南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题01:基本初等函数

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南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题01:基本初等函数

南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 21 页 专题 1:基本初等函数 目录 问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2 类型一:分段函数 ........................................................................................................................................... 2 类型二:求函数的解析式 ............................................................................................................................... 4 类型三:二次函数 ........................................................................................................................................... 6 类型四:指数函数与对数函数 ....................................................................................................................... 8 类型五:函数的零点问题 ..............................................................................................................................11 综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 13 一、例题分析 ................................................................................................................................................. 13 二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 16 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 21 页 问题归类篇 类型一:分段函数 一、前测回顾 1.已知函数 f(x)=  x+1, x≥1, -x2+4, x<1 ,①若 f(x)≥2,则 x 的取值范围为 .②f(x)在区间[-1,3]的 值域为 . 答案:①[- 2,+∞);②[2,4]. 2.设函数 f(x)=   2x 3 -1, x≥0, 1 x, x<0 ,若 f(f(b))=-2,求实数 b 的值. 答案:b=3 4或-2. 二、方法联想 方法 1:分类讨论,按分段区间进行分类讨论,最后汇总(求并集); 方法 2:图象法,画出分段函数的图象,根据图象探讨不等式解集及值域问题. 三、方法应用 例 1 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=  x+a,-1≤x<0,  2 5-x ,0≤x<1, 其中 a∈R.若 f  -5 2 =f  9 2 ,则 f(5a)的值是________. 解析 由已知 f  -5 2 =f  -5 2+2 =f  -1 2 =-1 2+a, f  9 2 =f  9 2-4 =f  1 2 = 2 5-1 2 = 1 10. 又∵f  -5 2 =f  9 2 , 则-1 2+a= 1 10,∴a=3 5, ∴f(5a)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=-1+3 5=-2 5. 答案 -2 5 例 2 已知函数 f (x)=  x2-4,x≤0, ex-5,x>0. 若关于 x 的方程| f (x)|-ax-5=0 恰有三个不同的实数解,则满足条件 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 21 页 的所有实数 a 的取值集合为________. 解析 关于 x 的方程| f (x)|-ax-5=0 有三个不同的实数解,即函数 y=| f (x)|与函数 y=ax+5(过定点(0, 5))的图象有三个不同的交点.作出函数图象如图所示, ①当 a>0 时,y=ax+5 与 y=4-x2(x<0)相切,即 x2+ax+1=0,由 Δ=a2-4=0,a>0,得 a=2,当 a=2 时,符合题意; 当 y=ax+5 经过点(-2,0)时,a=5 2也符合题意; ②当 a<0 时,y=ax+5 与 y=5-ex(x>0)相切,设切点(x0,5-ex0),x0>0,则切线方程为 y-(5-ex0)=-ex0 (x-x0),代入点(0,5),解得 x0=1,此时 a=-e,符合题意; 当 y=ax+5 经过(ln 5,0)时,a=- 5 ln 5,也符合题意; ③当 a=0 时,两函数的图象有两个交点,不符合题意. 综上所述,满足条件的所有实数 a 的取值集合为  -e,- 5 ln 5,2,5 2 . 答案  -e,- 5 ln 5,2,5 2 例 3 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间[0,1)上,f(x)=  x2,x∈D, x,x∉D, 其中集合 D=    x x=n-1 n ,n∈N* ,则方程 f(x)-lg x=0 的解的个数是________. 