浙江省2014届理科数学复习试题选编28：空间角和空间距离（教师版）

浙江省2014届理科数学复习试题选编28：空间角和空间距离（教师版）

浙江省2014届理科数学复习试题选编28：空间角和空间距离 一、选择题 ．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）在平行四边形中,,点是线 段上任一点(不包含点),沿直线将△翻折成△,使在平面上的射影落在直线上,则的最小值是 （　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎ ．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）棱长为2的正方体ABCD-A1B‎1C1D1在空间直角坐标系中移动,但保持点 （　　）‎ A．B分别在X轴、y轴上移动,则点C1到原点O的最远距离为 （　　）‎ A． B． C．5 D．4‎ ‎【答案】D ‎ ．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）正方体中,与平面所成角的余弦值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）已知正方体的棱长为1,是对角线上的两点,动点在正方体表面上且满足,则动点的轨迹长度的最大值为 （　　）‎ A．3 B． C． D．6 ‎ ‎【答案】B ‎ ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图所示,在正方体中,为上一点,且,是侧面上的动点,且平面,则与平面所成角的正切值构成的集合是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎1‎ C ‎（第10题图）‎ ‎【答案】C ‎ ．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word版） ）已知四面体中,为棱的中点,则过点与侧面和底面所在平面都成的平面共有(注:若二面角的大小为,则平面与平面所成的角也为) （　　）‎ A．个 B．个 C．个 D．无数个 ‎【答案】B 提示:设平面ABC的法向量为,平面BCD的法向量为,因为二面角 ‎ 的平面角的余弦值为,即平面角大约为,所以过点P与法向量都成的向量有4 ‎ 个,所以过点P与侧面ABC和底面BCD所在平面都成的平面共有4个. ‎ ．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知正四面体中,为的中点,则过点与侧面和底面所在平面都成的平面共有 ‎ ‎(注:若二面角的大小为,则平面与平面所成的角也为) （　　）‎ A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 非选择题部分(共100分)‎ ‎【答案】 B．‎ ．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）如图是等腰直角三角形,其中,且,现将折起,使得二面角为直角,则下列叙述正确的是 ‎①; ②平面的法向量与平面的法向量垂直;‎ ‎③异面直线BC与AD所成的角为;④直线DC与平面ABC所成的角为 （　　）‎ A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④‎ ‎【答案】【答案】B ‎ 解析:易证,则,到此很容易证明①④正确,②错误,而与所成的角余弦值为. ‎ ．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 成 角,‎ 且的大小分别为1和2,则有 （　　）‎ A．成角 B．成角 C．成角 D．成角 ‎ ‎【答案】 （　　）‎ A．‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则 （　　）‎ A．平面与平面垂直 B．平面与平面所成的(锐)二面角为 ‎ C．平面与平面平行 D．平面与平面所成的(锐)二面角为 ‎ ‎【答案】A ‎ ．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）正方体ABCD-A1B‎1C1D1中BC1与截面BB1D1D所成的角是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 ．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）如图,斜边长为4的直角,, 且在平面上,,在平面的同侧,为的中点.若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形,则到平面的距离的取值范围是____.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）在二面角中,且已知 , , 则二面角的余弦值为___________‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）正四面体S—ABC中,E为SA的中点,F为的中心,则直线EF与平面ABC所成的角的正切值是___________________. ‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）在三棱锥S-ABC中,△ABC为正三角形,且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心,又二面角H-AB-C为300,则________;‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）如图,在正方形ABCD中,E,F分别为线段AD,BC上的点,∠ABE=20°,∠CDF=30°.