数学理卷·2017届四川省双流中学高三下学期4月月考（2017

数学理卷·2017届四川省双流中学高三下学期4月月考（2017

‎ 2014级高三4月月考试题 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2共4页，共4页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第I卷（共60分）‎ 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，函数的定义域为,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）‎ A． B． C．， D．， ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．函数过定点，且角的终边过点，则的值为（　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎5．我国南宋数学家秦九韶（约公元年）给出了求次多项式，当时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（　）的值． ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6.在双曲线 的两条渐近线上各取一点P、Q，若以线段PQ为直径的圆总过原点，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8.函数满足，则（ ）‎ A．一定是偶函数 B．一定是奇函数 C.一定是偶函数 D．一定是奇函数 ‎9. 已知抛物线的焦点为F，准线为，以F为圆心，且与相切的圆与抛物线C 相交于点A，B，则（ ）‎ ‎ B．1 C．2 D．4‎ ‎10．在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（　）‎ 附“若，则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．‎ p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544”．‎ A．1193 B．1359 C．3413 D．2718‎ ‎11.设函数，若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B， C. D. ‎ ‎12．已知△中，，且满足，则△的面积的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）‎ ‎13．已知向量，则=　 　．‎ ‎14．的展开式中不含的项的系数和为 ．‎ ‎15．设，，则不等式组表示的平面区域的面积为________．‎ ‎16．用一个实心木球毛坯加工成一个棱长均为的三棱锥，则木球毛坯体积的最小值应为　 　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17．已知是各项均为正数的等比数列,，设，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是公差为的等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，求的最大值．‎ ‎18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（API）的监测数据，结果统计如表：‎ API ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200]‎ ‎（200，300]‎ ‎＞300‎ 空气质量 优 良 轻度污染 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 ‎6‎ ‎14‎ ‎18‎ ‎27‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提 供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的 空气严重污染与供暖有关”？‎ 非重度污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ ‎（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为,试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式：K2=‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，平面侧面，‎ 且．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，‎ 求锐二面角的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是∶，记点的轨迹为.‎ ‎（I）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）对于定点，作过点的直线与曲线交于不同的两点，，求△的内切圆半径的最大值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设函数，曲线在点处的切线斜率为.‎ ‎（I）求；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（I）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线：（）分别交，于两点， 求的最大值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数（）.‎ ‎（I）若，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2014级高三4月月考试题 参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B A D A A B C B A D ‎12.D　解：依题意，设CA=b，则BC=b，又AB=4，由余弦定理得：cosA===﹣，∴cos2A=（﹣）2=+﹣1，∴sin2A=1﹣cos2A=2﹣﹣．∵S△ABC=AB•ACsinA=×4bsinA=2bsinA，∴S2△ABC=4b2sin2A=4b2（2﹣﹣）=48﹣（b2﹣16）2，当b2=16，即b=4时，4、4、4能组成三角形，∴S2max=48，∴Smax=4． ‎ 二、填空题 ‎13． 9 14． -1 15． 16．‎ 如图，将三棱锥补成一个正方体，其棱长为1，则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球，此时直径为=，体积为．故答案为：．‎ 三、解答题 ‎17解：（Ⅰ）证明：设等比数列{an}的公比为q，‎ 则bn+1﹣bn=log2an+1﹣log2an==log2q，‎ 因此数列{bn}是等差数列．‎ 又b11=log2a11=3，b4=17，‎ 又等差数列{bn}的公差，‎ 即bn=25﹣2n．即数列{bn}是以﹣2为公差的等差数列．…‎ ‎（Ⅱ）设等差数列{bn}的前n项和为Sn，‎ 则n==（24﹣n）n=﹣（n﹣12）2+144，‎ 于是当n=12时，Sn有最大值，最大值为144．‎ ‎18解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：‎ 非严重污染 严重污染 总计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 总计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：‎ K2=≈4.575．∵4.575＞3.841‎ ‎∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”‎ ‎（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：‎ P（X=0）=P（0≤x≤100）= P（X=400）=P=，‎ P（X=2000）=P（x＞300）=‎ ‎∴E（X）=0×+400×+2000×=560．‎ ‎∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）=16800元．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）f′（x）=（x＞0），‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，‎ ‎∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．‎ ‎（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，‎ ‎∴=．‎ ‎①当a时，则，‎ 则当x＞1时，f′（x）＞0，‎ ‎∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，‎ 解得；‎ ‎②当a＜1时，则，‎ 则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；‎ 当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．‎ ‎∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，‎ 而=+，不符合题意，应舍去．‎ ‎③若a＞1时，f（1）=，成立．‎ 综上可得：a的取值范围是．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）‎