专题09+平面向量及其应用（热点难点突破）-2019年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破

专题09+平面向量及其应用（热点难点突破）-2019年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破

‎1．在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b ‎【解析】‎ ＝＋ ‎＝＋ ‎＝(－)－ ‎＝－－＝－a－b，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)‎ A. B．2 C．－ D．－2‎ ‎【解析】由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎3．已知两个非零向量a与b的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】由a·b>0，可得到θ∈，不能得到θ∈；而由θ∈，可以得到a·b>0.故选B.‎ ‎【答案】　B ‎4．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(　　)‎ A. B. C. D．4‎ ‎【解析】依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎5．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(－2)·(3＋4)＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－6－ D．－6＋ ‎6．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　)‎ A. B. C．1 D. ‎【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.‎ ‎【答案】　A ‎7．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ ‎【解析】解法一：如图，取AB的中点G，连接DG、CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.‎ 解法二：＝＋＝＋ ‎＝－＋ ‎＝－＋ ‎＝－＋＋＋(＋＋)‎ ‎＝－＋.‎ ‎【答案】　C ‎8．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为(　　)‎ A．－2 B．3－ C．－1 D．0‎ ‎【解析】由|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得〈a，b〉＝，令＝a，＝b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝＝(1,0)，b＝＝，设c＝＝(cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)，则(a＋b)·(2b－c ‎)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－＝3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎9．已知△ABC中，AB＝6，AC＝3，N是边BC上的点，且＝2，O为△ABC的外心，则·的值为(　　)‎ A．8 B．10 C．18 D．9‎ ‎10．已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果＋＋＝0，且||＝||，则向量在方向上的投影为 (　　)‎ A．6 B．－6 C．2 D．－2 ‎【解析】由＋＋＝0得，＝＋.‎ ‎∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.‎ 连接OF，∵||＝||＝||＝4，‎ ‎∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4.‎ ‎∴向量在方向上的投影为||·cos〈，〉＝4cos150°＝－6，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎11．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，则|c ‎|的最大值与最小值的和为(　　)‎ A．0 B. C. D. ‎【解析】∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，即a2＝2a·b，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，a与b的夹角为60°.‎ 设＝a，＝b，＝c，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则a＝，b＝(1,0)．‎ 设c＝(x，y)，则c－2a＝(x－1，y－)，c－b＝(x－1，y)．‎ 又∵(c－2a)·(c－b)＝0，∴(x－1)2＋y(y－)＝0.‎ 即(x－1)2＋2＝，‎ ‎∴点C的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆．‎ 又|c|＝表示圆M上的点与原点O(0,0)之间的距离，所以|c|max＝|OM|＋，|c|min＝|OM|－，‎ ‎∴|c|max＋|c|min＝2|OM|＝2× ‎＝，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎12．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a ‎)(由题意可知00，所以t＝.‎ 答案： ‎26．在四边形ABCD中，＝，P为CD上一点，已知||＝8，||＝5，与的夹角为θ，且cosθ＝，＝3，则·＝________.‎ 解析：∵＝，＝3，∴＝＋＝＋，＝＋＝－，又||＝8，||＝5，cosθ＝，∴·＝8×5×＝22，∴·＝·＝||2－·－||2＝52－11－×82＝2.‎ 答案：2‎ ‎27．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．‎ ‎【解析】依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.‎ 又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ，由λ∈，知x∈，即x的取值范围是.‎ ‎【答案】　 ‎28．已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的最小值为________．‎ ‎【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．‎ 则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，则＋＝(2－2λ，2－4λ)，|＋|＝＝，当λ＝时，|＋|取得最小值为.‎ ‎【答案】　 ‎ ‎