将△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD各自独立旋转一周,则在所有旋转过程中,直线AB与直线DF所成角的最大值为_________.‎ A B C D E F ‎【答案】70° ‎ ．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）和是两个腰长均为 1 的等腰直角三角形,当二面角为时,点和之间的距离等于 __________.(请写出所有可能的值) ‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 ．（浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）等边三角形的边长为,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图2).‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出 的长,若不存在,请说明理由.‎ B C E D 图2‎ 图1‎ A B C D E ‎【答案】证明:(1)因为等边△的边长为3,且,所以,. ‎ 在△中,,由余弦定理得. ‎ 因为,所以.折叠后有. 因为二面角是直二面角,所以平面平面. 又平面平面,平面,,所以平面. ‎ ‎(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为.如图,作于点,连结、. ‎ B C E D H P ‎ ‎ 由(1)有平面,而平面,所以.又,所以平面. ‎ 所以是直线与平面所成的角. 设,则,.在△中,,所以. 在△中,,. ‎ 由,得.解得,满足,符合题意. ‎ 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时. ‎ 解法2:由(1)的证明,可知,平面. ‎ 以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 ‎ B C E D H x y z P ‎ ‎ 设,则,,. ‎ 所以,,. ‎ 所以.因为平面,所以平面的一个法向量为.因为直线与平面所成的角为,所以 , 解得. ‎ 即,满足,符合题意. 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时. ‎ ．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形, AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2 DE=2.‎ ‎(Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小;‎ ‎(Ⅱ) 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.‎ A E F D B C ‎(第20题图)‎ ‎【答案】本题主要考查空间点、线、面位置关系,异面直线所成角、二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分. ‎ ‎(Ⅰ) 延长AD,FE交于Q.因为ABCD是矩形,所以 ‎ BC∥AD, ‎ 所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角. ‎ 在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1得 ‎ ‎∠AQF=30° ‎ A E F D B C ‎(第20题图)‎ H G Q ‎ ‎ ‎(Ⅱ) 方法一: ‎ 设AB=x.取AF的中点G.由题意得 ‎ DG⊥AF. ‎ 因为平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,所以 ‎ AB⊥平面ADEF, ‎ 所以 ‎ AB⊥DG. ‎ 所以 ‎ DG⊥平面ABF. ‎ 过G作GH⊥BF,垂足为H,连结DH,则DH⊥BF, ‎ 所以∠DHG为二面角A-BF-D的平面角. ‎ 在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得 ‎ DG=. ‎ 在直角△BAF中,由=sin∠AFB=,得 ‎ ‎=, ‎ 所以 ‎ GH=. ‎ 在直角△DGH中,DG=,GH=,得 ‎ DH=. ‎ 因为cos∠DHG==,得 ‎ x=, ‎ 所以 ‎ AB=. ‎ 方法二:设AB=x. ‎ 以F为原点,AF,FQ所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系Fxyz.则 ‎ F(0,0,0),A(-2,0,0),E(,0,0),D(-1,,0),B(-2,0,x), ‎ 所以 ‎ ‎=(1,-,0),=(2,0,-x). ‎ 因为EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0). ‎ 设=(x1,y1,z1)为平面BFD的法向量,则 ‎ A E F D B C ‎(第20题图)‎ x z y ‎ ‎ 所以,可取=(,1,). ‎ 因为cos<,>==,得 ‎ x=, ‎ 所以 ‎ AB=. ‎ ．（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,‎ BM⊥AC交 AC 于点 M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.‎ ‎(I)证明:EM⊥BF;‎ ‎(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.