2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期联考（6月）数学（理)试题（Word版）

2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期联考（6月）数学（理)试题（Word版）

‎2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期联考（6月）‎ 数学试题（理科）‎ 命题学校：北镇高中 命题人：丁红 校对人：张丽娟 考试时间120分钟 试卷满分150分 ‎ 说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为主观题，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）‎ 1、 设集合，，则( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数在复平面内对应点是，若虚数单位，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3．若两个单位向量，的夹角为，则 A． B． C． D．‎ ‎4.已知为等差数列, ,则 A.42 B.40 C.38 D.36‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D.‎ ‎6.将函数的图象向左平移个单位后，便得到函数的图象，则正数的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为，（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）”，据此计算：已知一个圆中弓形弦为8，为2，质点 随机投入此圆中，则质点落在弓形内的概率为 A. ‎ B. C. D.‎ ‎8.已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是 A．求数列的前10项和 B．求数列的前10项和 C．求数列的前11项和 D．求数列的前11项和 ‎9.上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有 A．种 B．54种 C．种 D．54种 ‎10.已知边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD折痕,将折成直二面角,则过四点的球的表面积为 A. B. C. D.‎ ‎11.已知数列是公差不为0的等差数列, 且成等比数列,设,则数列的前项和为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为 A． B．＋1 C． D．＋1‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。‎ ‎13.设实数满足约束条件,则目标函数的最大值为 . ‎ ‎14.若,则在的展开式中,项的系数为 .‎ ‎15.设直线相交于A，B两点，且弦长为，则a的值是__________．‎ ‎16.已知函数,,且函数有两个零点，则实数的取值范围为 . ‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知设函数 ‎（1）求函数的最小正周期和最小值；‎ ‎（2）设的内角的对边分别为，且，求面积的最大值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份).现从回收的年龄在20∼60岁的问卷中随机抽取了n份，统计结果如图表所示。‎ ‎ (1)分别求出的值；若从全市回收的年龄在20—60岁的问卷中随机抽取5人，将频率视为概率，设其中答对全卷的人数为，求的期望。‎ ‎(2)从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记为第3组被授予“环保之星”的人数，求的分布列与数学期望。‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图,矩形和梯形所在平面互相垂直，，,‎ A B E F C D ‎. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面;‎ ‎（Ⅱ）当的长为何值时,二面角的大小为60°．‎ ‎[]‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率，且与直线相切. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过椭圆上点作椭圆的弦，若的中点分 别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由. ‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，≤恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时,求证:不等式.‎ 请考生在第22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，直线的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为，其中 ‎（1）求曲线C的极坐标方程及的值；‎ ‎（2）射线OA与直线相交于点B，求的值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．‎ 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）的最小值为，若均为正实数，且满足，求证：.‎ ‎2017—2018学年度下学期省六校协作体高二联合考试 数学试题（理科）参考答案：‎ 一.选择题：BCDBA ADBDC CD 二.填空题 ：13.2 14.－12 15.0 16. ‎ 三.17．‎ ‎ ……………………4分 ‎ ……………………8分 ‎……11分 所以面积的最大值为…………………12分 ‎18. 解:(1)根据频率直方分布图,得(0.010+0.025+c+0.035)×10=1，‎ 解得c=0.03.‎ 第3组人数为5÷0.5=10,所以n=10÷0.1=100. ‎ 第1组人数为100×0.35=35,所以b=28÷35=0.8. ‎ 第4组人数为100×0.25=25,所以a=25×0.4=10. ‎ ‎～B（5，），则E（)=5＝ ………………6分 ‎(3)因为第3，4组答对全卷的人的比为5:10=1:2，‎ 所以第3,4组应依次抽取2人,4人. ……………7分 依题意的取值为0,1,2.‎ P(Y=0) P(Y=1) ‎ P(Y=2)= ‎ 所以X的分布列为：‎ Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ……………………11分 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以E（Y)=0×+1×+2×.  ……………12分 ‎19．（1）证明：在BCE中，BCCF，，,，，‎ 所以.又因为在中，，所以.‎ 因为平面ABCD平面BEFC，且平面ABCD平面BEFC＝BC，DCBC，所以DC平面 EFCB，所以DCEF.‎ 又DCCE＝C，所以平面 ………………6分 ‎（２）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．‎ 设AB=a（a >0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(， 3，0），‎ F（0，4，0）．从而 设平面AEF的法向量为，由得，‎ ‎ ，取x=1，则，即 设平面EFCB的法向量为，‎ 由条件，得，‎ 解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．……………12分 ‎20.解：（Ⅰ），，即 …………2分 由得，‎ ‎， …………4分 得，，所以椭圆方程为； …………6分 ‎（Ⅱ）由题意可知，所以， 设直线的方程，联立方程组 得的两根为，， ‎ ‎， …………8分 由题意得，，‎ ‎ ‎ ‎ …………10分 ‎ ‎ 所以斜率之和是为定值0 . ………………12‎ ‎21.解：(I)的定义域为，‎ 则,又 所求切线方程为. ……………2分 ‎(II),令,‎ ‎,令,,‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎(2),‎ 以下论证.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 综上所述，的取值范围是 ………………8分 ‎（Ⅲ）原问题等价于证明:当时,.‎ 法1:设则,‎ 设则 ‎,,即单调递增 故单调递增,,‎ 在单调递增,‎ ‎. ………………12分 法2:由(II)得,,‎ 若证,只需证 设 ‎,而,所以,‎ 即成立. ………………12分 ‎22.解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ ‎ ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，‎ 即ρ＝4sinθ. ………………3分 由ρ＝2，得sinθ＝，∵θ∈(，π)，∴θ＝. ………5分 ‎(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－4＝0.‎ 又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，‎ 联立，得解得ρ＝4.‎ ‎∴点B的极坐标为(4，)， ………………8分 ‎∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2. ………………10分 ‎23.(1)因为即 当时，不等式为解得，所以；‎ 当时，不等式为，解得，所以；‎ 当时，不等式为，解得，所以.‎ 综上，的解集为. ………………5分 ‎ (2) ‎ 所以在(−∞,−1]上单调递减,在(−1,+∞)上单调递增，‎ 所以 ………………7分 所以 所以 所以 ‎ 当且仅当时等号成立 ………………10分