2020版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理

2020版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理

‎1.1.2 　‎余弦定理 课后篇巩固探究 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A组 ‎1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c=(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎C.4 D.6‎ 解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2‎-3c,即c2‎-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).‎ 答案C ‎2.(2017·江西临川二中期中考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析由余弦定理,得cos C=.因为C∈(0,π),所以C=,sin C=.故选C.‎ 答案C ‎3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是(　　)‎ A.a=bcos C+ccos B B.a=bcos C-ccos B C. a=bsin C+csin B D.a=bsin C-csin B 解析bcos C+ccos B=b·+c·=a.‎ 答案A ‎4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是(　　)‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定 解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cos θ=.因为m2>0,a+b-c>0,所以cos θ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.‎ 答案A ‎5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　)‎ A. B. C. D.3‎ 4‎ 解析在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cos A=,∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=.故选B.‎ 答案B ‎6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=a,则cos A=　　　. ‎ 解析由B=C,得b=c=a.由余弦定理,得cos A=.‎ 答案 ‎7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a2-c2=2b,且sin B=6cos Asin C,则b的值为　. ‎ 解析由正弦定理及余弦定理,得sin B=6cos Asin C可化为b=6··c,化简得b2=3(b2+c2-a2).‎ ‎∵a2-c2=2b,且b≠0,∴b=3.‎ 答案3‎ ‎8.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为　　　. ‎ 解析因为sin∠BAC=,且AD⊥AC,所以sin,所以cos∠BAD=.‎ 在△BAD中,由余弦定理,得 BD=‎ ‎=.‎ 答案 ‎9.导学号04994004在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角C的大小.‎ 4‎ 解由题意,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即,所以cos C=,所以C=60°.‎ ‎10.在△ABC中,C=‎2A,a+c=10,cos A=,求b.‎ 解由正弦定理,得=2cos A=2×,∵a+c=10,∴a=4,c=6.‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得,解得b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B.又C=‎2A,且A+B+C=π,∴A=,与已知cos A=矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,故b=5.‎ B组 ‎1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin‎2C-sin‎2A+sin Bsin C=0,则tan A的值是 (　　)‎ A. B.- C. D.-‎ 解析由题意及正弦定理,得b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A==-.因为0b>a,则角C最大.‎ ‎∵cos C==-,‎ 4‎ 且0b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos 120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.‎ 答案30‎ ‎5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的度数为　　　. ‎ 解析由余弦定理,得2accos B·tan B=ac,整理,得sin B=,所以B=60°或120°.‎ 答案60°或120°‎ ‎6.(2017·河北冀州中学)在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD=　　　. ‎ 解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=,‎ 所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=,‎ 所以sin∠ABD=.‎ 答案 ‎7.导学号04994005若‎2a+1,a,‎2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.‎ 解因为‎2a+1,a,‎2a-1是三角形的三边长,‎ 所以解得a>,此时‎2a+1最大.要使‎2a+1,a,‎2a-1是三角形的三边长,还需a+‎2a-1>‎2a+1,解得a>2.设最长边‎2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cos θ=<0,解得

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