皖江名校第四次大联考理科数学
【D-020】数学(理科)试卷
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姓名 座位号
(在此卷上答题无效)
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 2 至第 4页。 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。考生注意事项:
1. 答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时,必须使用 0. 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上
∙∙∙∙
书写,要求字体工整、笔迹清晰。 作
图题可用铅笔在答题卡
∙∙∙
规定位置绘出,确认后再用 0. 5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。 必须在
题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙,在试题卷
∙∙∙∙、草稿纸上答题无效
∙∙∙∙∙∙∙∙。
4. 考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
已知公式:台体体积公式 V= 1
3 (S
1 +S
2 + S
1
S
2 ) h 其中 S
1 ,S
2 ,h 分别表示台体的上底面积,下底面
积,高。
第
Ⅰ
卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共
12
小题,每小题
5
分,共
60
分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1. 复数 z 满足 1-2i
( ) z= 4+3i(i 为虚数单位),则复数 z 的模等于
A. 5
5 B. 5 C. 2 5 D. 4 5
2. 已知全集为 R,集合 A={-2,-1,0,1,2},B = x x-1x+2<0{ } ,则 A∩(∁U B)的元素个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知函数 f(x)在区间(a,b)上可导,则“函数 f(x)在区间(a,b)上有最小值”是“存在 x
0 ∈(a,b),满足
f
′(x
0 )= 0”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 2011 年国际数学协会正式宣布,将每年的 3 月 14 日设为国际数学节,来源于中国古代数学家祖冲之
的圆周率。 公元 263 年,中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,计算到圆内接 3072 边形的面积,得
到的圆周率是3927
1250。 公元 480 年左右,南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后 7 位
的结果,给出不足近似值 3. 1415926 和过剩近似值 3. 1415927,还得到两个近似分数值,密率355
113
和约
率22
7 。 大约在公元 530 年,印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为 9. 8684 (≈3. 14140096)。 在这 4
个圆周率的近似值中,最接近真实值的是
A. 3927
1250 B. 355
113 C. 22
7 D. 9. 8684
【D-020】数学(理科)试卷
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5. 已知函数 y =f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)= 1,则 f(-1)=
A. -3 B. -1 C. 0 D. 2
!"
#$
i= ，12 =1sum
sum sum= · i
i i= -1
&'sum(
)
第
7
题图
6. 已知数列 an{ } 的通项为 an =
n+1n-k,对任意 n∈N∗
,都有 an ≥a
5 ,则正数 k 的取
值范围是
A. k≤5 B. k>5 C. 4
0)上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、y 轴分别交于 A,B
两点,点 O 是坐标原点,① | PA | = | PB | ;②△OAB 的面积为定值;③曲线 C 上存在两点 M,N 使得
△OMN 是等边三角形;④曲线 C 上存在两点 M,N 使得△OMN 是等腰直角三角形,其中真命题的个
数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 若平面向量 a,b,c 满足| a | = 3,| b | = 2,| c | = 1,且(a+b)·c =a·b+1,则| a-b | 的最大值为
A. 3 2 -1 B. 3 2 +1 C. 2 3 -1 D. 2 3 +1
第
Ⅱ
卷
注意事项:第Ⅱ卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答. 若在试题卷上作答,答案无效.
二、填空题:本大题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分,请把正确的答案填在横线上.
13. 若 α,β 为锐角,且满足 cosα= 4
5 ,cos(α+β)= 3
5 ,则 sinβ 的值是 .
14. 黎曼函数(Riemannfunction)是一个特殊函数,由德国数学家黎曼发现并提出,黎曼函数定义在[0,1]
上,其定义为:R(x)=
1p ,当 x =
q
p (p,q 都是正整数,
q
p 是不可以再约分的真分数)
0,当 x = 0,1 或者[0,1]上的无理数
ì
î
í
ïï
ïï ,若函数 f(x)是定
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义在 R 上的奇函数,且 f ( x) + f (2 - x) = 0,当 x ∈ [ 0,1] 时, f ( x) = R ( x), 则 f ( 10
3 ) + f ( 3
10) =
.
A B
CD
A1 B1
C1
D1
K
第
15
题图
15. 如图,正方体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的一个截面经过顶点 A,C 及棱 A
1
B
1
上一点 K,其
将正方体分成体积比为 2 ∶ 1 的两部分,则
A
1
K
KB
1
的值为 .
16. 等腰△ABC 中 AB = AC,三角形面积 S 等于 2,则腰 AC 上中线 BD 的最小值等于
.
三. 解答题:本大题共
6
小题,共
70
分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解答应写在答题卡上的指定区域内.
17. (本小题满分
10
分)
已知正数数列 an{ } 满足 a
1 = 1,Sn =n2 an .
(Ⅰ)求 an{ } 的通项公式和 Sn ;
(Ⅱ)令 bn =
Sn
n!(其中 n! = 1×2×3×…×n),数列 bn{ } 的前 n 项和为 Tn ,证明:1≤Tn <2.
A
B C
D
A1
B1
C1
D1
第
18
题图
18. (本小题满分
12
分)
如图,在多面体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,侧棱 AA
1 ,BB
1 ,CC
1 ,DD
1
都和平面 ABCD
垂直,AD∥BC,AB =BC =CD=BB
1 =DD
1 = 2,AA
1 =AD= 4,CC
1 = 1.
(Ⅰ)证明:平面 B
1
C
1
D
1 ⊥平面 ABB
1
A
1 ;
(Ⅱ)求直线 B
1
C 和平面 B
1
C
1
D
1
所成角的正弦值.
19. (本小题满分
12
分)
△ABC 内角 A,B,C 的对边为 a,b,c,设 A= 2B,CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D.
(Ⅰ)证明:a2
-b2
=bc;
(Ⅱ)若 a = 6,b = 4,求 CD 的长.
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20. (本小题满分
12
分)
已知函数 f(x)= lnx,g(x)= kx.
(Ⅰ)当 x>1 时,比较 f(x)与2(x-1)x+1
的大小;
(Ⅱ)若 f(x)与 g(x)的图象有两个不同的交点 A(x
1 ,y
1 ),B(x
2 ,y
2 ),证明:x
1
x
2 >e
2 .
A
B C
D
P
M
第
21
题图
21. (本小题满分
12
分)
如图在四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,PA = AB = BC
= 3,AD= 2,点 M 在棱 PB 上,且 BM= 2 .
(Ⅰ)证明:AM∥平面 PCD;
(Ⅱ)求平面 AMC 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值.
22. (本小题满分
12
分)
已知函数 f(x)= e
x
-x-1,g(x)= xln(x+1).
(Ⅰ)当 x≥0 时,证明 f(x)≥ 1
2
g(x)恒成立;
(Ⅱ)当 x≥0 时,若 f(x)≥k·g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围.