‎ E A F C M B O ‎（第20题图）‎ ‎【答案】解:(1). ‎ 如图,以为坐标原点,垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系.由已知条件得, ‎ ‎. ‎ 由, ‎ 得, ‎ x y z A B C F M O · ‎(2)由(1)知. ‎ 设平面的法向量为, ‎ 由 得,] ‎ 令得,, ‎ 由已知平面,所以取面的法向量为, ‎ 设平面与平面所成的锐二面角为, ‎ 则,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ‎ ．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）如图,为圆的直径,点、在圆上,,矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直.已知,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面; ‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小;‎ ‎(Ⅲ)当的长为何值时,平面与平面所成的锐二面角的大小为?‎ ‎【答案】 ‎ ‎(I)证明:平面平面,, ‎ 平面平面=, ‎ 平面. ‎ 平面,, ‎ 又为圆的直径,, ‎ 平面 ‎ 平面,平面平面. ‎ ‎(II)根据(Ⅰ)的证明,有平面, ‎ 为在平面内的射影, ‎ 因此,为直线与平面所成的角 6分 ‎ ‎,四边形为等腰梯形, ‎ 过点作,交于. ‎ ‎,,则. ‎ 在中,根据射影定理,得 ‎ ‎,. ‎ 直线与平面所成角的大小为 ‎ ‎(Ⅲ)设中点为,以为坐标原点,、、方向分别为轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设,则点的坐标为则 ,又 ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为,则,. ‎ 即 令,解得 ‎ ‎ ‎ 由(I)可知平面,取平面的一个法向量为,依题意 与的夹角为 ‎ ‎,即, 解得 ‎ 因此,当的长为时,平面与平面所成的锐二面角的大小为. ‎ ．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）如图,一个正和一个平行四边形在同一个平面内,其中,的中点分别为. 现沿直线将翻折成,使二面角为,设中点为.‎ ‎(Ⅰ) (i)求证:平面平面;‎ ‎(ii)求异面直线与所成角的正切值;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ 第20题 ‎ ‎【答案】解法一:(Ⅰ) (i)证明:连. 因为为平行四边形,分别为中点, ‎ 所以为平行四边形,所以 ‎ 又分别为的中点,所以 ‎ 平面,平面,所以平面,平面,而平面,所以平面平面 ‎ 第20题 ‎ ‎ ‎(ii)因为,所以或其补角即为异面直线与所成的角 ‎ 因为为正三角形,,为中点,所以,从而平面,而,所以平面,因为平面,所以 ‎ 由条件易得,又为二面角的平面角,所以,所以, ‎ 所以 ‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)的(ii)知平面,即,所以即为二面角的平面角 ‎ ‎ ‎ 第20题 ‎ ‎ 解法二:(Ⅰ) (i)同解法一; ‎ ‎(ii) 因为为正三角形,,为中点,所以,从而为二面角的平面角且平面,而平面,所以平面平面. ‎ 作平面于,则在直线上,又由二面角的平面角为,故在线段的延长线上. 由得 ‎ 以为原点,为轴建立空间直角坐标系,如图,则由上述及已知条件得各点坐标为,,,,,所以, ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为, ‎ 从而其正切值为 ‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)的(ii)知,设平面的法向量为,则由,得 ‎ 令,得 ‎ 又平面的一个法向量为,而二面角为锐二面角,所以二面角的余弦为 ‎ ．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）如图:在直三棱柱中,,. ‎ ‎(Ⅰ)若异面直线与所成的角为,求棱柱的高;‎ ‎(Ⅱ)设是的中点,与平面所成的角为,当棱柱的高变化时,求的最大值.‎ ‎【答案】解法1:(Ⅰ)由三棱柱是直三棱柱可知,即为高, ‎ 如图1,因为,所以是异面直线与所成的角或其补角, ‎ 连接,因为,所以. ‎ 在Rt△中,由,,可得 ‎ 又异面直线与所成的角为,所以,即△为正三角形. ‎ 于是. ‎ 在Rt△中,由,得,即棱柱的高为 ‎ ‎(Ⅱ)设,如图1,过点在平面内作于F,则 ‎ 由平面,平面,得. ‎ 而,所以平面. ‎ 故就是与平面所成的角,即 ‎ 在△中,由,得, ‎ 在△中,由,,得, ‎ 在△中, ‎ ‎ ‎ 令, ‎ ‎(Ⅰ)因为异面直线与所成的角,所以, ‎ 即,得,解得 ‎ ‎(Ⅱ)由是的中点,得,于是. ‎ 设平面的法向量为,于是由,,可得[来源:Zxxk.Com] ‎ ‎ 即 可取, ‎ 于是. ‎ 而 ‎ 令, ‎ 因为,当且仅当,即时,等号成立. ‎ 所以, ‎ 故当时,的最大值 ‎ ．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题 ）如图,在四棱锥中,底面,, ,, ,是的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)证明:平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的正切值.‎ ‎【答案】解法一: ‎ ‎(Ⅰ)证明:在四棱锥中,因底面,平面, ‎ 故. ‎ ‎,平面.[来源:Zxxk.Com] ‎ 而平面, ‎ ‎(Ⅱ)证明:由,,可得. ‎ 是的中点,. ‎ 由(Ⅰ)知,,且,所以平面. ‎ 而平面,. ‎ 底面在底面内的射影是,,. ‎ 又,综上得平面 ‎ ‎(Ⅲ)过点作,垂足为,连结.