2014-2018年五年真题分类第十五章 推理与证明

2014-2018年五年真题分类第十五章 推理与证明

第十五章 推理与证明 ‎1.（2017•新课标Ⅱ,7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（    ） ‎ A、乙可以知道四人的成绩 B、丁可以知道四人的成绩 C、乙、丁可以知道对方的成绩 D、乙、丁可以知道自己的成绩 ‎1.D 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩， 故选D．‎ ‎2．（2018浙江，11）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则x+y+z=100,‎‎5x+3y+‎1‎‎3‎z=100,‎当z=81‎时，x=‎___________，y=‎___________．‎ ‎2. 8 11 ‎‎∵z=81,∴x+y=19‎‎5x+3y=73‎,∴x=8‎y=11‎.‎ ‎ 3.（2017•北京,14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1 ， Q2 ， Q3中最大的是________． ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1 ， p2 ， p3中最大的是________． ‎ ‎3.Q1；p2 ①若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数， Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标； Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标， Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标， 由已知中图象可得：Q1 ， Q2 ， Q3中最大的是Q1 ， ②若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则pi为AiBi中点与原点连线的斜率， 故p1 ， p2 ， p3中最大的是p2.‎ ‎4.(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有(　　)‎ A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 ‎4.B [学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选B.]‎ ‎5.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 ‎5.A [至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.]‎ ‎6.（2017•江苏,14）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是________． ‎ ‎6. 8 ∵在区间[0，1）上，f（x）= ， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f（x）是定义在R上且周期为1的函数， ∴在区间[1，2）上，f（x）= ，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理： 区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点； 故f（x）的图象与y=lgx有8个交点； 即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8. ‎ ‎7.(2016·全国Ⅱ，15)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.‎ ‎7.1和3 [由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.]‎ ‎8.(2015·山东，11)观察下列各式：‎ C＝40；‎ C＋C＝41; ‎ C＋C＋C＝42；‎ C＋C＋C＋C＝43；‎ ‎……‎ 照此规律，当n∈N*时，C＋C＋ C＋…＋ C＝________.‎ ‎8.4n－1 [观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，‎ 第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1，‎ 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n个等式右边为4n－1.]‎ ‎9.(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).‎ 已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.‎ 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________.‎ ‎9.5 [(ⅰ)x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，‎ ‎∴x5错误，故k等于5.]‎ ‎10.(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：‎ 多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 立方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________.‎ ‎10.F＋V－E＝2 [三棱柱中5＋6－9＝2;五棱锥中6＋6－10＝2;立方体中6＋8－12＝2,由此归纳可得F＋V－E＝2.]‎ ‎11．（2018天津，18）设‎{an}‎是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn‎(n∈N‎*‎)‎，‎{bn}‎是等差数列.已知a‎1‎‎=1‎，a‎3‎‎=a‎2‎+2‎，a‎4‎‎=b‎3‎+‎b‎5‎，a‎5‎‎=b‎4‎+2‎b‎6‎.