陕西省汉中市2020届高三第一次校际联考数学（理）试题

陕西省汉中市2020届高三第一次校际联考数学（理）试题

‎2020届高三第一次校际联考试题数学（理科）‎ 一、选择题 ‎1.若为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合复数的运算法则分子分母同时乘以i，然后整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】由复数的运算法则有：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的除法运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用对数函数求出，再利用交集定义求出.‎ ‎【详解】解：，，‎ ‎=，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用.‎ ‎3.从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数是（ ）‎ A. 167 B. ‎170 ‎C. 171 D. 172‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于此数据的个数是偶数个，所以将数据从小到大排列，求出最中间两个数据的平均值就是所求数据的中位数.‎ ‎【详解】把数据按从小到大的顺序排列后166，168，168，170，172，172，172，175， 所以这组数据的中位数是， 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查求数据的中位数，如果数据的个数是奇数个，其中位数就是将数据从小到大排列时最中间的数据，如果数据的个数是偶数个，其中位数就是将数据从小到大排列时最中间的两个数据的平均数，属于基础题.‎ ‎4.若，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式变形，再化弦为切求解．‎ ‎【详解】由诱导公式化简得，‎ 又，所以原式.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，也考查了化弦为切的思想，属于基础题．‎ ‎5.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率的方程即可．‎ ‎【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，∴，‎ ‎，，∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础．‎ ‎6.已知a，b，c均为实数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对取特殊值代入选项中验证，运用排除法可得选项.‎ ‎【详解】∵，且，不妨，令，‎ 则，可排除A； ‎ ‎，可排除B；‎ ‎，可排除D；  对于C，当时，由指数函数的单调递增的性质可知，，‎ 又因为对数函数在上单调递增，所以成立 ，故C正确．  故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质的运用，在运用时注意需严格地满足不等式的性质所需的条件，在判断不等式是否成立时，还可以代入特殊值，运用排除法，属于基础题.‎ ‎7.在边长为2的菱形中，，是的中点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选取向量为基底，用基底表示，然后计算．‎ ‎【详解】由题意，，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．‎ ‎8.如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作的平行线交于，连接，∴（或其补角）就是异面直线与所成角，求出所在的三角形的各边的长，运用余弦定理可求得值.‎ ‎【详解】过作的平行线交于，连接，∴（或其补角）就是异面直线与所成角，‎ 因为，，所以，，，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中异面直线所的角的计算，一般可通过平移的方法，使两异面直线的平行线相交，找出异面直线所成的角的平面角，在运用余弦定理求得其角，属于基础题.‎ ‎9.若函数在上是增函数，当取最大值时，的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据辅助角公式化简成正弦型函数，再由单调性得解.‎ ‎【详解】，‎ 由于在上是增函数，所以，α的最大值为，‎ 则.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式和正弦型函数的单调性，属于基础题.‎ ‎10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和”，如.在不超过30的质数中（0和1‎ 既不是质数，也不是合数），随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知条件找出小于所有质数，再在其中找出两个数的和等于的数对，由古典概型可求得概率.‎ ‎【详解】小于的质数有共个，随机选取两个数共有种情况，‎ 其中两数相加等于的有和、和、和共三种情况，‎ 根据古典概型，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型，关键在于找出基本事件总数及所需求的事件中所包含的基本事件的个数，属于基础题.‎ ‎11.已知点在抛物线的准线上，记抛物线C的焦点为F，则以原点为圆心，且与直线AF相切的圆的半径为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点A在抛物线的准线上，得出抛物线的焦点为F(2,0),可得出直线AF的方程，再根据直线与圆的相切的位置关系可求得圆的半径.‎ ‎【详解】因为点A在抛物线的准线上，所以抛物线的焦点为F(2,0),所以直线AF的方程为 因为以原点为圆心,且与直线AF相切,所以所求圆的半径为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎12.