则(Ⅱ)知,平面,在平面内的射影是,则. ‎ 因此是二面角的平面角. ‎ 由已知,得.设, ‎ 可得 ‎ ‎. ‎ 在中,,, ‎ 则.[来源:Zxxk.Com] ‎ 在中,. ‎ 所以二面角的正切值为 ‎ 解法二: ‎ ‎(Ⅰ)证明:以AB、AD、AP为x、y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)证明: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)设平面PDC的法向量为 ‎ 则 ‎ 又平面APD的法向量是 ‎ ‎,所以二面角的正切值是 ‎ ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）如图,中,两点分别在线段.现将沿折成直二面角.‎ ‎(1)求证:当时,;(2)当时,二面角的大小能否等于?若能,求出的值;若不能,请说明理由.‎ A B C D E ‎ ‎A B C D E ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图,在三棱锥中, ‎ ‎(I)求证:平面⊥平面 ‎(II)若动点在底面三角形上,二面角的余弦值为,求的最小值. ‎ ‎【答案】 解:(1)取AC中点O,因为AP=BP,所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形,∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB ‎ ‎∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中,∴平面⊥平面 ( )[来源:学科网ZXXK] ‎ ‎(2) 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为 ‎ x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系. ‎ 由题意平面PAC的法向量, ‎ 设平面PAM的法向量为 ‎ ‎ ‎ 由 ‎ ‎, ‎ 取 ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴BM的最小值为垂直距离. ( ) ‎ ‎ ‎ ‎[来源:学&科&网Z&X&X&K] ‎ ．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）如图,在梯形中,,平面 平面,四边形是矩形,,点在线段上.‎ ‎(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】 证明:(1)在梯形ABCD中,∵, ‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形, ‎ 且 ‎ ‎∴,∴ ‎ 又∵平面平面ABCD,交线为AC,∴平面ACFE. ‎ ‎(2)方法一;(几何法)取EF中点G,EB中点H,连结DG、GH、DH, ‎ ‎∵容易证得DE=DF,∴ ‎ ‎∵平面ACFE,∴ 又∵,∴ ‎ 又∵,∴ ‎ ‎∴是二面角B—EF—D的平面角. ‎ 在△BDE中 ‎ ‎∴∴, ‎ ‎∴又∴在△DGH中, ‎ 由余弦定理得即二面角B—EF—D的平面角余弦值为 ‎ 方法二;(向量法)以C为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系: ‎ ‎ ‎ ‎,,,, ‎ 所以,, ‎ 分别设平面BEF与平面DEF的法向量为 ‎ ‎, ‎ 所以,令,则 ‎ 又,显然,令 ‎ 所以,,设二面角的平面角为为锐角 ‎ 所以 ‎ ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点, 是线段上一点,且.‎ ‎(1)求证://侧面;‎ ‎(2)求平面与底面所成锐二面角的正切值;‎ ‎(3)在直线上是否存在点T,使得?若存在,指出点T的位置;若不存在,说明理由.‎ 第20题图 ‎【答案】【解析】解法1:(1)延长B1E交BC于点F,∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B‎1C1=BC, ‎ 从而点F为BC的中点. ‎ ‎∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且, ‎ 又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. ‎ ‎(2)在侧面AA1B1B内,过B1作B1H⊥AB,垂足为H,∵侧面AA1B1B⊥底面ABC, ‎ ‎∴B1H⊥底面ABC.又侧棱AA1与底面ABC成60°的角,AA1=2,∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H= ‎ 在底面ABC内,过H作HT⊥AF,垂足为T,连B1T,由三垂线定理有B1T⊥AF, ‎ 又平面B1CE与底面ABC的交线为AF,∴∠B1TH为所求二面角的平面角. ‎ ‎∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH.在Rt△B1HT中,, ‎ 从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为. ‎ ‎(3)(2)问中的T点即为所求,T在AG的延长线上,距离A点处. ‎ 解法2:(1)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°, ‎ 又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC. ‎ 以O为原点建立空间直角坐标系O—如图, ‎ ‎ ‎ 则,,,,,. ‎ ‎∵G为△ABC的重心,∴.,∴, ‎ ‎∴. 