河南省八市重点高中联盟2020届高三9月“领军考试”数学（文）试题

河南省八市重点高中联盟2020届高三9月“领军考试”数学（文）试题

‎2019——2020学年度上期八市重点高中联盟 ‎“领军考试”高三文科数学 一、选择题：‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. {2,3} B. {0,1,2} C. {-1,0,2,3} D. {3}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将集合A化简，再与集合B进行交集运算.‎ ‎【详解】或 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将从中分离出来，利用复数的四则运算，得到，结合模长公式即可求出.‎ ‎【详解】 ‎ 故答案选A ‎【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及模长公式，属于基础题.‎ ‎3.已知命题，使得，则为（ ）‎ A. ，使得 B. ，‎ C. ，使得 D. ，总有 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特称命题的否定性质即可得到.‎ ‎【详解】因为命题，使得 所以命题：，总有 故答案为D ‎【点睛】本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题.‎ ‎4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）‎ A. 134 B. 135 C. 136 D. 137‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意得出，求出，即可得出数列的项数.‎ ‎【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故.由得，故此数列的项数为，故答案为B.‎ ‎【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.‎ ‎5.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性可排除B，结合导数对函数在的单调性即可得出答案。‎ ‎【详解】函数为偶函数，则图像关于轴对称，排除B。‎ 当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增。‎ 故选D。‎ ‎【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：‎ ‎（1）从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置；‎ ‎（2）从函数的单调性判断图象的变化趋势；‎ ‎（3）从函数的奇偶性判断图象的对称性；‎ ‎（4）从函数的周期性判断图象的循环往复；‎ ‎（5）分析函数解析式，取特值排除不合要求的图象。‎ ‎6.已知双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，列出等式，即可求出.‎ ‎【详解】双曲线的渐近线方程为 ‎ 将化为一般式可得 ‎ 由双曲线的渐近线与圆相切可得， ‎ 解得 ‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及直线与圆相切的性质，关键是利用点到直线的距离公式列出方程，属于基础题.‎ ‎7.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将与2进行比较，再利用对数函数的单调性得出的大小.‎ ‎【详解】 ,‎ ‎ ‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查了对数指数大小的比较，一般借助0,1,2等常数进行比较以及对数和指数函数的单调性进行比较，属于中等题.‎ ‎8.若，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为，结合二倍角的正切公式即可求出.‎ ‎【详解】‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了二倍角的正切公式，关键是将转化为，利用二倍角的正切公式求出，属于基础题.‎ ‎9.在如图所示的正方形内任取一点，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆和以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由阴影部分的面积等于（正方形的面积内切圆面积）的两倍以及几何概率公式求解即可.‎ ‎【详解】设正方形的边长为2，可以得出阴影部分的面积等于（正方形的面积内切圆面积）的两倍 即阴影部分的面积为 则点恰好取自阴影部分的概率为 故选D ‎【点睛】本题主要考查了几何概型，属于基础题.‎ ‎10.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出平移后的函数，由，得到，由此即可求出的最小值 ‎【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数 ‎ ‎ 由于，即当时，取最小值为1‎ 故答案选A ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换以及三角函数方程的求解，属于中等题.‎ ‎11.的内角的对边分别为，已知，，则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平方关系得出，结合正弦定理的角化边公式得到，再由即可求出A.‎ ‎【详解】‎ ‎，解得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及平方关系，属于中档题.‎ ‎12.已知梯形中，，，，，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定BC中点O为四棱锥外接球的球心，根据球的表面积公式求解即可.‎ ‎【详解】取BC中点O,过点P作BE的垂线，垂足于F，连接PO,FO 由于 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 即 所以球心在的中点处，所以外接球的半径为2，其表面积为 ‎【点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球的性质以及球的表面积公式，关键是确定球心所在位置，属于难题.‎ 二、填空题：‎ ‎13.向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则实数______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系写出向量的坐标，结合，即可得出实数 ‎【详解】以向量的交点为原点建立如下图所示的直角坐标系 ‎，，‎ 则 ‎，解得 ‎【点睛】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量共线定理.‎ ‎14.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作可行域，再平移直线，确定目标函数最小值的取法.‎ ‎【详解】由变形为，‎ 绘制不等式组表示的可行域，当目标函数经过点处取得最小值， ‎ 所以的最小值为.‎ 故的最小值为 ‎【点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：‎ ‎① 截距型，，即 ，主要根据目标函数在坐标轴上的截距判断最值。‎ ‎②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；‎ ‎③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；‎ ‎④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.‎ ‎15.已知为坐标原点，为椭圆的右焦点，过点且倾斜角为 的直线与椭圆交于第一象限一点，若△为正三角形，则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出点P 的坐标并代入椭圆方程，化简即可求解.‎ ‎【详解】因为，△为正三角形 所以 则点P坐标为 ‎ 即，解得 ‎ 故椭圆的离心率为 ‎【点睛】本题主要考查了椭圆离心率的求法，关键是由几何关系确定点P坐标，属于中等题.‎ ‎16.