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件分析出函数是奇函数，和是以4为周期的周期函数，再根据函数的性质将所求的函数值转化到所已知的区间内，代入可得所求的函数值.‎ ‎【详解】, ,∴函数 是奇函数，‎ ‎ ，‎ 令 ， 则 ，，‎ 所以函数是以4为周期的周期函数，‎ ‎，‎ 又当时，， ，‎ ‎ ，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，以及对数函数求值，关键在于根据函数的性质将所求的函数值的自变量转化到所已知的区间内，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理进行边转化为角，再根据锐角三角形的角的范围，可求得角.‎ ‎【详解】,由正弦定理可得,, ,,.. 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的正弦定理，关键在于领悟边角互化，注意角的范围，属于基础题.‎ ‎14.已知偶函数在上单调递减，则不等式的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为，解之可求得解集.‎ ‎【详解】∵偶函数在区间单调递减,且满足, ∴不等式等价为,即,,解得, 故x取值范围是, 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性求解不等式，关键在于函数值的不等式，转化为自变量的不等式，注意在转化时，函数是偶函数时避免讨论，可添加绝对值符号得到不等式，属于中档题.‎ ‎15.已知函数与的图象上存在两对关于直线对称的点，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若函数与的图象上存在两对关于直线对称的点,则函数 与函数的图象在有两个交点, 即有两个解, 即有两个解,令,对求导函数，得出导函数的正负，研究函数的单调性，最值，可求得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】若函数与的图象上存在两对关于直线对称的点, 则函数与函数的图象在有两个交点,  即有两个解, 即有两个解, 令,则 ，‎ 令，则，，在上单调递减，而，‎ ‎，即，时，，‎ 在单调递增，在单调递减，，又时，，时，，‎ ‎∴要使有两个解,则需，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查两函数图象的关于直线的对称点的问题，解决的关键在于将对称点问题转化为两图象的交点问题，继而转化为方程的根的问题，运用参变分离，构造新函数，对新函数求导，分析其导函数的正负，得出新函数的单调性、最值，图象趋势，得到参数的范围,属于难度题.‎ ‎16.圆形纸片圆心为O，半径为‎6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，，，，分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形（如图1）.沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起，，，，使得E，F，G，H重合得到个四棱锥（如图2）.设正方形ABCD的边长为a，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的半径为________.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】连接OE交AB于点1,设E、F.G.H重合于点P,作三角形PAB的AB边上的高PK,连接PO ,KO,CO,如下图所示，‎ 设正方形的边长为,则,,‎ ‎∵该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，，解得，‎ 设该四棱维的外接球的球心为Q,半径为Rcm,可知Q在PO上,连接QC,又,‎ 则在中, 解得,‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查平面图形的折叠,四棱锥的外接球的半径,解决的关键在于平面图形折叠成立体图形后,明确变化的量和没有变的量,以及线线的位置,线面的位置关系,对于几何体的外接球的问题,关键在于确定外接球的圆心的位置,球半径,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.如图，在三棱柱中，底面ABC，，，D为AC的中点，N为与的交点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形的中位线定理得出两直线平行,再由线面平行的判断定理可得证；‎ ‎(2)如下图,以A为原点，AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量,和向量的坐标,根据线面角的向量坐标公式,可求得值.‎ ‎【详解】（1）证明：由题知，N为的中点，D为AC的中点，，‎ 平面，平面，‎ 平面.‎ ‎（2）如图，以A为原点，AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得，‎ ‎，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理,利用空间直角坐标系求得线面角的问题,在求线面角时,注意求得面的法向量与所求的线向量的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值,这是一个易错点,属于中档题.‎ ‎18.小龙虾近几年来被称作是“国民宵夜”，某地区近几年的小龙虾产量统计如下表：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年份代码t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 年产量y（万吨）‎ ‎6.6‎ ‎6.9‎ ‎7.4‎ ‎7.7‎ ‎8‎ ‎8.4‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程；；‎ ‎（2）预测2020年该地区小龙虾的年产量.‎ 参考公式：.‎ 参考数据：，.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）9.12万吨 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求均值，代入公式得，再根据求,,可得线性回归方程;‎ ‎(2)求自变量为8对应函数值，即为所求.