又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. ‎ ‎(2)设平面B1GE的法向量为,则由得 ‎ 可取 又底面ABC的一个法向量为 ‎ 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则. ‎ 由于为锐角,所以,进而. ‎ 故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为. ‎ ‎(3),设, ‎ ‎, ‎ 由,,解得 ‎ 所以存在T在AG延长线上,. ‎ ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）如图:在多面体EF-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,△EAD为正三角形,且平面EAD平面ABCD,EF∥AB, AB=2EF=2AD=4,.‎ ‎(Ⅰ)求多面体EF-ABCD的体积;‎ ‎(Ⅱ)求直线BD与平面BCF所成角的大小.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）如图,在长方形中,,,为的中点,现将沿折起,使平面⊥平面, 连,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ E A D C B A B C E D ‎（第20题）‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 所以所求二面角的余弦值为 ‎ 解法二(坐标法) ‎ A B C E D O y F ‎ ‎ 如图,取的中点,则面.作,则. ‎ 以O为原点,OA、OF、OD为轴建立空间坐标系 ‎ 则,,,. ‎ 所以,,. ‎ 设面的法向量为,则 ‎ ‎ ,取 ‎ 设面的法向量为,则,取 ‎ ‎,所以所求二面角的余弦值为 ‎ ．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）如图,直角梯形ABCD中,AB//CD, = 90° , BC = CD = ,AD = BD:EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.‎ ‎(I )求证:AD丄BF :‎ ‎(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角 B-MF-C的余弦值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)证明:∵,且, ‎ ‎∴且; ‎ 又由,可知 ‎ ‎∵,∴是等腰三角形,且, ‎ ‎∴,即; ‎ ‎∵底面ABCD于D,平面ABCD,∴, ‎ ‎∴平面DBF.又∵平面DBF,∴可得 ‎ ‎(Ⅱ)解:如图,以点C为原点,直线CD、CB、CE方向为x、y、z轴建系. ‎ B ‎20题解答 ‎ ‎ 可得, ‎ 又∵ N恰好为BF的中点,∴ ‎ 设,∴. ‎ 又∵,∴可得. ‎ 故M为线段CE的中点 ‎ 设平面BMF的一个法向量为, ‎ 且, ‎ ‎,由可得, ‎ 取得 ‎ 又∵平面MFC的一个法向量为, ‎ ‎∴. ‎ 故所求二面角B-MF-C的余弦值为 ‎ ．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word版） ）如图,在矩形中, 为边上一点,以直线为折线将点折起至点并保持为锐角,连接取中点,若有平面 ‎(I)求线段的长;‎ ‎(II)当时 ‎(i)求证:平面平面;‎ ‎(ii)求平面与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】解:(I)取的中点,连接, ‎ ‎,四点共面 ‎ 平面 ‎ 为平行四边形 ‎ ‎ ‎ ‎(II)(i)证明:异面直线所成的角为, ‎ ‎,取CE中点O, ‎ 且, 同理 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎(ii)将该几何体补形成如图所示的长方体,以点B为坐标原点建立空间直角坐标系, ‎ ‎ ‎ 取平面PCE的一个法向量 ‎ 设平面PAD法向量为, ‎ ‎, ‎ 由得,取,得 ‎ ‎ ‎ 平面PEC与平面MAB1所成角的余弦值为 ‎ ．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）如图,是棱长为1的正方体,四棱锥中,平面,. ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎【答案】取的中点,连结,. ‎ ‎（第20题）‎ ‎ ‎ ‎,,平面, ‎ ‎∴,∴, ‎ ‎∴, , ‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴, ‎ 又平面,平面, ‎ ‎∴平面 ‎ 在正方体中,, ‎ ‎∴平面, ‎ ‎,∴平面平面 ‎ ‎(II)方法1 ‎ 以直线为的如图所示空间直角坐标系,令,则,∴ ‎ ‎∵ (0,1,0)是平面的一个法向量 ‎ 设直线与平面所成角为 ‎ ‎, ‎ ‎∴直线与平面所成角的正切值为 ‎ 方法2: ‎ ‎∵,∴直线与平面所成角等于直线与平面所成角. ‎ 正方体中,显然平面, ‎ ‎∴就是直线与平面所成角 ‎ 在中,,, ‎ ‎∴直线与平面所成角的正切值为. ‎ ．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,已知长方形中,,为的中点. 将沿折起,使得平面平面.‎ ‎(1)求证: ‎ ‎(2)点是线段上的一动点,当二面角大小为时,试确定点的位置.