2020学年高二数学上学期第三次月考试题 理（含解析） 人教新目标版 新版

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‎2019学年度第一学期第三次月考 高二 理数 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.把答案填涂在答题卡上相应位置）‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 集合，，故选B.‎ ‎2. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由诱导公式可得，故选B.‎ ‎3. 点在平面外，若，则点在平面上的射影是的（ ）‎ A. 外心 B. 重心 C. 内心 D. 垂心 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设点作平面的射影，由题意，底面 都为直角三角形，，即为三角形的外心，故选A................‎ ‎4. 已知点 则过点且与直线平行的直线方程为（ ）‎ - 11 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 可得 ，由点斜式可得过点且与直线平行的直线方程为 ，化为，故选C.‎ ‎5. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，不满足循环的条件，退出循环，输出，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎6. 若，，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，‎ - 11 -‎ ‎，故选B.‎ ‎7. 设向量与向量共线，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题向量与向量共线，则 ‎ 选B ‎8. 已知函数则函数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，即， ，故选D.‎ ‎9. 等差数列中，如果，且，那么的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是等差数列，，,因为，所以的最大值为，故选B.‎ ‎10. 设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线的倾斜角为，则，由，即，故选D.‎ ‎11. 在三菱柱中，是等边三角形，平面，，，则异面直线和所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 11 -‎ ‎【解析】‎ 如图，作交的延长线于，连接，则就是异面直线和所成的角（或其补角），由已知，，由，知异面直线和所成的角为直角，正弦值为，故选A.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎12. 已知，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为表分别表示点到的距离，点在直线和以及和四条直线围成的正方形内部，根据三角形两边之和大于第三边可知，当点为该正方形的中心时，四个距离之和最小，把代入原式计算可得最小值为，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定两点间距离公式以及求最值问题，属于难题.解决最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是平面几何的有关结论来求最值的.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 ‎13. 过点，的直线方程为__________.‎ - 11 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】该直线的斜率，过，即可得到直线的方程为，化简得，故答案为.‎ ‎14. 已知为实数，直线恒过定点，则此定点坐标为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将直线方程变形为，它表示过两直线和的交点的直线系，解方程组，得上述直线恒过定点，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎ ‎15. 已知函数是的奇函数，且，当时，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，函数的周期为，又函数为奇函数，当时，，故答案为.‎ ‎16. 若，，满足，则的最小值__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据化简≥,即的最小值为，故答案为.‎ 三、解答题 （共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 2016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施(简称“国五条”).为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了 - 11 -‎ 人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表): ‎ 月收入（百元）‎ 赞成人数 ‎（1）试根据频率分布直方图估计这人的中位数和平均月收入； ‎ ‎（2）若从月收入(单位:百元)在的被调查者中随机选取人进行追踪调查，求被选取的人都不赞成的概率.‎ ‎【答案】(1) 中位数为43，平均月收入为43.5；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据中位数的两边频率相等,列出方程即可求出中位数；利用频率分布直方图中各小矩形的底边中点坐标对应的频率,再求和,即得平均数；(2)利用列举法求出基本事件数，根据古典概型概率公式计算对应的概率值.‎ 试题解析：（1）设中位数为，则，解得 ‎（2）月收入在的被调查者中，赞成的有人，设为，，不赞成的有人，设为，‎ - 11 -‎ ‎，，；‎ 从这人中随机选取人的选法有，…，共种，其中，被选取的人都不赞成的有种.设“被选取的人都不赞成”为事件，则 ‎18. 如图、、、分别是正方体的棱、、、的中点.‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取的中点，易证四边形为平行四边形,故有,从而根据线面平行的判定定理证明平面；（2）由正方体得，由四边形是平行四边形，根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证平面平面.‎ 试题解析：（1）取的中点，连接，，易证四边形为平行四边形，故，由曲线平行的判定定理即可证平面.‎ ‎（2）由题意可知 如图，连接、，‎ 易证四边形是平行四边形，‎ 故.‎ 又，，所以平面平面 ‎19. 如图，在中，边上的高所在的直线方程为，直线与直线垂直，直线相交于点，若点的坐标为.‎ - 11 -‎ 求（1）和所在直线的方程；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】(1) ，；(2)12.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出顶点，再利用斜率公式可得，利用点斜式可得的方程，由上的高所在直线的方程为，可得的斜率为，再由点斜式可得的方程；（2）由两点间距离公式可得，由点到直线的距离公式可得三角形的高，根据三角形面积公式可得结果.‎ 试题解析：（1）由得顶点.‎ 又的斜率,所在直线的方程为①‎ 已知上的高所在直线的方程为，故的斜率为，‎ 所在的直线方程为②‎ ‎（2）解①，②得顶点的坐标为.‎ 又直线的方程是 到直线的距离，‎ 所以的面积 ‎20. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，，.‎ 求（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（I）列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，即可求的通项公式；(II)‎ - 11 -‎ ‎ 由（Ⅰ）知， ‎ 所以，利用分组求和法，根据等差数列与等比数列的求和公式即可得出数列的前项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则，‎ 所以，，所以.‎ 设等比数列的公比为，‎ 因为，，‎ 所以，即，则.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，‎ 所以.‎ 从而数列的前项和 ‎【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的通项和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.‎ ‎21. 如图，在四棱锥中平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点，求 ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面，求三棱锥的体积.‎ - 11 -‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（I）由菱形的性质可得，由平面，可得由线面垂直的判定定理能证明平面，从而可得平面平面；（2）取中点，连结，先证明平面由.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴.∵四边形是菱形，∴，‎ 又∵，平面.‎ 而平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）解：∵平面，平面平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵是中点，∴是中点.‎ 取中点，连结，∵四边形是菱形，，‎ ‎∴，又，，∴平面，.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎22. 已知，且.‎ ‎（1）将表示成的函数，并求的最小正周期.‎ ‎（2）记的最大值为，，，分别为的三个内角、、对应的边长，若且，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) ，函数的最小正周期为.(2)4.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用向量共线的条件，结合二倍角、辅助角公式，可得函数关系式，从而可得的最小正周期；〔II〕确定，再利用余弦定理得 - 11 -‎ ‎，结合基本不等式，即可求得结论.‎ 试题解析：（1）由得 即 所以，又 所以函数的最小正周期为.‎ ‎（2）由（1）易得 于是由，即，‎ 因为为三角形的内角，故 由余弦定理得 解得，于是当且仅当时，的最大值为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换、平面向量的坐标表示；属于难题. 以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 11 -‎