湖南省湖南师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学

湖南省湖南师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学

‎2019—2020学年度第一学期高二年级期中考试 数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，进而求出集合的交集、并集可选出答案.‎ ‎【详解】由题意，，，则，，，‎ 即只有选项D成立..‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集与并集，考查集合间的包含关系，属于基础题.‎ ‎2.命题“函数是偶函数”的否定是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：因为命题“函数是偶函数”的否定是，选A ‎3.设命题函数的最小正周期为；命题函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是（ ）‎ A. 为真 B. 为假 C. 为假 D. 为真 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数的最小正周期为,所以命题为假命题，由余弦函数的性质可知命题为假命题，所以为假命题，故选C.‎ 考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.‎ ‎4.若a>b，则 A. ln(a−b)>0 B. 3a<3b C. a3−b3>0 D. │a│>│b│‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．‎ ‎【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．‎ ‎5.曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，并结合导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式可求出切线方程.‎ ‎【详解】由题意，，，则，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，属于基础题.‎ ‎6.设非零向量满足，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将平方，化简可得，，即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以，化简即有，‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查向量的运算法则的应用以及数量积的定义应用．‎ ‎7.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，‎ 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，‎ 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．‎ 故选B.‎ ‎8.设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，分别为椭圆的左右焦点，可得，结合，及，可判断出等腰三角形中，然后求出点的坐标，进而可求出的面积.‎ ‎【详解】设，，则，，‎ 椭圆：的，，.‎ 设，分别为椭圆的左右焦点，‎ 由于为上一点且在第一象限，可得，，‎ 因为，所以，，‎ 为等腰三角形，只能，则，‎ 由勾股定理得，又，联立并消去得，且，解得，则.‎ 则的面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎9.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若 ‎，且，则的长为 A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何图形可得，然后两边平方，根据向量的数量积可得，进而得到的长度．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以||2=()2‎ ‎=||2+||2+||2)‎ ‎．‎ 故A1C的长为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点．‎ ‎10.“是函数在区间内单调递增”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，令解得 当，的图像如下图 当，的图像如下图 由上两图可知，是充要条件 ‎【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.‎ ‎11.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则 ‎，可得：‎ ‎，当且仅当时取等号，故选C．‎ 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．‎ ‎12.设函数，且，下列命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②存，，使得；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④对任意的，，都有.‎ 其中正确的命题个数是（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案.‎ ‎【详解】对于①，设，，，显然①不正确；‎ 作出函数的图象，取点，点，取线段的中点，过作垂直于轴的直线交函数图象于，显然，即，即④成立.‎ 在弧之间，必存在某点，使过该点的切线的斜率等于割线的斜率，所以②对.‎ 对于③，，在上单调递减，，表示过点的切线的斜率为1，若，，则，，割线的斜率小于1，所以③对.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，，若向量与共线，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量与共线，可知存在使得，代入计算即可.‎ ‎【详解】因为向量与共线，所以存在使得，‎ 则，即，解得，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量共线问题，考查学生的计算求解能力，属于基础题 ‎14.若三个点，，中恰有两个点在双曲线：上，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的图象关于原点对称，可知点，在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程可求得，进而可求出离心率.‎ ‎【详解】三个点，，中恰有两个点在双曲线：上，‎ 又双曲线的图象关于原点对称，所以不在双曲线上，点，在双曲线上，‎ 则，解得，又，所以离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查离心率的求法，属于基础题.‎ ‎15.已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.‎ ‎【考点】分段函数，函数图象 ‎【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.‎ ‎16.已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，且图中三角形（正四面体的截面）的面积是，则该球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，由三角形的面积可求得的值，然后求出正四面体的外接球半径，即可求出答案.