‎ A ‎ ‎ ‎【答案】取AM的中点O,AB的中点B,则两两垂直,以O为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得 ‎ ‎,,, k*s*5 ‎ ‎(1)由于,则,故. ‎ ‎(2)设存在满足条件的点E,并设, ‎ 则 ‎ 则点E的坐标为.(其中)易得平面ADM的法向量可以取,设平面AME的法向量为,则, ‎ ‎ ‎ 则 ‎ 则,取 *由于二面角大小为,则 ,由于,故解得.故当E位于线段DB间,且时,二面角大小为 ‎ ．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）如图,已知ABCD是边长为1的正方形,AF⊥平面ABCD,CE∥AF,.‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥EF;‎ ‎(Ⅱ)若AF=1,且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为,求的值.‎ ‎（第20题图）‎ F E D C B A ‎【答案】本题满分14分. ‎ ‎(Ⅰ)方法1:连结BD、AC,交点为O.∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ‎ ‎∵AF⊥平面ABCD ∴AF⊥BD ‎ ‎∴BD⊥平面ACEF ‎ ‎∴BD⊥EF ‎ 方法2:如图建立空间直角坐标系A-xyz, ‎ y D z x F O ‎（第20题图）‎ E C B A ‎ ‎ ‎∵, ∴ ‎ 设,那么, ‎ 则 ‎ ‎∴ ∴BD⊥EF ‎ ‎(Ⅱ)方法1:连结OE,由(Ⅰ)方法1知,BD⊥平面ACEF, ‎ 所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角 ‎ ‎∵AF⊥平面ABCD,CE∥AF ,∴CE⊥平面ABCD,CE⊥BC, ‎ ‎∵BC =1,AF=1,则CE=,BE=,BO=, ‎ ‎∴Rt△BEO中, , ‎ 因为,解得 ‎ 方法2:∵,由(Ⅰ)法1知,BD⊥平面ACEF, ‎ 故是平面ACE的法向量 ‎ 记直线BE与面ACE所成角为, ‎ 则, ;因为,解得 ‎ ．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）如图,底角为的等腰梯形垂直于矩形,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)当长为2时,求二面角的余弦值的大小.‎ ‎【答案】(1)证明:∵平面平面,且 ‎ ‎∴平面 ‎ ‎∵平面 ‎ ‎∴① ‎ 在梯形中,② ‎ 又∵③ ‎ 由①②③得平面 ‎ ‎∴平面平面 ‎ ‎(2)解:分别取的中点,两两连接, ‎ 易证就是所求二面角的一个平面角 ‎ 计算得,又∵ ‎ ‎∴ ‎ ．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:CD ⊥AE;‎ ‎(Ⅱ)证明:PD⊥平面ABE;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A-PD-C的正切值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word版） ）已知四棱锥, 底面,与交于点,又 ‎(Ⅰ) 求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）如图,斜三棱柱,已知侧面与底面ABC垂直且∠BCA=90°,∠,=2,若二面角为30°, ‎ ‎(Ⅰ)证明及求与平面所成角的正切值; ‎ ‎(Ⅱ)在平面内找一点P,使三棱锥为正三棱锥,并求P到平面距离 A B C ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ A C B ‎【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分14分. ‎ 解:(Ⅰ)面面,因为面面=,, ‎ 所以面 ‎ 取中点,连接,在中, ‎ 是正三角形,,又面且面, ‎ ‎,即即为二面角的平面角为30°, ‎ 面,,在 中,, ‎ 又面,即与面所成的线面角, ‎ 在中, ‎ ‎(Ⅱ)在上取点,使,则因为是的中线, ‎ 是的重心,在中,过作//交于, ‎ 面,// ‎ 面,即点在平面上的射影是的中心,该点即为所求, ‎ 且, ‎ ．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）如图,四棱锥的底面为矩形,且,‎ ‎,,‎ ‎(Ⅰ)平面与平面是否垂直?并说明理由; ‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎【答案】(I)平面平面; ‎ 证明:由题意得且 ‎ 又,则 ‎ 则平面, ‎ 故平面平面 ‎ ‎(Ⅱ)解法1:以点A为坐标原点,AB所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如右图示 ‎ ‎ ‎ 则,, 可得, ‎ 平面ABCD的单位法向量为, ‎ 设直线PC与平面ABCD所成角为,则 ‎ 则,即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ‎ 解法2:由(I)知平面,∵面 ‎ ‎∴平面ABCD⊥平面PAB, ‎ 在平面PAB内,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则PE⊥平面ABCD,连结EC, ‎ 则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角, ‎ 在Rt△PEA中,∵∠PAE=60°,PA=1,∴, ‎ 又 ‎ ‎∴ ‎ 在Rt△PEC中 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且.