2018届二轮复习函数的综合应用课件（江苏专用）

2018届二轮复习函数的综合应用课件（江苏专用）

第 2 讲　函数的综合应用 专题一　 函数的图像与性质 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 Ⅰ 高考真题体验 答案 解析 4 1 2 解析 　 令 h ( x ) ＝ f ( x ) ＋ g ( x ) ， 1 2 故当 1< x <2 时 h ( x ) 单调递减，在同一 坐标系 中 画出 y ＝ | h ( x )| 和 y ＝ 1 的图象如图所示 . 由图象可知 | f ( x ) ＋ g ( x )| ＝ 1 的实根个数为 4. 2.(2017· 江苏 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 － 2 x ＋ e x － ， 其中 e 是自然对数的底数，若 f ( a － 1) ＋ f (2 a 2 ) ≤ 0 ，则实数 a 的取值范围是 ________. 答案 解析 1 2 1 2 因为 f ( a － 1) ＋ f (2 a 2 ) ≤ 0 ， 所以 f (2 a 2 ) ≤ － f ( a － 1) ，即 f (2 a 2 ) ≤ f (1 － a ). 所以 f ( x ) 在 R 上单调递增， 所以 2 a 2 ≤ 1 － a ，即 2 a 2 ＋ a － 1 ≤ 0 ， 考情考向分析 江苏高考对函数应用考查重点是函数的零点及函数与不等式 . 试题主要是以分段函数、二次函数等为载体，试题难度中等以上 . Ⅱ 热点分类突破 答案 解析 热点一　分段函数 ( － ∞ ，－ 1) 故 的单调增区间为 ( － ∞ ，－ 1). 答案 解析 思维升华 ( － 1,0) 思维升华 　 解决分段函数问题要进行分段研究，同时要注意各段之间的联系，解题关键是抓住分段点 . 解析　 ∵ 当 x <0 时，函数 f ( x ) ＝ x 2 － ax ＋ 1 是减函数， ∴ a ≥ 0. ∵ 当 x ≥ 0 时，函数 f ( x ) ＝－ x ＋ 3 a 是减函数 ， 则 实数 a 的取值范围是 ________. 答案 解析 例 2 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ 2| x － 1| － x ＋ 1 ，则 f ( x ) 的单调增区间为 ____ _ ____ ，单调减区间为 _ _ _______. 答案 解析 热点二　绝对值函数 [ 1 ，＋ ∞ ) ( － ∞ ， 1 ] 由图可知函数 f ( x ) 的单调增区间为 [ 1 ，＋ ∞ ) ，单调减区间为 ( － ∞ ， 1 ]. 解析　 作出函数 f ( x ) ＝ 2| x － 1| － x ＋ 1 (2)(2017· 江苏扬州期中 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x (1 － a | x |) ＋ 1( a >0) ，若 f ( x ＋ a ) ≤ f ( x ) 对任意 x ∈ R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ______________. 解析 答案 思维升华 解析　 y ＝ x (1 － a | x |) 是奇函数，对称中心为原点 ， 则 f ( x ) ＝ x (1 － a | x |) ＋ 1( a >0) 的对称中心为 (0,1) ， 观察函数图象，将问题转化为 f ( x ) 在 [ － a, 0) 上的函 数值 恒大于等于 f ( x ＋ a ) 在 [ － a, 0) 上的函数值即可 . ∴ ax 2 ＋ x ＋ 1 ≥ － a ( x ＋ a ) 2 ＋ ( x ＋ a ) ＋ 1 在 [ － a, 0) 上恒成立，即 2 x 2 ＋ 2 ax ＋ a 2 － 1 ≥ 0 在 [ － a, 0) 上恒成立， 思维升华 　 解决 绝对值函数的关键是去掉绝对值转化为常规函数，去绝对值的方法有：定义法、单调性法等 . 跟踪演练 2 　 (2017· 江苏南通调研 ) 若函数 f ( x ) ＝ |2 x ＋ a | 的单调增区间是 [3 ，＋ ∞ ) ，则 a ＝ _____. 