‎ ‎（I）求‎{an}‎和‎{bn}‎的通项公式；‎ ‎（II）设数列‎{Sn}‎的前n项和为Tn‎(n∈N‎*‎)‎，‎ ‎（i）求Tn；‎ ‎（ii）证明k=1‎n‎(Tk+bk+2‎)‎bk‎(k+1)(k+2)‎‎=‎2‎n+2‎n+2‎-2(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎11.（I）设等比数列‎{an}‎的公比为q.由a‎1‎‎=1,a‎3‎=a‎2‎+2,‎ 可得q‎2‎‎-q-2=0‎.因为q>0‎，可得q=2‎，故an‎=‎‎2‎n-1‎.‎ 设等差数列‎{bn}‎的公差为d，由a‎4‎‎=b‎3‎+‎b‎5‎，可得b‎1‎‎+3d=4.‎ 由a‎5‎‎=b‎4‎+2‎b‎6‎，可得‎3b‎1‎+13d=16,‎ ‎ 从而b‎1‎‎=1,d=1,‎ 故bn‎=n.‎ ‎ 所以数列‎{an}‎的通项公式为an‎=‎‎2‎n-1‎，‎ 数列‎{bn}‎的通项公式为bn‎=n.‎ ‎（II）（i）由（I），有Sn‎=‎1-‎‎2‎n‎1-2‎=‎2‎n-1‎，‎ 故Tn‎=k=1‎n‎(‎2‎k-1)‎=k=1‎n‎2‎k-n=‎2×(1-‎2‎n)‎‎1-2‎-n=‎2‎n+1‎-n-2‎.‎ ‎（ii）因为‎(Tk+bk+2‎)‎bk‎(k+1)(k+2)‎‎=‎(‎2‎k+1‎-k-2+k+2)k‎(k+1)(k+2)‎=k⋅‎‎2‎k+1‎‎(k+1)(k+2)‎=‎2‎k+2‎k+2‎-‎‎2‎k+1‎k+1‎，‎ 所以k=1‎n‎(Tk+bk+2‎)‎bk‎(k+1)(k+2)‎‎=(‎2‎‎3‎‎3‎-‎2‎‎2‎‎2‎)+(‎2‎‎4‎‎4‎-‎2‎‎3‎‎3‎)+⋯+(‎2‎n+2‎n+2‎-‎2‎n+1‎n+1‎)=‎2‎n+2‎n+2‎-2‎.‎ ‎12．（2018江苏，20）设‎{an}‎是首项为a‎1‎，公差为d的等差数列，‎{bn}‎是首项为b‎1‎，公比为q 的等比数列．‎ ‎（1）设a‎1‎‎=0,b‎1‎=1,q=2‎，若‎|an−bn|≤‎b‎1‎对n=1,2,3,4‎均成立，求d的取值范围；‎ ‎（2）若a‎1‎‎=b‎1‎>0,m∈N‎*‎,q∈(1,m‎2‎]‎，证明：存在d∈R，使得‎|an−bn|≤‎b‎1‎对n=2,3,⋯,m+1‎均成立，并求d的取值范围（用b‎1‎‎,m,q表示）．‎ ‎12.（1）由条件知：an‎=(n-1)d,bn=‎‎2‎n-1‎．‎ 因为‎|an-bn|≤‎b‎1‎对n=1，2，3，4均成立，‎ 即‎|(n-1)d-‎2‎n-1‎|≤1‎对n=1，2，3，4均成立，‎ 即1‎≤‎1，1‎≤‎d‎≤‎3，3‎≤‎2d‎≤‎5，7‎≤‎3d‎≤‎9，得‎7‎‎3‎‎≤d≤‎‎5‎‎2‎．‎ 因此，d的取值范围为‎[‎7‎‎3‎,‎5‎‎2‎]‎．‎ ‎（2）由条件知：an‎=b‎1‎+(n-1)d,bn=‎b‎1‎qn-1‎．‎ 若存在d，使得‎|an-bn|≤‎b‎1‎（n=2，3，···，m+1）成立，‎ 即‎|b‎1‎+(n-1)d-b‎1‎qn-1‎|≤b‎1‎(n=2,3,⋯,m+1)‎，‎ 即当n=2,3,⋯,m+1‎时，d满足qn-1‎‎-2‎n-1‎b‎1‎‎≤d≤‎qn-1‎n-1‎b‎1‎．‎ 因为q∈(1,m‎2‎]‎，则‎10‎，对n=2,3,⋯,m+1‎均成立．‎ 因此，取d=0时，‎|an-bn|≤‎b‎1‎对n=2,3,⋯,m+1‎均成立．‎ 下面讨论数列‎{qn-1‎‎-2‎n-1‎}‎的最大值和数列‎{qn-1‎n-1‎}‎的最小值（n=2,3,⋯,m+1‎）．‎ ‎①当‎2≤n≤m时，qn‎-2‎n‎-qn-1‎‎-2‎n-1‎=nqn-qn-nqn-1‎+2‎n(n-1)‎=‎n(qn-qn-1‎)-qn+2‎n(n-1)‎，‎ 当‎10‎．‎ 因此，当‎2≤n≤m+1‎时，数列‎{qn-1‎‎-2‎n-1‎}‎单调递增，‎ 故数列‎{qn-1‎‎-2‎n-1‎}‎的最大值为qm‎-2‎m．‎ ‎②设f(x)=‎2‎x(1-x)‎，当x>0时，f‎'‎‎(x)=(ln2-1-xln2)‎2‎x<0‎，‎ 所以f(x)‎单调递减，从而f(x)‎1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)＜0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，‎ ‎∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，‎ 故知ln (1＋x)≥不恒成立.‎ 综上可知，a的取值范围是(－∞，1].‎ ‎(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln (n＋1)，‎ 比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln (n＋1).‎ 证明如下：‎ 法一　上述不等式等价于＋＋…＋，x>0.‎ 令x＝，n∈N*，则，x>0.‎ 令x＝，n∈N*，则ln >.‎ 故有ln 2－ln 1>，‎ ln 3－ln 2>，‎ ‎……‎ ln(n＋1)－ln n>，‎ 上述各式相加可得ln (n＋1)>＋＋…＋，结论得证.‎ 法三　如图，‎ dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和.‎ ‎∴＋＋…＋>dx＝(1－)dx＝n－ln (n＋1)，　‎ 结论得证.‎ ‎15.(2014·重庆，22)设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*).‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.‎ 再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)f(a2k＋1)＝a2k＋2，‎ a2(k＋1)＝f(a2k＋1)f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2，‎ 所以a2n＋1>－1.解得a2n＋1>.④‎ 综上，由②、③、④知存在c＝使a2n

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