‎ ‎(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小.‎ A B C D P Q M ‎（第20题图）‎ ‎【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面; ‎ ‎ ‎ 方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面; ‎ ‎(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以 ‎ ‎, ‎ 在中,,所以在中, ,所以在中 ‎ ‎ ‎ ‎; ‎ ．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）如图,已知四棱锥中,平面,底面是直角梯形,,是线段上一点,平面. ‎ ‎(Ⅰ)求证:平面 ‎(Ⅱ)若,,,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）(本小题满分14分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,AB上的中点,‎ 将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,作A‎1F⊥CD,垂足为F,如图2. ‎ ‎(1)求证:DE∥平面A1CB;‎ ‎(2)求证:A‎1F⊥BE;‎ ‎(3)若∠A=45°,AC=2,在线段CD上是否存在点F,使得二面角A1-BE-F为45°.若存在,则指出点F的位置,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）如图,在三棱锥中,直线平面,且 ‎,又点,,分别是线段,,的中点,且点是线段上的动点.‎ ‎(Ⅰ)证明:直线平面;‎ ‎(Ⅱ)若=8,且二面角的平面角的余弦值为,试求的长度.‎ ‎【答案】(Ⅰ)连结QM,因为点,,分别是线段,,的中点 ‎ 所以QM∥PA 且MN∥AC,从而QM∥平面PAC 且MN∥平面PAC ‎ 又因为MN∩QM=M,所以平面QMN∥平面PAC 而QK平面QMN ‎ 所以QK∥平面PAC ‎ ‎(Ⅱ)方法1:过M作MH⊥AK于H,连QH,则∠QHM即为二面角的平面 ‎ 角,设,且则,又,且 ‎ ‎,所以, ‎ 解得,所以的长度为 ‎ 方法2:以B为原点,以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系, ‎ 则A(0,8,0),M(0,4,0),N(4,0,0),P(0,8,8),Q(0,4,4) , ‎ 设K(a,b,0),则a+b=4, =(0,-4,4), ‎ 记,则 ‎ ‎ 取则, ‎ 则, ‎ 又平面AKM的一个法向量,设二面角的平面角为 ‎ 则|cos|=,解得, ‎ 所以所以的长度为 ‎ ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图,边长为4的正方形ABCD所在平面与正ΔPAD所在平面互相垂直,M、Q分别为PC、AD的中点.‎ ‎(1)求证:PA∥平面MBD;‎ ‎(2)求二面角P-BD-A的余弦值; ‎ ‎(3)试问:在线段AB上是否存在一点N,使得平面PCN⊥平面PQB,若存在,试指出点N的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.‎ ‎（第20题图）‎ ‎【答案】(1)证明:连接AC交BD于点O,连接MO由正方形ABCD知O为AC的中点, ‎ M为PC的中点,MO∥PA, MO平面MBD,PA平面MBD, ‎ PA∥平面MBD;·····················5分 ‎ ‎(2)取OD中点G,连接QG、PG,则QG∥AC, ‎ 又由四边形ABCD是正方形得AC⊥BD, ‎ QG⊥BD,又平面ABCD⊥平面PAD, ‎ ΔPAD为正三角形,Q为AD中点, ‎ PQ⊥平面ABCD,而BD平面ABCD, ‎ PQ⊥BD,BD⊥平面PQG, BD⊥PG ‎ ‎∠PGQ即为二面角P-BD-A的平面角,···8分 ‎ 由题意可得,QG=,PQ=,PG=,cos∠PGQ=;···············10分 ‎ ‎(3)存在点N,当N为AB中点时,平面PQB⊥PNC,···························12分 ‎ 四边形ABCD是正方形,Q为AD的中点,BQ⊥NC, 由(2)知, ‎ PQ⊥平面ABCD,NC平面ABCD,PQ⊥NC, 又BQPQ=Q,NC⊥平面PQB, ‎ NC平面PNC, 平面PNC⊥平面PQB·······························14分 ‎ ‎(向量法略) ‎ ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）在四棱锥中,//,,‎ ‎,平面,. ‎ ‎(Ⅰ)设平面平面,求证://;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)设点为线段上一点,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.‎ ‎【答案】(1), ‎ ‎ ‎ 又面, ‎ ‎(2)以点为坐标原点,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系. ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎,即,又 ‎ ‎ ‎ ‎(3)由(2)得,是面的一个法向量, ‎ 设,则, ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）如图,在△中,,,点在上,交于,交于.沿将△翻折成△,使平面平面;沿将△翻折成△,使平面平面.