解析 由于 f(x)∈[0,1),则只需考虑 1≤x<10 的情况,在此范围内,x∈Q,且 x∉Z 时,设 x=q p,p,q∈N*, p≥2 且 p,q 互质.若 lg x∈Q,则由 lg x∈(0,1),可设 lg x=n m,m,n∈N*,m≥2 且 m,n 互质.因此 10 n m= q p,10n= q p m ,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾.因此 lg x∉Q,因此 lg x 不可能与每个周期内 x∈D 对应的部分相等,只考虑 lg x 与每个周期 x∉D 部分交点,画出函数草图如图. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 21 页 图中交点除(1,0)外,其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期 x∉D 部分,且 x=1 处(lg x)′= 1 xln 10,因 1 ln 10<1,则在 x=1 附近仅有一个交点(1,0),因此方程解的个数为 8 个. 答案 8 四、归类巩固 *1.已知 f(x)=  2x, x≤1, log2x+1, x>1 ,则 f[f(-1)]= . 答案:0.(考查分段函数求值问题) *2.设函数 f(x)=  1+log2(2-x),x<1 2x-1,x≥1 ,则 f(-2)+f(log212)= . 答案:9 **3.设函数 f(x)=   21-x,x≤1, 1-log2x,x>1, 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________. 答案:[0,+∞) **4.已知函数 f(x)=  -x2+2x,x≤0 ln(x+1),x>0,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 . 答案:[-2,0] ***5.已知函数 f(x)=  |lnx|,x>0 x2+4x+1,x≤0,若关于 x 的方程 f(x)2-bf(x)+c=0(b,c∈R)有 8 个不同的实数 根,则 b+c 的取值范围是 . 答案:(0,3) ***6 已知函数 f(x)=|lnx|,g(x)=  0,0<x≤1 |x2-4|-2,x>1,则方程|f(x)+g(x)|=1 实根的个数为________. 答案:4 类型二:求函数的解析式 一、前测回顾 1.已知 f[f(x)]=9+4x,且 f(x)是一次函数,则 f(x)= .若 f(x2+1)=x2,则 f(x)= . 答案:①2x+3 或-2x-9;②.x-1(x≥1) 2.已知函数满足 2f(x)+f(1 x)=x,则 f(2)= ;f(x)= . 答案:7 6,2 3x- 1 3x 二、方法联想 方法 1:待定系数法; 方法 2:换元法、拼凑法; 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 21 页 方法 3:函数方程法. 三、方法应用 例 1 (1)已知 f 1-1 x =2x-1,则 f(x)=________. (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 2f(x+1)-f(x-1)=2x+1,则 f(x)=________. (3)已知 f x+1 x =x2+1 x2,则 f(x)=________. (4)已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)+2f(-x)=x2-x,则 f(x)=________. 略解(1)用换元法,设 t=1-1 x,求出 f(t),即可求出 f(x); (2)用待定系数法,设 f(x)=ax+b(a≠0); (3)用配凑法,将 x2+1 x2配成 x+1 x 2 的形式; (4)用消去法,以-x 替换已知条件中的 x,得到另一个方程,解方程组可得 f(x)的解析式. 例 2 图中的图像所表示的函数解析式为___________. 略解:由图可知,当 0≤x≤1 时, y=3x 2 ;当 1-1 时,f(x)在区间[t,t+1]上单调递增, 故 f(x)min=f(t)=t2+2t=8,解得 t=2 或 t=-4(舍去). 综上可知,t 的值为-5 或 2. 例 2 已知函数 f(x)=  x2+ax,x≤1, ax2+x,x>1 在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是__________. 解:当函数 f(x)在(-∞,1]上单调递减时,-a 2≥1,即 a≤-2; 当函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减时,a<0 且- 1 2a≤1,即 a≤-1 2. 易知 f(x)在 R 上连续,故 a≤-2. 四、归类巩固 *1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的顶点为(-1,10),且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和为12, 则f(x)的解析式是____________. 答案:f(x)=-2x2-4x+8. *2.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1].若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为________. 答案:1. **3.若定义域为 R 的二次函数 f(x)的最小值为 0,且有 f(1+x)=f(1-x),直线 g(x)=4(x-1)被 f(x)的图 像截得的线段长为 4 17,则函数 f(x)的解析式为__________. 解析:设 f(x)=a(x-1)2(a>0). 由   y=a(x-1)2, y=4(x-1), 得 ax2-(4+2a)x+a+4=0. 由韦达定理,得 x1+x2=4+2a a ,x1·x2=a+4 a . 由弦长公式,得 4 17= (1+42)       4+2a a 2-4·a+4 a . ∴a=1.∴f(x)=(x-1)2. 