2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期第三次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期第三次月考数学（理）试题 解析版

安徽省定远重点中学2018-2019学年度上学期第三次月考 高二理科数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。‎ 第I卷 选择题 （共60分）‎ 一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案） ‎ ‎1.“1＜t＜4”是“方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”的(　　)‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎2.下列有关命题的说法正确的是(　　)‎ A． 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”‎ B． “x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件 C． 命题“∃x0∈R，＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”‎ D． 命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题 ‎3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1‎ ‎5.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA ‎|＝2|FB|，则k＝(　　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎6.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)‎ A．a B．a C．a D．a ‎7.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是(　　)．‎ A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°‎ ‎8.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，MN分别是A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)‎ A． － B． C． D．‎ ‎9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎10.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)‎ A． 150° B． 45° C． 60° ‎ D． 120°‎ ‎11.过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则∠A1FB1等于(　　)．‎ A． 45° B． 90° C． 60° D． 120°‎ ‎12.已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为(　　)‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎ ‎ ‎13.已知p：|x－4|>6，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为___．‎ ‎14.如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________________．‎ ‎15.F1、F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎16.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点.其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为　　　　.‎ 三、解答题(共6小题,共70分) ‎ ‎17.（10分）已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0.若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18. （12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AP＝AD＝AB＝，BC＝t，∠PAB＝∠PAD＝α.‎ ‎(1)当t＝3时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；‎ ‎(2)当α＝60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．‎ ‎19. （12分）设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.‎ ‎(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；‎ ‎(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．‎ ‎20. （12分）如下图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；‎ ‎(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．‎ ‎21. （12分）已知双曲线C1:x2-=1.‎ ‎(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程.‎ ‎(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当·=3时,求实数m的值.‎ ‎22. （12分）如下图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.‎ ‎(1)求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；‎ ‎(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．‎ 答案解析 ‎1.B ‎【解析】∵1＜t＜4，∴0＜4－t＜3,0＜t－1＜3，‎ 当t＝时，4－t＝t－1，曲线为圆，‎ ‎∴由“1＜t＜4”推导不出“方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”．‎ ‎∵方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，‎ ‎∴解得10，x2>0，y1>0，y2>0，‎ 由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，‎ ‎∴x1x2＝4， ①‎ ‎∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，‎ ‎|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，‎ ‎∴x1＝2x2＋2. ②‎ 由①②得x2＝1，‎ ‎∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故选D.‎ ‎6.A ‎【解析】设＝a，＝b，＝c，‎ ‎∵＝，∴＝＝(＋＋)＝(a＋b＋c)，‎ ‎∵N为BB1的中点，∴＝＋＝＋＝a＋c，∴＝－＝(a＋c)－(a＋b＋c)＝a－b＋c，∴||2＝(a－b＋c)2＝a2＋a2＋a2＝a2，∴||＝a，故选A.‎ ‎7.A ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，‎ 所以cos〈，n〉＝＝－，所以〈·n〉＝120°，‎ 所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，‎ 所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.‎ ‎8.B ‎【解析】如图，由图知直线AM与CN所成角等于〈，〉，＝＋，＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋＋·＋·＝，‎ ‎||＝＝＝，||＝＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎9.A ‎【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB＝90°，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，‎ 设CA＝CB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，‎ ‎∴E，G，＝，＝(0，－a,1)，‎ ‎∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，‎ ‎∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2，‎ ‎∴＝，＝(2，－2,2)，‎ ‎∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量，‎ 又cos〈，〉＝＝＝，‎ ‎∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为，故选A.‎ ‎10.C ‎【解析】由条件知，·＝0，·＝0，＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2，‎ ‎∴cos〈，〉＝－，〈，〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.‎ ‎11.B ‎【解析】如下图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1．‎ 又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO．同理∠BFB1＝∠B1FO．‎ 于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1．故∠A1FB1＝90°．‎ ‎12.C ‎【解析】不妨设点F1(－3,0)，容易计算得出|MF1|＝＝，|MF2|－|MF1|＝2.‎ 解得|MF2|＝.而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，‎ 求得F1到直线F2M的距离d为.‎ ‎13.010}，q：B＝{x|x<1－a或x>1＋a(a>0)}．‎ ‎∵p是q的充分不必要条件， ∴A⊆B且A≠B，‎ ‎，∴实数a的取值范围是00且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，‎ 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.‎ 在△ABF2中，由余弦定理可得 ‎|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，‎ 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，‎ 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，‎ 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，‎ 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，‎ 故△AF1F2为等腰直角三角形．‎ 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.‎ ‎20. 【解析】(1)当y＝时，x＝，又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，‎ 由抛物线定义得，所求距离为－＝.‎ ‎(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，由y＝2px1，y＝2px0，相减得 ‎(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)，故kPA＝＝(x1≠x0)．‎ 同理可得kPB＝(x2≠x0)．由PA、PB倾斜率角互补知kPA＝－kPB，即＝－.‎ ‎∴y1＋y2＝－2y0，故＝－2.‎ 设直线AB的斜率为kAB，由y＝2px2，y＝2px1，相减得(y2－y1)(y2＋y1)＝2p(x2－x1)．‎ ‎∴kAB＝＝(x1≠x2)．将y1＋y2＝－2y0(y0>0)代入得kAB＝＝－，所以kAB是非零常数．‎ ‎21.【解析】(1)双曲线C1的焦点坐标为(,0),(-,0),‎ 设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0,b>0),则解得 ‎∴双曲线C2的标准方程为-y2=1.‎ ‎(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).‎ 由消去y化简得3x2-2mx-m2=0,‎ 由Δ=(-2m)2-4×3×(-m2)=16m2>0,得m≠0.∵x1x2=-,‎ ‎·=x1x2+(2x1) (-2x2)=-3x1x2,∴m2=3,即m=±.‎ ‎22.以A为原点，，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，‎ 设PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)．‎ ‎(1)＝(0,0，a)，＝，∴＝0，∴⊥，∴BC⊥AP，‎ 又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，‎ ‎∴D，E，‎ ‎∴由(1)知， BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵＝，＝，∴cos∠DAE＝＝，‎ ‎∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.‎ ‎(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，‎ ‎∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，‎ 故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．‎