已知函数满足 2f(x)+f(1 x)=x,则 f(2)= ;f(x)= . 答案:7 6,2 3x- 1 3x 二、方法联想 方法 1:待定系数法; 方法 2:换元法、拼凑法; 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 21 页 方法 3:函数方程法. 三、方法应用 例 1 (1)已知 f 1-1 x =2x-1,则 f(x)=________. (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 2f(x+1)-f(x-1)=2x+1,则 f(x)=________. (3)已知 f x+1 x =x2+1 x2,则 f(x)=________. (4)已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)+2f(-x)=x2-x,则 f(x)=________. 略解(1)用换元法,设 t=1-1 x,求出 f(t),即可求出 f(x); (2)用待定系数法,设 f(x)=ax+b(a≠0); (3)用配凑法,将 x2+1 x2配成 x+1 x 2 的形式; (4)用消去法,以-x 替换已知条件中的 x,得到另一个方程,解方程组可得 f(x)的解析式. 例 2 图中的图像所表示的函数解析式为___________. 略解:由图可知,当 0≤x≤1 时, y=3x 2 ;当 1查看更多