答案:f(x)=(x-1)2. **4.已知函数 f(x)=   x2+4x,x≥0, 4x-x2,x<0. 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是________. 答案:(-2,1) . **5.方程 mx2-(m-1) x+1=0 在区间(0,1)内有两个不同的实数根,则 m 的取值范围为__________. 解析:令 f(x)=mx2-(m-1)x+1, 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 8 页 共 21 页 则 f(x)的图像恒过定点(0,1),由题意可得   m>0, Δ= m- 2-4m>0, 0<m-1 2m <1, f( ) =2>0. 解得 m>3+2 2. 答案:m>3+2 2. ***6.函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值记为g(a),求g(a)的函数表达式为___________. 答案:g(a)=  2a+5,a<-2 3-a2 2 ,-2≤a≤2 5-2a,a>2 . 类型四:指数函数与对数函数 一、前测回顾 1.已知 2x2+x≤1 4)x-2,则函数 y=( 3)x2+2x的值域为 . 答案:[ 3 3 ,81] . 2.设 loga 1 3<2,则实数 a 的取值范围为 . 答案:(0, 3 3 )∪(1,+∞) . 3.已知函数 y=log0.5(x2-2x+2),则它的值域为 . 答案:(-∞,0]. 二、方法联想 (1)指(对)数方程与不等式问题: 方法 1:转化为同底的指(对)数,利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式,与对数有关问题 要注意定义域及转化过程中的等价性. 方法 2:利用换元法,转化为代数方程或不等式. 变式:解不等式 lg2x-lgx2-3≥0. (答案:0<x≤ 1 10或 x≥1000,考查利用换元法解指(对)不等式). (2)与指(对)数函数有关的值域问题, 方法 1:复合函数法,转化为利用指(对)数函数的单调性; 方法 2:换元法,转化为基本初等函数的复合函数来求. (3)指数首先要注意值域,对数首先要注意定义域,其次这两个函数都要考虑单调性. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 9 页 共 21 页 三、方法应用 例 1 设函数 f(x)=  3x-1,x<1, 2x,x≥1. 则满足 f(f(a))=2f(a)的 a 的取值范围是________. [解析] 当 a<1 时,f(a)=3a-1,若 f(f(a))=2f(a),则 f(a)≥1,即 3a-1≥1,∴2 3≤a<1; 当 a≥1 时,f(a)=2a≥2,此时 f(f(a))=2f(a). 综上所述,a≥2 3. 例 2 已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则 a+b=________ . [答案] -3 2 [解析] 若 00,a≠1)在区间[-1,0]上为减函数,即  a-1+b=0, a0+b=-1,解得  a=1 2, b=-2; 若 a>1,则 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)在区间[-1,0]上为增函数,即  a-1+b=-1, a0+b=0, 无解. ∴a+b=1 2-2=-3 2. 例 3 已知函数 f(x)=|loga|x-1||(a>1).若 x12.由 f(x1)=f(x2),可得|loga|x1-1|| =|loga|x2-1||,即|loga(1-x1)|=|loga(1-x2)|,此时 1-x1>1,0<1-x2<1,无论底数 a 为何值,loga(1-x1) 与 loga(1-x2)定异号,所以-loga(1-x1)=loga(1-x2),即(1-x1)(1-x2)=1,所以 x1+x2=x1x2,即 1 x1 +1 x2 = 1.同理可得1 x3 +1 x4 =1.所以1 x1 +1 x2 +1 x3 +1 x4 =2. 例 4 设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是 _____________. 分别研究函数 g(x)=ex(2x-1),y=ax-a.问题等价于存在唯一的整数 x0,使得函数 g(x)的图像在函数 y=ax-a 的图像下方.分别画出上述两个函数的图像,通过对参数 a 的不同取值得出符合要求的 a 的取值 范围. [解析] 令 g(x)=ex(2x-1),则 g′(x)=ex(2x+1),由 g′(x)>0 得 x>-1 2,由 g′(x)<0 得 x<-1 2,故函数 g(x) 在 -∞,-1 2 上单调递减,在 -1 2,+∞ 上单调递增.又函数 g(x)在 x<1 2时,g(x)<0,在 x>1 2时,g(x)>0, 所以其大致图像如图所示. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 10 页 共 21 页 直线 y=ax-a 过点(1,0). 若 a≤0,则 f(x)<0 的整数解有无穷多个,因此只能 a>0. 结合函数图像可知,存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)<0,即存在唯一的整数 x0,使得点(x0,ax0-a)在点 (x0,g(x0))的上方,则 x0 只能是 0,故实数 a 应满足   f(-1)≥0, f(0)<0, f(1)≥0, 即   -3e-1+2a≥0, -1+a<0, e≥0, 解得 3 2e≤a<1. 故实数 a 的取值范围是 3 2e,1 . 四、归类巩固 *1.若点(a,9)在函数 y=3x 的图像上,则 tanaπ 6 的值为_______. 答案: 3. *2.已知 a= 5-1 2 ,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系为__________. 答案:m<n. **3.函数y=ax-2-1(a>0,a≠1)的图像恒过定点__________. 答案:(2,0) . **4.