‎ ‎【详解】设正四面体的棱长为，过该球球心的一个截面如图为，‎ 于图中，为中点，则.‎ 在中，，，∴.‎ 因为三角形的面积是，所以有，‎ ‎∴.‎ 该正四面体的高，‎ 设球的半径为，则,解得，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正四面体结构特征的应用，考查外接球，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列，数列满足，.‎ ‎（1）求数列，的通项公式、；‎ ‎（2）若在数列中去掉数列中的项，剩下的项按原来顺序排成新数列，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）4058‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列的性质，并结合，，可求出,即可求出，由，结合的表达式，可求出；‎ ‎（2）由（1）知，可判断和与的关系，从而可知，求解即可.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为.‎ 由题设知，，∴.‎ 又，∴，解得，.‎ 所以，.‎ ‎，.‎ ‎（2）由（1）知，所以，，‎ 由此可知.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等比中项的应用，考查学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎18.如图所示，在平面四边形中，，，，，.‎ ‎（1）求值；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，由余弦定理，可求得，再由正弦定理得，可求出；‎ ‎（2）先求出，结合，可得，再由可求出答案.‎ ‎【详解】（1）在中，由余弦定理，得 ‎，‎ 在中，由正弦定理，得.‎ 于是，.‎ ‎（2）由题设知，，于是由（1）知，.‎ 而，所以，‎ 在直角中，.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎19.某企业为了检查生产产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.下表是甲流水线样本的频数分布表，下图是乙流水线样本的频率分布直方图.‎ 甲流水线样本的频数分布表 质量指标值 频数 ‎9‎ ‎10‎ ‎17‎ ‎8‎ ‎6‎ 乙流水线样本的频率分布直方图 ‎（1）根据图形，估计乙流水线生产的产品的该项质量指标值的中位数；‎ ‎（2）设该企业生产一件合格品获利100元，生产一件不合格品亏损50元，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了1000件产品，若将频率视为概率，则该企业本月的利润约为多少元？‎ ‎【答案】（1）205.5；（2）125000元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出前三组频率之和，可知中位数位于第四组，设中位数为，列式计算即可；‎ ‎（2）求出甲、乙两条流水线生产的产品中合格品和不合格品的件数，进而可求出利润.‎ ‎【详解】（1）因为前三组频率之和为，‎ 所以中位数位于第四组，设中位数为，‎ 则，解得.‎ ‎（2）由题意知，甲流水线随机抽取的50件产品中合格品有（件）‎ 则甲流水线生产的产品为合格品的概率是.‎ 乙流水线生产的产品为合格品的概率是.‎ 则本月内甲、乙两条流水线均生产的1000件产品中合格品总件数为 件，‎ 故该企业本月获得的利润为元.‎ ‎【点睛】本题考查中位数，考查频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知是圆锥的高，是圆锥底面的直径，是底面圆周上一点，是的中点，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结，易证，，从而可证明平面，进而可证明平面平面；‎ ‎（2）先证明，，两两垂直，进而建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的方法求得二面角的余弦值即可.‎ ‎【详解】（1）连结，则，‎ 又因为是的中点，所以.‎ 因为是圆锥的高，所以平面，‎ 平面，所以，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）由已知可得，‎ 所以为正三角形，.‎ 又因为，所以，所以.‎ 于是分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，，，，.‎ 则，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 由得：.‎ 令，得，，‎ 即.‎ 设平面的法向量为，‎ 由得：，‎ 令，得，，即.‎ 设二面角的大小为，由图可知，，则.‎ 故所求二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的结构特征，考查面面垂直的证明，考查空间向量方法求二面角，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数，，.‎ ‎（1）试判断函数在上的单调性，并说明理由；‎ ‎（2）若是在区间上的单调函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增，理由见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，可得当时，，当时，，从而可判断的单调性；‎ ‎（2）由（1）知，在区间上单调递减，从而可求得和，由函数是在区间上的单调函数，可知或时，满足题意.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以.‎ 当时，，所以在区间上单调递减；‎ 当时，，所以在区间上单调递增.‎ ‎（2）由（1）知，在区间上单调递减，‎ 所以.‎ 当时，，所以在区间上单调递减；‎ 当时，，所以在区间上单调递增；‎ 当时，由于在区间上单调递减，所以存在，使，且当时，，所以在区间上单调递增；当时，，‎ 所以在区间上单调递减，与已知不符.‎ 故所求的的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.‎ ‎22.已知椭圆：的右焦点为，离心率为，是椭圆上位于第一象限内的任意一点，为坐标原点，关于的对称点为，，圆：.‎ ‎（1）求椭圆和圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作与圆相切于点，使得点，点在的两侧.求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）椭圆的标准方程为，圆的标准方程；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆左焦点为，连接，，易知四边形为平行四边形，则，结合离心率为，可求得，即可求得椭圆和圆的标准方程；‎ ‎（2）设，代入椭圆方程可得到的关系式，然后分别求得的面积的表达式，即可得到四边形面积的表达式，结合的关系式，求面积的最大值即可.‎ ‎【详解】（1）设椭圆左焦点为，连接，，‎ 因为，，所以四边形为平行四边形，‎ 所以，所以，‎ 又离心率为，所以，.‎ 故所求椭圆的标准方程为，圆的标准方程.‎ ‎（2）设，则，故.‎ 所以，所以，‎ 所以 又，，所以.‎ 故.‎ 由，得，即，‎ 所以，‎ 当且仅当，即，时等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质，考查三角形的面积公式的应用，考查利用不等式求最值，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.‎ ‎ ‎