数学理卷·2018届山东省德州市高三上学期期末统考（2018

数学理卷·2018届山东省德州市高三上学期期末统考（2018

数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.把正确答案涂在答题卡上．‎ ‎1.在复平内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.设集合，，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知直线：，：，若：；，则是的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.设，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B．-2 C. D．‎ ‎5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的行值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6．如图所示的阴影部分是由轴及曲线围成，在矩形区域内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数（其中为自然对数的底数），则的大致图象为（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎9．一个几何本的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11．设偶函数定义在上，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知函数的定义域为，若对于，，，，，分别为某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”，下列四个函数为“三角形函数”的是（ ）‎ A．； B．；‎ C．； D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．已知向量，，若向量与垂直，则 ．‎ ‎14．已知呈线性相关的变量，之间的关系如下表所示：‎ 由表中数据，得到线性回归方程多，由此估计当为时，的值为 ．‎ ‎15.展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为 ．‎ ‎16．已知函数的图象关于点，对称，记在区间的最大值为，且在上单调递增，则实数的最小值是__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知数列的前项相为，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎18．已知四棱锥中，平面，底面为菱形，，是中点，是的中点，是上的点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当是中点，且时，求二面角的余弦值．‎ 19. 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市名男生的身高服从正态分布．现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分组：，，…，，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；‎ ‎（Ⅱ）求这名男生身高在以上（含）的人数；‎ ‎（Ⅲ）在这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，该人中身高排名（从高到低）在全市前名的人数记力，求的数学期望．‎ 参考数据：若，则，‎ ‎，．‎ ‎20．已知椭圆：的左、右有顶点分别是、，上顶点是，圆：的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为，．试判断是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．‎ ‎21．已知．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若有2个不同零点，求以的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）对，求证：．‎ 请考生在第22～23题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两神坐标系中的长度单位相同．已知曲线的极坐标方程为，．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数）的距离最短，写出点的直角坐标．‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若的解集为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：‎ ‎1-5：AACAB 6-10：ABDDC 11、12：CB 二、 填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）当时，∵ ①‎ ‎∴ ②‎ ‎①-②得：‎ ‎∴；即，‎ 又；得：，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎∴，即，‎ ‎（Ⅱ）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎18．证明：（Ⅰ）连接，‎ ‎∵底面为菱形，，‎ ‎∴是正三角形，‎ ‎∵是中点，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ 又，∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面．‎ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，两两垂直，‎ 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 不妨设，则 则，，，，，‎ ‎，‎ ‎∴，，，‎ 设是平面的个法向量，‎ 则，取，得，‎ 同理可求，平面的个法向量，‎ 则．‎ 观察可知，二面角的平面角为锐角 ‎∴二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为 ‎，‎ 高于全市的平均值（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为，比较接近全市的平均值）．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为，人数为，即这名男生身高在以上（含）的人数为人．‎ ‎（Ⅲ）∵，‎ ‎∴，．‎ 所以，全市前名的身高在以上，这人中以上的有人．‎ 随机变量可取，，，‎ 于是 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎20．解：（Ⅰ）方程为：即为：‎ 由题意得 整理得：‎ ‎，（舍） ∴‎ 椭圆：‎ ‎（Ⅱ）设直线：，令得 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴方程为：‎ 令得 ∴‎ 设，则且 ‎∴‎ ‎∴ 即：‎ 所以是定值为 ‎21．解：（Ⅰ）当时 ‎ ‎，，为减函数 ‎，，为增函数 ‎∴，无极大值 ‎（Ⅱ）‎ 当时，，只有个零点 当时，‎ ‎，，为减函数 ‎，，为增函数 而 ‎∴当，，使 当时，∴ ∴‎ ‎∴‎ 取，∴‎ ‎∴函数有个零点 当时，‎ 令得，‎ ‎①，即时 当变化时 ，变化情况是 ‎∴‎ ‎∴函数至多有一个零点，不符合题意 ‎②时，，在单调递增 ‎∴至多有一个零点，不合题意 ‎③当时，即以时 当变化时，的变化情况是 ‎∴，时 ‎∴函数至多有个零点 综上：以的取值范围是 ‎（Ⅲ）令 ‎ ‎ 令行禁止 ‎ ‎ ∴为增函数 取，，‎ ‎∴存在唯一使，即 ‎，，即，∴为减函数 ‎，，即，∴为增函数 ‎∴‎ ‎∴对有 即 ‎22．解：（Ⅰ）由，，可得 ‎∴曲线的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），消去得的普通方程为，与相离，设点，且点到直线：的距离最短，则曲线在点处的切线与直线：平行，‎ ‎∴，又 ‎∴（舍）或，∴‎ ‎∴点的坐标为 ‎23．解：（Ⅰ），即，两边平方并整理得 ‎，‎ 所以，是关于的方程的两根．‎ 由根与系数的关系得 解得．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以若不等式恒成立，‎ 只需，‎ 当以时，，解得；‎ 当时，，此时满足条件的不存在．‎ 综上可得实数以的取值范围是．‎