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面.‎ ‎(Ⅱ)设,当为何值时,二面角的大小为?‎ ‎（第20题）‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)因为,平面,所以平面 ‎ 因为平面平面,且,所以平面. ‎ 同理,平面,所以,从而平面 ‎ 所以平面平面,从而平面 ‎ ‎(Ⅱ)以C为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过C且垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图 ‎ ‎（第20题）‎ ‎ ‎ 则,, ‎ ‎,. ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎. ‎ 平面的一个法向量, ‎ 平面的一个法向量 ‎ 由, ‎ 化简得,解得 ‎ ．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word版） ）如图,在梯形中,,,.点在平面上的射影为点,且,二面角为.‎ ‎(Ⅰ)求直线与平面所成角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)方法1:∵,∴点在平面上的射影在线段的中垂线上,设 ‎ 的中点为,连接,∴,∴为二面角的 ‎ 平面角,∴ ‎ 在等腰△中,∵,∴,又, ‎ ‎∴. ‎ 在△中,得 ‎ 以为原点,分别以平行于,的直线为轴、轴建立空间直角坐标系,则 ‎ ‎,,所以, ‎ ‎ ∵轴,故可取一个的平行向量. ‎ ‎ 设平面的法向量是, ‎ 则 即 ‎ E ‎ 取 ‎ ‎∴直线与平面所成角满足 ‎ ‎, ‎ 所以直线与平面所成角为 ‎ ‎ 方法2:过点作,垂足为,连接. ‎ 过作,垂足为,连接. ‎ 平面,∴. ‎ ‎,∴平面. ‎ 又平面, ‎ ‎∴,又,∴平面. ‎ ‎∴就是与平面所成角 ‎ ‎∵,∴点在平面上的射影在线 ‎ 段的中垂线上,设的中点为,连接, ‎ ‎∴,∴为二面角的平面角,∴. ‎ 在等腰△中,∵,∴,又, ‎ ‎∴.在△中,得,∴. ‎ 又,,在△中,可得 ‎ ‎∴,∴ ‎ 所以直线与平面所成角为 ‎ ‎(Ⅱ)设,则,连接. ‎ 在△中,,又由(Ⅰ)得,, ‎ ‎∴,∴ ‎ 在△中,, ‎ 又,∴, ‎ 得,即 ‎ ‎∴三棱锥的体积 ‎ ．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）如图,在四边形中,,,点为线段上的一点.现将沿线段翻折到(点与点重合),使得平面平面,连接,.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,且点为线段的中点,求二面角的大小.‎ ‎ ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)连接,交于点,在四边形中, ‎ ‎∵, ‎ ‎∴,∴, ‎ ‎∴ ‎ 又∵平面平面,且平面平面= ‎ ‎∴平面 ‎ ‎(Ⅱ)如图,以为原点,直线,分别为轴,轴,平面内过且垂直于直线的直线为轴建立空间直角坐标系,可设点 ‎ ‎ ‎ 又,,,,且由,有 ‎ ‎,解得,∴ ‎ 则有,设平面的法向量为, ‎ 由,即,故可取 ‎ 又易取得平面的法向量为,并设二面角的大小为, ‎ ‎∴,∴ ‎ ‎∴二面角的大小为 ‎ ．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）[来源:学、科、网]‎ 已知四棱锥,底面,,与交于点,又,‎ ‎.‎ ‎(1)求证: 平面;[来源:学科网]‎ ‎(2)求二面角的余弦值.[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎【答案】.证明:以AB为x轴, AD为y轴,AP为z轴,A为坐标原点, 建立空间直角坐标系. ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 底面 ‎ 平面; ‎ ‎(2)设的法向量为 ‎ 的法向量为 ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题可知二面角为锐角,故余弦值为 ‎ 注:也可以 ‎ ．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知矩形ABCD中,AB= 2, AD = 5. E,F分别在AD,BC上. 且AE=1, BF = 3,沿EF将四边形AEFB折成四边形,使点在平面CDEF 上的射影H在直线DE上.‎ ‎(I)求证://平面 ‎(II)求二面角-DE-F的大小 ‎.‎ ‎【答案】(I)∵∥∥ ‎ ‎∴∥平面,∥平面 ‎ ‎∴平面∥平面 ‎ ‎∴∥平面 ‎ ‎(II)方法一: ‎ 由(I)可知平面∥平面 ‎ ‎∴二面角与二面角互补 ‎ 过作于,连结 ‎ ‎∵平面 ∴ ∴平面 ∴ ‎ ‎ ‎ ‎∵,, ‎ ‎∴ ∵ ∴ ‎ 又∵, ∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ 过作交延长线于点,连结 ‎ ‎∵平面 ∴ ‎ ‎∴平面 ∴ ‎ ‎∴为二面角的平面角 ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∴二面角的大小为 ‎ 方法二: ‎ 如图,过作∥,过作平面 ‎ 分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系 ‎ ‎ ‎ ‎∵在平面上的射影在直线上,设() ‎ ‎∵,, ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 设平面的法向量为 又有 ‎ ‎∴ ‎ 又∵平面的法向量为 ‎ 设二面角的大小为,显然为钝角 ‎ ‎∴ ∴ ‎