2021高考数学一轮复习课时作业51直线与圆锥曲线文

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2021高考数学一轮复习课时作业51直线与圆锥曲线文

课时作业51 直线与圆锥曲线 ‎ [基础达标]‎ ‎1.过椭圆+=1内一点P(3,1),求被这点平分的弦所在直线方程.‎ 解析:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,‎ 由于A、B两点均在椭圆上,‎ 故+=1,+=1,‎ 两式相减得 +=0.‎ 又∵P是A、B的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2,‎ ‎∴kAB==-.‎ ‎∴直线AB的方程为y-1=-(x-3).‎ 即3x+4y-13=0.‎ ‎2.[2020·郑州测试]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图,斜率为的直线l与椭圆C交于A,B两点,点P(2,1)在直线l的左上方.若∠APB=90°,且直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,求线段MN的长度.‎ 解析:(1)由题意知解得 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设直线l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立,得消去y,化简整理,得x2+2mx+2m2-4=0.‎ - 6 -‎ 则由Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,得-2b>0),右焦点为F2(c,0).‎ 因为△AB1B2是直角三角形,且|AB1|=|AB2|,‎ 所以∠B1AB2=90°,‎ 因此|OA|=|OB2|,得b=.‎ 由c2=a2-b2得4b2=a2-b2,‎ 故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.‎ 在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,所以a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程并整理得(m2+5)y2-4my-16=0.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则y1+y2=,y1·y2=-,‎ 又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),‎ 所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-,‎ 由PB2⊥QB2,得·=0,‎ 即16m2-64=0,解得m=±2.‎ 所以满足条件的直线l有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.‎ ‎5.[2020·唐山五校联考]在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的两端点C,D分别在 - 6 -‎ x轴、y轴上滑动,= .记点P的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A,B两点,=+,当点M在曲线E上时,求四边形AOBM的面积.‎ 解析:(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).‎ 由= ,得(x-m,y)=(-x,n-y),‎ 所以得 由||=+1,得m2+n2=(+1)2,‎ 所以(+1)2x2+y2=(+1)2,‎ 整理,得曲线E的方程为x2+=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由=+,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).‎ 由题意知,直线AB的斜率存在.‎ 设直线AB的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程,得 ‎(k2+2)x2+2kx-1=0,‎ 则x1+x2=-,x1x2=-.‎ y1+y2=k(x1+x2)+2=.‎ 由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,‎ 即+=1,解得k2=2.‎ 这时|AB|=|x1-x2|==,‎ 原点到直线AB的距离d==,‎ 所以平行四边形OAMB的面积S=|AB|·d=.‎ ‎6.[2018·天津卷]设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.‎ - 6 -‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.‎ 解析:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得|FB|=a,|AB|=b,‎ 由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.‎ 所以,椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).‎ 由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.‎ 又因为|AQ|=,而∠OAB=,所以|AQ|=y2.‎ 由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.‎ 由方程组消去x,可得y1=.‎ 易知直线AB的方程为x+y-2=0,‎ 由方程组消去x,可得y2=.‎ 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,‎ 整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.‎ 所以k的值为或.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎7.[2020·贵州贵阳测试]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为短轴的上端点,·=0,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,|AB|=.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设经过点(2,-1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G,H两点,若k1,k2分别是直线MG,MH的斜率,求k1+k2的值.‎ 解析:(1)由·=0,得b=c,‎ - 6 -‎ 将x=c代入+=1中,得y=±,‎ 因为|AB|=,所以=,‎ 又a2=b2+c2,所以a=,b=1,‎ 故椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)根据题意设直线l的方程为y+1=k(x-2)(k≠-1),即y=kx-2k-1(k≠-1),‎ 将y=kx-2k-1代入+y2=1中,得 ‎(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0,‎ 由题意知Δ=-16k(k+2)>0,得-2
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