答案 解析 － 6 例 3 　 已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x ＋ 1. (1) 试讨论函数 f ( x ) 的单调性； 解答 热点三　二次函数 解 　当 a ＝ 0 时，函数 f ( x ) ＝－ 2 x ＋ 1 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上为减函数； (2) 若 ≤ a ≤ 1 ，且 f ( x ) 在 [ 1,3 ] 上的最大值为 M ( a ) ，最小值为 N ( a ) ，令 g ( a ) ＝ M ( a ) － N ( a ) ，求 g ( a ) 的表达式； 解答 证明 思维升华 思维升华 　 二次函数 的单调性与其对称轴密切相关，在解题过程中要充分运用数形结合思想，寻找解题思路 . 给定自变量区间求解最值问题时，最重要的策略就是结合二次函数图象，利用对称轴与区间的位置关系，可直观显示相应的最值 . 在分类讨论时，可采用 “ 定区间动轴法 ” ，即区间标在数轴上不动，让二次函数图象的对称轴移动，这样可做到不重不漏，并且简捷易行 . 解答 跟踪演练 3 　 (2017· 江苏新海中学质检 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0 ， b ∈ R ， c ∈ R ). 解得 a ＝ 1 ， b ＝ 2 ， ∴ f ( x ) ＝ ( x ＋ 1) 2 ， ∴ F (2) ＋ F ( － 2) ＝ (2 ＋ 1) 2 ＋ [ － ( － 2 ＋ 1) 2 ] ＝ 8. (2) 若 a ＝ 1 ， c ＝ 0 ，且 | f ( x )| ≤ 1 在区间 (0,1] 上恒成立，试求 b 的取值范围 . 解答 ∴ － 2 ≤ b ≤ 0. 故 b 的取值范围是 [ － 2,0 ]. 解　 f ( x ) ＝ x 2 ＋ bx ，原命题等价于－ 1 ≤ x 2 ＋ bx ≤ 1 在 (0,1] 上恒成立， 答案 解析 热点四　函数方程 ( 0 ， 1 ) 解析　 画出函数 f ( x ) 的图象如图所示， 观察 图象可知，若方程 f ( x ) － a ＝ 0 有三个不同的实数根，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象与直线 y ＝ a 有 3 个不同的交点，此时需满足 0< a <1. (2) 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，且当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ x ，则函数 y ＝ f ( x ) － log 3 | x | 的零点个数是 ____. 解析 思维升华 答案 4 解析　 由题意知， f ( x ) 是周期为 2 的偶函数 . 在同一坐标系内作出函数 y ＝ f ( x ) 及 y ＝ log 3 | x | 的图象，如图所示 . 观察 图象可以发现它们有 4 个交点，即函数 y ＝ f ( x ) － log 3 | x | 有 4 个零点 . 思维升华 　解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解 . 答案 解析 ( － ∞ ，－ 4) 由题意知， h ( x ) 与 g ( x ) 图象 ( 如图所示 ) 有三个不同的交点， Ⅲ 高考押题精练 答案 解析 1 2 2 1 2 由图象知与 x 轴的交点个数即零点个数，零点个数为 2. 解析 1 2 答案 (0,1) 1 2 解析　 当 x <2 时， f ′ ( x ) ＝ 3( x － 1) 2 ≥ 0 ，说明函数在 ( － ∞ ， 2) 上单调递增，函数的值域是 ( － ∞ ， 1). 又函数在 [ 2 ， ＋ ∞ ) 上单调递减，函数的值域是 ( 0,1 ]. 方程 f ( x ) ＝ k 有两个不同的实根，转化为 函数 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ k 有两个不同的交点，如图所示 . 当 0< k <1 时，直线 y ＝ k 与函数 f ( x ) 的图象有 两 个 交点，即方程 f ( x ) ＝ k 有两个不同的实根 . 本课结束