解不等式 lg2x-lgx2-3≥0 的解集是_________. 答案:0<x≤ 1 10或 x≥1000. **5.已知函数 f(x)=ax+logax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga2+6,则 a 的值为 __________. 解析:由题可知函数 f(x)=ax+logax 在[1,2]上是单调函数,所以其最大值与最小值之和为 f(1)+f(2) =a+loga1+a2+loga2=loga2+6,整理可得 a2+a-6=0,解得 a=2 或 a=-3(舍去),故 a=2. 答案:a=2. ***6.已知函数 f(x)=log2(a-2x)+x-2,若 f(x)=0 有解,则实数 a 的取值范围是____________. 解析:方法一:f(x)=log2(a-2x)+x-2=0,得 a-2x=22-x,即 a-2x=4 2x,令 t=2x(t>0),则 t2-at +4=0 在 t∈(0,+∞)上有解,令 g(t)=t2-at+4,g(0)=4>0,故满足   a 2>0, Δ=a2-16≥0, 得 a≥4. 方法二:f(x)=log2(a-2x)+x-2=0,得 a-2x=22-x,a=2x+4 2x≥4. 答案:a≥4. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 11 页 共 21 页 类型五:函数的零点问题 一、前测回顾 1.函数 f(x)=lgx-sinx 零点的个数为 . 答案:3 . 2.函数 f(x)=2x+x-4 零点所在区间为(k,k+1 ),k∈N,则 k= . 答案:1. 二、方法联想 零点存在定理:连续函数 y=f(x)在区间(a,b)上有 f(a)f(b)<0,则 f(x)在(a,b)上至少存在一个零点.反 之不一定成立. 零点存在问题:①能解出 x=x0;②x0∈A(定义域);方法 2:分离参数,转化为求值域(要分清谁是 参数,谁是自变量);方法 3:数形结合法. 零点个数问题:方法 1:数型结合;方法 2:①解出 x=xi(=1,2,…,n),②根据问题中零点有 k 个, 则选择 k 个 x∈A(定义域),n-k 个 x∈∕ A. 三、方法应用 例 1 函数 f(x)=4cos2x 2·cos π 2-x -2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为________. [解析]f(x)=4cos2x 2sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin x· 2cos2x 2-1 -|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|.令 f(x)= 0,得 sin 2x=|ln(x+1)|.在同一坐标系中作出函数 y=sin 2x 与函数 y=|ln(x+1)|的大致图像,如图所示. 观察图像可知,两个函数的图像有 2 个交点,故函数 f(x)有 2 个零点. 例 2 已知函数 f(x)=|lgx|,若函数 g(x)=f(x)-ax 在区间(0,4)上有三个零点,则实数 a 的取值范围是 ___________. [解析]在同一坐标系中分别作出函数 y=f(x),y=ax 的图像(如图). 函数 g(x)=f(x)-ax 在区间(0,4)上有三个零点等价 y=f(x),y=ax 两个函数的图像在区间(0,4)上有 三个交点. 结合函数图像可知,只要直线 y=ax 的斜率 a 介于直线 OA(A(4,2lg 2))与直线 OB(B 为切点)之间即可. 直线 OA 的斜率为lg 2 2 .当 x>1 时,f′(x)=lg e x , 设 B(x0,lg x0),则直线 OB 的方程为 y-lg x0=lg e x0 (x-x0),该直线过坐标原点, 所以 0-lg x0=lg e x0 ·(0-x0),解得 x0=e,即直线 OB 的斜率为lg e e , 所以实数 a 的取值范围是lg 2 2 ,lg e e . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 12 页 共 21 页 例 3 已知函数 f(x)=x+1(0≤x≤1),g(x)=2x-1 2(x≥1),函数 h(x)=  f(x),0≤x<1, g(x),x≥1. 若方程 h(x)-k=0,k∈3 2, 2 有两个不同的实根 m,n(m>n≥0),则 n·g(m)的取值范围为_________. [解析]函数 f(x)=x+1(0≤x≤1),g(x)=2x-1 2(x≥1),作出函数 h(x)=  f(x),0≤x<1, g(x),x≥1. 的图像(图略). 若方程 h(x)-k=0,k∈3 2,2 有两个不同的实根 m,n(m>n≥0),则1 2≤n<1, g(m)=f(n)=n+1,则3 2≤n+1<2,所以3 4≤ng(m)<2. 四、归类巩固 *1.若一次函数 f(x)=ax+b 有一个零点为 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是 . 答案:0 和-1 2 . *2.函数函数 f(x)=log2(x+2)-x 有____________个零点. 答案:2. **3.已知函数 f(x)=  0, x≤0, 2x, x>0 则使函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值范围是 . 答案:m≤0 或 m>1. **4.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则 a,b,c 的大小 关系是__________. 解析:由于 f(-1)=1 2-1=-1 2<0,f(0)=1>0, 故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0). 因为 g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2; h 1 2 =-1+1 2=-1 2<0,h(1)=1>0, 故 h(x)的零点 c∈ 1 2,1 ,因此 a<c<b. 答案:a<c<b. **5.若函数 x2-m x+4(x>0)存在零点,则实数的取值范围是__________. 