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文档介绍
浙江专用2020高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量与复数第2讲三角恒等变换与解三角形教案
第2讲 三角恒等变换与解三角形 利用三角恒等变换化简、求值 [核心提炼] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β; (3)tan(α±β)=. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)tan 2α=. [典型例题] (1)已知cos+sin θ=,则sin的值是( ) A. B. C.- D.- (2)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是( ) A. B. C.或 D.或 【解析】 (1)因为cos+sin θ=, 所以cos θ+sin θ=, 即=, 即sin=, 所以sin=, 所以sin=-sin=-.故选C. - 17 - (2)因为α∈,所以2α∈,又sin 2α=,故2α∈,α∈,所以cos 2α=-.又β∈,故β-α∈,于是cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=,且α+β∈,故α+β=. 【答案】 (1)C (2)A 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等; (2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦. [对点训练] 1.(2019·杭州市高三模拟)函数f(x)=3sin cos+4cos2 (x∈R)的最大值等于( ) A.5 B. C. D.2 解析:选B.因为f(x)=3sin cos +4cos2 =sin x+2cos x+2=+2 =sin(x+φ)+2, 其中sin φ=,cos φ=, 所以函数f(x)的最大值为. 2.(2019·浙江五校联考)已知3tan +tan2=1,sin β=3sin(2α+β),则tan(α+β)=( ) - 17 - A. B.- C.- D.-3 解析:选B.因为sin β=3sin(2α+β), 所以sin[(α+β)-α]=3sin[(α+β)+α], 所以sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=3sin(α+β)·cos α+3cos(α+β)sin α,所以2sin(α+β)cos α=-4cos(α+β)sin α, 所以tan(α+β)==-=-2tan α, 又因为3tan+tan2=1,所以3tan=1-tan2, 所以tan α==,所以tan(α+β)=-2tan α=-. 3.(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(π+x)+cos(π+x)=,则sin 2x=________,=________. 解析:sin(π+x)+cos(π+x)=-sin x-cos x=, 即sin x+cos x=-, 两边平方得:sin2x+2sin xcos x+cos2x=, 即1+sin 2x=,则sin 2x=-, 由= ====-. 答案:- - 利用正、余弦定理解三角形 - 17 - [核心提炼] 1.正弦定理及其变形 在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2Rsin A,sin A=,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等. 2.余弦定理及其变形 在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A; 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=. 3.三角形面积公式 S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B. [典型例题] (1)(2018·高考浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=________,c=________. (2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. ①证明:A=2B; ②若cos B=,求cos C的值. 【解】 (1)因为a=,b=2,A=60°,所以由正弦定理得sin B===.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得c2-2c-3=0,所以c=3.故填: 3. (2)①证明:由正弦定理得sin B+sin C =2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+ sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B, 所以A=2B. ②由cos B=得sin B=, cos 2B=2cos2B-1=-, - 17 - 故cos A=-,sin A=, cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=. 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理. (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理. [对点训练] 1.(2019·高考浙江卷)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=________,cos∠ABD=________. 解析:在Rt△ABC中,易得AC=5,sin C==.在△BCD中,由正弦定理得BD=×sin∠BCD=×=,sin∠DBC=sin[π-(∠BCD+∠BDC)]=sin(∠BCD+∠BDC)=sin ∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC=×+×=.又∠ABD+∠DBC=,所以cos∠ABD=sin∠DBC=. 答案: 2.(2019·义乌高三月考)在△ABC中,内角A,B,C对应的三边长分别为a,b,c,且满足c=b2-a2. (1)求角B的大小; (2)若BD为AC边上的中线,cos A=,BD=, 求△ABC的面积. 解:(1)因为c=b2-a2, 即2bccos A-ac=2(b2-a2), 所以b2+c2-a2-ac=2(b2-a2), 所以a2+c2-b2=ac,cos B=,B=. (2)法一:在三角形ABD中, 由余弦定理得=c2+-2c·cos A, - 17 - 所以=c2+-bc,① 在三角形ABC中,由已知得sin A=, 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=, 由正弦定理得c=b.② 由①,②解得 所以S△ABC=bcsin A=10. 法二:延长BD到E,DE=BD, 连接AE,在△ABE中, ∠BAE=, BE2=AB2+AE2-2·AB·AE·cos ∠BAE, 因为AE=BC, 129=c2+a2+a·c,① 由已知得,sin ∠BAC=, 所以sin C=sin(A+B)=, ==.② 由①②解得c=5,a=8, S△ABC=c·a·sin ∠ABC=10. 解三角形中的最值(范围)问题 [典型例题] (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2ccos B=2a-b. ①求角C的大小; ②若=2,求△ABC面积的最大值. (2)(2019·杭州市高考数学二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若msin A=sin B+sin C(m∈R). ①当m=3时,求cos A的最小值; - 17 - ②当A=时,求m的取值范围. 【解】 (1)①因为2ccos B=2a-b, 所以2sin Ccos B=2sin A-sin B=2sin(B+C)-sin B, 化简得sin B=2sin Bcos C, 因为sin B≠0,所以cos C=. 因为0<C<π,所以C=. ②取BC的中点D,则=||=2. 在△ADC中,AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos C, 即有4=b2+-≥2-=, 所以ab≤8,当且仅当a=4,b=2时取等号. 所以S△ABC=absin C=ab≤2, 所以△ABC面积的最大值为2. (2)①因为在△ABC中msin A=sin B+sin C, 当m=3时, 3sin A=sin B+sin C, 由正弦定理可得3a=b+c, 再由余弦定理可得 cos A== =≥=, 当且仅当b=c时取等号, 故cos A的最小值为. ②当A=时,可得m=sin B+sin C, 故m=sin B+sin C =sin B+sin =sin B+ - 17 - =sin B+cos B+sin B =sin B+cos B=2sin, 因为B∈, 所以B+∈, 所以sin∈, 所以2sin∈(1,2], 所以m的取值范围为(1,2]. (1)求最值的一般思路 由余弦定理中含两边和的平方(如a2+b2-2abcos C=c2)且a2+b2≥2ab,因此在解三角形中,若涉及已知条件中含边长之间的关系,且与面积有关的最值问题,一般利用S=absin C型面积公式及基本不等式求解,有时也用到三角函数的有界性. (2)求三角形中范围问题的常见类型 ①求三角形某边的取值范围. ②求三角形一个内角的取值范围,或者一个内角的正弦、余弦的取值范围. ③求与已知有关的参数的范围或最值. [对点训练] 1.在△ABC中,·=|-|=3,则△ABC面积的最大值为( ) A. B. C. D.3 解析:选B.设角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 因为·=|-|=3, 所以bccos A=a=3. 又cos A=≥1-=1-, 所以cos A≥, - 17 - 所以0查看更多
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