‎ ‎【详解】（1），，，，‎ ‎，，‎ y关于t的线性回归方程为.‎ ‎（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码，此时，‎ 可预测2020年该地区小龙虾的年产量为9.12万吨.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程,和预估其后的年份的产量,注意概念的理解,函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系,属于基础题.‎ ‎19.已知数列的前n项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题知，由,在当时，得，两式相减可得， ，可得数列的通项;‎ ‎（2）由(1)得出的通项，运用裂项求和法可求得数列的前n项和.‎ ‎【详解】（1）由题知，当时，，又，‎ 两式相减可得，即，‎ 当时，可得，解得，则，‎ 当时，满足，‎ 数列的通项公式为，.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查数列中由数列的前的和得出数列的通项,和运用裂项求和法求数列的和,在求得数列的通项时,注意验证的情况,属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若方程恰有两个实数根，求a的值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知求得，可求得曲线在处的切线方程;‎ ‎（2）由方程恰有两个实数根，进行参变分离得，构造函数，对所构造函数求导,分析出其导函数的正负,得出所构造的函数的单调性和图象趋势,极值,从而可得出a的值.‎ ‎【详解】（1）函数，，，‎ 曲线在处切线方程为，即.‎ ‎（2）方程恰有两个实数根，‎ 即恰有两个实数根，∵，所以可得，‎ 显然时，上式不成立；‎ 设，则，‎ 当或时，，单调递增；当时，，单调递减；‎ ‎，，‎ 又当时，，当时，，‎ ‎，得.‎ ‎【点睛】本题考查求在函数上的一点的切线方程,和根据方程的根的情况求参数的值,解决的关键在于进行参变分离,构造合适的函数,并对所构造的函数求导,分析其导函数的正负,得所构造的函数的单调性和图象趋势和极值,属于常考题,难度题.‎ ‎21.已知椭圆的焦距与短轴长相等，且点在椭圆C上.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若点P为椭圆C上异于左、右顶点A、B的任意一点，过原点O作直线PA的垂线交直线PB于点M，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为.‎ ‎①求证：与之积为常数；‎ ‎②求点M的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）①证明见解析，②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件求得椭圆的,可得出其标准方程;‎ ‎（2）①设，直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，可得出的值，可得证；‎ ‎②设直线OM的方程为：，联立，再由①的结论代入可得轨迹方程.‎ ‎【详解】（1）椭圆C的焦距与短轴长相等，，，点在椭圆C上，，‎ 又，，，‎ 椭圆C的标准方程为.‎ ‎（2）①证明：由（1）知，，，设，‎ 直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，‎ 则，为常数；‎ ‎②由题意知，直线OM的方程为：，‎ 由，得，‎ ‎，，‎ 点M的轨迹方程为.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中的定值问题,以及求动点的轨迹方程,解决的关键在于设点,设直线的方程,联立得交点的坐标的关系,属于常考题,难度题.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中曲线C的直角坐标方程为，直线l过点，且倾斜角为.以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）（t为参数），‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线的参数方程的定义和已知条件可求得直线l的参数方程，根据极坐标与平面直角坐标方程的互化公式可得曲线C的极坐标方程;‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，可得，再运用方程的根与系数的关系和直线的参数的几何意义可求得所求的值.‎ ‎【详解】（1）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 由，得，‎ 即曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得，‎ 设A，B两点对应的参数分别为，则，，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角方程的互化,以及直线的参数方程中的几何意义的运用,注意在运用直线参数方程中的几何意义时,直线的参数方程必需是关于所需定点的直线的标准参数方程,属于基础题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，分段讨论得出函数的解析式,再分段求解不等式的解集,将所求的解集再求并集可得所求的解集;‎ ‎（2）由题知当时，恒成立，等价于当时，‎ 恒成立，分 时，和当时，两种情况分别讨论可得出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，，得；‎ 当时，恒成立；‎ 当时，，得.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）由题知当时，恒成立，‎ 等价于当时，恒成立，‎ 当时，，不满足条件；‎ 当时，由，‎ 得，，，‎ 实数a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的恒成立问题,解决的常用方法是分段讨论得出分段函数,分段求解,属于基础题.‎