答案:[2,+∞). ***6.已知函数 f(x)=  kx+2,x≤0 lnx,x>0 (k∈R),若函数 y=|f(x)|+k 有三个零点,则实数 k 的取值范围 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 13 页 共 21 页 是 . 答案:k≤-2. 综合应用篇 一、例题分析 例 1 已知函数 f(x)=loga(8-2x)(a>0,且 a≠1). (1)当 a=2 时,求满足不等式 f(x)≤2 的实数 x 的取值范围; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值. 答案:(1)实数 x 的取值范围为[2,3). (2)函数 y=f(x)+f(-x)的最大值为 loga49. 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.解指(对)数不等式问题: 方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解. ②换元法:转化为整式不等式,指(对)数必须先注意值(定义)域. 2.与指(对)数有关的函数值域: 方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理. ②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化 为代数不等式,所以选择方法①. 对于问题 2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方 便,所以选择方法①. 指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时, 首先要看底数的范围. 本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>0”的定义域部分;二是第二问中函数 y=f(x)+f(- x)的定义域. 例 2 已知函数 f(x)=a- 1 |x|. (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 y=f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数 a 的取值范围. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 14 页 共 21 页 解:(1)f(x)在(0,+∞)上为增函数. (2)a 的取值范围为(-∞,3]. (3)a 的取值范围为{0}∪(2,+∞). 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.讨论函数的单调性问题: 方法:①利用函数的图象; ②复合函数的单调性; ③利用函数单调性的定义. ④利用导函数来求函数的单调区间. 2.不等式恒成立问题: 3.已知函数的值域,求参数的取值: (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法③或④,因为本题是证明函数的单调性,方法①②不能用作证明, 所以选择方法③或④. 对于问题 2,学生一般会选择方法①,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求, 所以选择方法①. 例 3 已知函数 f(x)=a·2 x+b·3 x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解:(1)当 a>0,b>0 时,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)当 a<0,b>0 时,x 的取值范围为(log1.5 - a 2b ,+∞); 当 a>0,b<0 时,x 的取值范围为(-∞,log1.5 - a 2b ). 解析:(1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R, x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2) ∵2x1<2x2,a>0 a(2x1-2x2)<0,同理 b(3x1-3x2)<0 ∴f(x1)-f(x2)<0∴函数 f(x)在 R 上是增函数 同理,当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a·2 x+2b·3 x>0 当 a<0,b>0 时,(3 2)x>- a 2b,则 x 的取值范围为(log1.5 - a 2b ,+∞); 当 a>0,b<0 时,(3 2)x<- a 2b,x 的取值范围为(-∞,log1.5 - a 2b ). 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 15 页 共 21 页 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.讨论函数的单调性问题: 方法:①利用函数的图象; ②复合函数的单调性; ③利用函数单调性的定义; ④利用导函数. 2.与指(对)数有关的解不等式问题: 方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式; ②用换元法,依次解几个代数不等式. (2)方法选择与优化建议: 对于问题 1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用 作证明,所以选择方法③或④. 对于问题 2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①. 本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响. 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的,“ab>0”和“ab<0”的含义是字母 a、b 同号或异号, 因此需要具体到 a、b 各自的符号. 