已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图象得出，将代入，构造函数，利用导数求出在最大值即可.‎ ‎【详解】‎ 画出的图象可得，因为，所以，‎ 所以，令.‎ 则，令，则，‎ 当时，；‎ 当时，‎ 所以当时，最大，且.‎ 故的最大值为 ‎【点睛】本题主要利用导数求函数的最值，关键是构造函数，属于难题.‎ 三、解答题： ‎ ‎17.为考查某种药物预防疾病的效果，随机抽查了50只服用药的动物和50只未服用药的动得知服用药的动物中患病的比例是，未服用药的动物中患病的比例为.‎ ‎（I）根据以上数据完成下列2×2列联表：‎ 患病 未患病 总计 服用药 没服用药 总计 ‎（II）能否有99%的把握认为药物有效？并说明理由.‎ 附：‎ ‎…‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎…‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（I）列联表见解析；（II）不能.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据题意分别求出服用药和未服用药中患病和未患病的人数，即可填写列联表.‎ ‎（Ⅱ）将（I）中列联表的数据代入即可判断.‎ ‎【详解】（I）由已知数据可得列联表如下：‎ 患病 未患病 总计 服用药 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 没服用药 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（Ⅱ）由（I）中列联表的数据可得，‎ 因为，‎ 故不能够有99%的把握认为药物有效.‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验的列联表以及观测值，正确列出列联表以及算出观测值是关键,一般难度不大，属于基础题.‎ ‎18.已知数列是等差数列，且.‎ ‎（I）证明：数列是等比数列，并求出其通项公式：‎ ‎（II）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（I）证明见解析，；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由等差数列的定义得出，得到，由此是等比数列，由，，化简即可得到的通项公式；‎ ‎（II）由（I）得出数列的通项公式，即可求出前项和.‎ ‎【详解】（I）因为数列是等差数列，设公差为 ‎，所以，即是等比数列.‎ 设数列的公比为，由，，得，所以.‎ 所以，即的通项公式为.‎ ‎（II）‎ 所以 ‎，‎ 即数列的前项和.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、等比数列的基本性质以及利用裂项相消法求数列的前项和，其中将裂项为是解题的关键,属于中档题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形,平面，，为的中点.‎ ‎（I）求证，平面；‎ ‎（II）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）取的中点，连接.连接，交于点，连接交于点，连接.由中位线定理得出为的中点，结合为的中点，得出，由线面平行的判定定理即可求解;‎ ‎（II）利用余弦定理得出，结合勾股定理得到，因为四边形是平行四边形，得到DC为三棱锥D-SAC的高，结合，得到，即可求出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】（I）证明：取的中点，连接.连接，交于点，‎ 连接交于点，连接.‎ 因为为的中点，是的中点，所以.‎ 又，所以为的中点，所以为的中点，‎ 又为的中点，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面 ‎（II）因为.‎ 由余弦定理得，‎ 所以，所以.‎ 因为平面，所以，‎ 所以，所以平面 因为四边形是平行四边形 所以DC为三棱锥D-SAC的高 因为，‎ 所以,‎ 即三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行以及棱锥的体积公式，证明线面平行时一般要用到中位线定理，来找线线平行，属于中等题.‎ ‎20.已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为.‎ ‎（I）求证：是直角三角形；‎ ‎（II）轴上是否存在一定点，使三点共线.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）设出点M的坐标以及切线方程，并将其与联立消得，利用，得到，结合韦达定理得到，即可证明是直角三角形；‎ ‎（II）设，由（I）可得，设出直线AB的方程与联立消得，结合韦达定理得到，解得，得到直线过定点，即可证明轴上存在一定点，使三点共线.‎ ‎【详解】（I）由已知得直线的方程为，设，切线斜率为，则切线方程为，将其与联立消得.所以，化简得，所以，所以.即是直角三角形.‎ ‎（II）由I知时，方程的根为 设切点，则.因为，所以.‎ 设，与联立消得，则，所以，解得，所以直线过定点.‎ 即轴上存在一定点，使三点共线.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，关键是韦达定理的灵活运用，属于中等题。‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数单调区间；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的增区间与减区间；（2）当时，不等式等价于，设，利用两次求导求解的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以函数的定义域为，且，‎ 令得，解得；令得，解得，‎ 所以函数的单调递增区间为，递减区间为.‎ ‎（2）当时，等价于，‎ 设，‎ 则，设，则，‎ 因为当时，，所以在上单调递增，即在上单调递增.因此，，‎ 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，符合题意.‎ 当时，，存在，使得当时，，从而在上单调递减，又因为，‎ 所以当时，，不合题意，‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.‎ 选修4-4，坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，曲线，（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线.‎ ‎（I）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）若曲线与交于两点（在的上方），点，求的值.‎ ‎【答案】（I）,；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程的公式即可求解;‎ ‎（II）两圆的方程与作差得直线的方程,利用点P写出直线AB的参数方程，代入，利用韦达定理求出，，即可求解的值.‎ ‎【详解】（1）曲线的普通方程为.‎ 由.‎ 将代入上式得 曲线的直角坐标系为.‎ ‎（II）将两圆的方程与作差得直线的方程为.点在直线上，设直线的参数方程为，（‎ 为参数），代入化简得，所以.‎ 所以 ‎，‎ 因为在的上方，‎ 所以.‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的几何意义，解决问题（II）时要借助直线参数方程的几何意义来求解，属于中等题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用零点分段法将函数去掉绝对值，并分段讨论解集即可;‎ ‎（II）由于，可将化为，结合不等式的性质可以得到，分别求出和在时的最大值和最小值，即可确定实数的取值范围.‎ ‎【详解】（I）当时，，‎ 当时，，得，所以；‎ 当时，恒成立，所以；‎ 当时，恒成立，得.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（II）时，恒成立，‎ 等价于在恒成立.‎ 等价于，即在恒成立.‎ 即时，，‎ 因为时，，‎ 所以，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含参数绝对值函数的参数范围以及解绝对值不等式，一般解绝对值不等式可先用零点分段法将绝对值去掉化为分段函数，讨论每一段的解集，即可得到整个不等式的解集.‎ ‎ ‎