2021高考数学一轮复习课时作业51直线与圆锥曲线文
课时作业51 直线与圆锥曲线
[基础达标]
1.过椭圆+=1内一点P(3,1),求被这点平分的弦所在直线方程.
解析:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由于A、B两点均在椭圆上,
故+=1,+=1,
两式相减得
+=0.
又∵P是A、B的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2,
∴kAB==-.
∴直线AB的方程为y-1=-(x-3).
即3x+4y-13=0.
2.[2020·郑州测试]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,斜率为的直线l与椭圆C交于A,B两点,点P(2,1)在直线l的左上方.若∠APB=90°,且直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,求线段MN的长度.
解析:(1)由题意知解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立,得消去y,化简整理,得x2+2mx+2m2-4=0.
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则由Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,得-2
b>0),右焦点为F2(c,0).
因为△AB1B2是直角三角形,且|AB1|=|AB2|,
所以∠B1AB2=90°,
因此|OA|=|OB2|,得b=.
由c2=a2-b2得4b2=a2-b2,
故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,所以a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程并整理得(m2+5)y2-4my-16=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=,y1·y2=-,
又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-,
由PB2⊥QB2,得·=0,
即16m2-64=0,解得m=±2.
所以满足条件的直线l有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.
5.[2020·唐山五校联考]在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的两端点C,D分别在
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x轴、y轴上滑动,= .记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A,B两点,=+,当点M在曲线E上时,求四边形AOBM的面积.
解析:(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).
由= ,得(x-m,y)=(-x,n-y),
所以得
由||=+1,得m2+n2=(+1)2,
所以(+1)2x2+y2=(+1)2,
整理,得曲线E的方程为x2+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由=+,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).
由题意知,直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程,得
(k2+2)x2+2kx-1=0,
则x1+x2=-,x1x2=-.
y1+y2=k(x1+x2)+2=.
由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,
即+=1,解得k2=2.
这时|AB|=|x1-x2|==,
原点到直线AB的距离d==,
所以平行四边形OAMB的面积S=|AB|·d=.
6.[2018·天津卷]设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.
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(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
解析:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得|FB|=a,|AB|=b,
由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为+=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=,而∠OAB=,所以|AQ|=y2.
由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得y1=.
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
由方程组消去x,可得y2=.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,
整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.
所以k的值为或.
[能力挑战]
7.[2020·贵州贵阳测试]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为短轴的上端点,·=0,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,|AB|=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设经过点(2,-1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G,H两点,若k1,k2分别是直线MG,MH的斜率,求k1+k2的值.
解析:(1)由·=0,得b=c,
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将x=c代入+=1中,得y=±,
因为|AB|=,所以=,
又a2=b2+c2,所以a=,b=1,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)根据题意设直线l的方程为y+1=k(x-2)(k≠-1),即y=kx-2k-1(k≠-1),
将y=kx-2k-1代入+y2=1中,得
(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0,
由题意知Δ=-16k(k+2)>0,得-2
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