例 4 已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设 h(x)=f(f(x))-c,其中 c∈[-2,2],求函数 y=h(x)的零点个数. 解:(1)a=0,b=-3; (2)有 9 个零点. 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法: 1.求函数的解析式问题: 方法:待定系数法,换元法,函数方程法 2.讨论函数的零点个数问题: 方法:解方程,图象法,零点的存在定理与单调性 (2)方法选择与优化建议: 对于第 1 小题,是常规问题,方法也非常清楚——待定系数法。 第 2 小题函数零点的个数问题,用解方程求解或零点的存在定理的方法显然不行,因为本题应用 图象法来讨论。 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 16 页 共 21 页 用图象法的关键是转化为哪两个曲线的交点个数,且这两个曲线尽量满足: ①图像尽量为直线和 曲线,②两个函数的图像都是曲线则必须保证图像都能够好画. 本题可以有两种考虑:一是直接画函数的 y=f(f(x))和 y=c,尽管 y=f(f(x))是 9 次函数,其图像还是 能够画出来的,二是将问题分解成 ( ) ( )h x f t c和 t=f(x),通过两个三次函数的图像来看解的个数问 题.本题采用第二种想法,会简单些。 二、反馈巩固 *1.已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lgx,则 f(f( 1 100))的值等于 . 答案:lg2. (考查函数的奇偶性,对数运算) *2. 已知 f(x)=  x2+x(x≥0), -x2+x(x<0),则不等式 f(x2-x+1)<12 的解集是________. 答案:(-1,2). (考查分段函数及利用函数的单调性解不等式). *3. 函数 y=(1 3)x2+1 的值域为______________. 答案:(0,1 3]. (考查指数函数) *4. 函数 f(x)=lnx+2x-1 零点的个数为_______________. 答案:1. (考查函数的图象,数形结合的思想方法). **5.已知实数 a≠0,函数 f(x)=   2x+a, x<1, -x-2a,x≥1. 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为________. 答案:-3 4. (考查分段函数的问题,解方程,分类讨论的思想). **6.已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m +6),则实数 c 的值为________. 答案:c=9. (考查二次函数的值域,一元二次不等式的解集). ***7. 已知 f(x)=  (3-2a)x-2a+2 ,x<1, logax , x≥1, 是(-∞,+ ∞)上的增函数,那么 a 的取值范围是_________. 解析:  3-2a>0, a>1, (3-2a)-2a+2≤ loga1 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 17 页 共 21 页 答案:[5 4,3 2). (本题考查分段函数的单调性和一次函数与对数函数) ***8. 已知函数 f(x)=   x+1, x≤0, x2-2x+1,x>0. 若关于 x 的方程 f 2(x)-af(x)=0 恰有 5 个不同的实数解,则 a 的取值范围是 ; 答案 (0,1). (考查函数的零点) ***9. 已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范 围是 ; 答案    1,2 1 . (考查方程解的问题) ***10. 已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围是 ________. 答案:(-2,2 3). (考查函数的单调性,不等式恒成立) *11. 若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)由 f(0)=1 得,c=1, ∴f(x)=ax2+bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即 2ax+a+b=2x, ∴   2a=2, a+b=0, ∴   a=1 b=-1 .因此,f(x)=x2-x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立, 只需使函数 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1). (考查二次函数的解析式,不等式恒成立) *12.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x).当-1≤x≤≤1,f(x)=x3. (1)求证:x=1 是函数 y=f(x)的一条对称轴; (2)当 x∈[1,5]时,求 f(x)的表达式. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 18 页 共 21 页 答案:(1)略;(2)f(x)的解析式为 f(x)=  -(x-2)3, 1≤x≤3, (x-4)3, 3<x≤5 (考查用定义证明函数的对称性,利用函数的奇偶性、周期性求函数的解析式). **13.设函数 f(x)=   x2+bx+c, x≤0, 2, x>0, 其中 b>0,c∈R.当且仅当 x=-2 时,函数 f(x)取得最小 值-2. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若方程 f(x)=x+a(a∈R)至少有两个不相同的实数根,求 a 的取值集合. 答案:(1)f(x)=   x2+4x+2,x≤0, 2,x>0. (2)实数 a 取值的集合为 -1 4,2 . (考查求二次函数的解析式,方程解的个数问题,分类讨论及数形集合的思想方法). **14.已知函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值-4 3. (1)求函数的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围. 解析:由题意,可知 f′(x)=3ax2-b. (1)于是   f =12a-b=0, f =8a-2b+4=-4 3, 解得   a=1 3, b=4. 故所求的解析式为 f(x)=1 3x3-4x+4. (2)由(1)可知,f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0,得 x=2,或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 28 3 单调递减 -4 3 单调递增 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值28 3 ; 当 x=2 时,f(x)有极小值-4 3. 所以函数的大致图像如图. 故实数 k 的取值范围是-4 3<k<28 3 . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 19 页 共 21 页 (考查待定系数求解析式,方程解的个数问题,分类讨论及数形集合的思想方法). **15.已知 f(x)=3x,并且 f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x 的定义域为[-1,1]. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)判断 g(x)的单调性; (3)若方程 g(x)-m=0 有解,求 m 的取值范围. 答案:(1)g(x)=2x-4x,x∈[-1,1]; (2)g(x)在[-1,1]上单调递减; (3)[-2,1 4]. 说明:(1)考查解指数方程; (2)考查函数的单调性; (3)考查方程有解的问题:①分离变量,求函数的值域;②数形结合,对应函数图象有公共点. 解析:①f(a+2)=18,得到 3a+2=18,∴3a=2,∴g(x)=2x-4x,x∈[-1,1] ②令 t=2x,1 2≤t≤2,则 y=t-t2,∴g(x)在[-1,1]上单调递减; ③方程 g(x)-m=0 有解,则  y=g(x), y=m 有交点 ∴1 2≤t≤2,则 y=t-t2的范围是[-2,1 4],所以 m∈[-2,1 4] ***16.设函数 f(x)=3ax2-2(a+c)x+c (a>0,a,c∈R). (1)设 a>c>0.若 f(x)>c2-2c+a 对 x∈[1,+∞)恒成立,求 c 的取值范围; (2)函数 f(x)在区间(0,1)内是否有零点,有几个零点?为什么? (考查不等式恒成立,函数零点) 解 (1)因为二次函数 f(x)=3ax2-2(a+c)x+c 的图象的对称轴为 x=a+c 3a ,由条件 a>c>0,得 2a>a +c, 故a+c 3a <2a 3a=2 3<1, 即二次函数 f(x)的对称轴在区间[1,+∞)的左边, 且抛物线开口向上,故 f(x)在[1,+∞)内是增函数. 若 f(x)>c2-2c+a 对 x∈[1,+∞)恒成立, 则 f(x)min=f(1)>c2-2c+a, 即 a-c>c2-2c+a,得 c2-c<0,所以 0<c<1. (2)①若 f(0)·f(1)=c·( a-c)<0, 则 c<0,或 a<c,二次函数 f(x)在(0,1)内只有一个零点. ②若 f(0)=c>0,f(1)=a-c>0,则 a>c>0. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 20 页 共 21 页 因为二次函数 f(x)=3ax2-2(a+c)x+c 的图象的对称轴是 x=a+c 3a .而 f   a+c 3a =-a2+c2-ac 3a <0, 所以函数 f(x)在区间   0,a+c 3a 和   a+c 3a ,1 内各有一个零点,故函数 f(x)在区间(0,1)内有两个零点. ***17.已知 a∈R,函数 f(x)=log2(1 x+a). (1)当 a=5 时,解不等式 f(x)>0; (2)若关于 x 的方程 f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的取值范围; (3)设 a>0 0a  ,若对任意 t ∈[1 2,1],函数 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过 1, 求 a 的取值范围. 答案:(1)  1, 0,4x     (2)   1,2 3,4 (3) 2 ,3  说明:本题综合性较强,考察了对数不等式、二次函数求值域和方程有解问题。 解析: (1)由 2 1log 5 0x  ,得 1 51x , 解得 . (2)  1 4 2 5a a x ax      ,   24 5 1 0a x a x     , 当 4a  时, 1x  ,经检验,满足题意. 当 3a  时, 12 1xx   ,经检验,满足题意. 当 3a  且 4a  时, 1 1 4x a  , 2 1x  , 12xx . 1x 是原方程的解当且仅当 1 1 0ax ,即 2a  ; 2x 是原方程的解当且仅当 2 1 0ax ,即 1a  . 于是满足题意的  1,2a . 综上, a 的取值范围为 . (3)当 120 xx时, 12 11aaxx   , 22 12 11log logaaxx              , 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 21 页 共 21 页 所以  fx在 0, 上单调递减. 函数  fx在区间 ,1tt 上的最大值与最小值分别为  ft,  1ft .     22 111 log log 11f t f t a att                 即  2 1 1 0at a t    ,对任意 1 ,12t  成立. 因为 0a  ,所以函数  2 11y at a t    在区间 1 ,12   上单调递增, 1 2t  时, y 有最小值 31 42a  ,由 31042a ,得 2 3a  . 故 a 的取值范围为 2 ,3  . (考查对数函数的图像和性质,函数零点)
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