【数学】2019届一轮复习人教A版等差数列及其前n项和学案

【数学】2019届一轮复习人教A版等差数列及其前n项和学案

第2讲　等差数列及其前n项和 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　等差数列的有关概念 ‎1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．‎ ‎2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．‎ 考点2　等差数列的有关公式 ‎1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎2．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.‎ ‎[必会结论]‎ 等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等 差数列，其公差为n2d.‎ ‎[考点自测]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)等差数列的公差是相邻两项的差．(　　)‎ ‎(2)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)‎ ‎(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)‎ ‎(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2．[课本改编]在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)‎ A．58 B．‎88 C．143 D．176‎ 答案　B 解析　因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝‎2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝‎11a6＝88.故选B.‎ ‎3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A．63 B．‎45 C．36 D．27‎ 答案　B 解析　S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，a7＋a8＋a9成等差数列，∴a7＋a8＋a9＝54－9＝45.故选B.‎ ‎4．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)‎ A．12 B．‎13 C．14 D．15‎ 答案　B 解析　由S5＝，得25＝，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.故选B.‎ ‎5．[课本改编]在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101＝________.‎ 答案　52‎ 解析　由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，故数列{an}是首项为 ‎2，公差为的等差数列，所以a101＝2＋100×＝52.‎ ‎6．[2018·苏北四市模拟]在等差数列{an}中，已知a2＋a8＝11，则‎3a3＋a11的值为________．‎ 答案　22‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a2＋a8＝11＝‎2a5，则a5＝，所以‎3a3＋a11＝3(a5－2d)＋a5＋6d＝‎4a5＝4×＝22.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　等差数列的基本运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1　(1)[2017·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．4 D．8‎ 答案　C 解析　设{an}的公差为d，则 由得 解得d＝4.故选C.‎ ‎(2)[2018·吉林模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若‎6a3＋‎2a4－‎3a2＝5，则S7＝(　　)‎ A．28 B．‎21 C．14 D．7‎ 答案　D 解析　由‎6a3＋‎2a4－‎3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝‎5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即‎5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝‎ ＝＝‎7a4＝7.故选D.‎ 触类旁通 等差数列计算中的两个技巧 ‎(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎【变式训练1】　(1)[2016·全国卷Ⅰ]已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B．‎99 C．98 D．97‎ 答案　C 解析　设{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得 an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选C.‎ ‎(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.‎ 答案　－72‎ 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由已知，得解得 ‎∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.‎ 考向　等差数列的性质 命题角度1　等差数列项的性质　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例2　(1)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－‎ a11的值是(　　)‎ A．14 B．‎15 C．16 D．17‎ 答案　C 解析　因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝‎5a8＝120，∴a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝16.故选C.‎ ‎(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则＝________.‎ 答案　 解析　＝＝＝＝＝.‎ 命题角度2　等差数列前n项和性质的应用 例　3　(1)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)‎ A．10 B．‎20 C．30 D．40‎ 答案　A 解析　设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.故选A.‎ ‎(2)[2018·杭州学军中学月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　令S3＝1，则S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6.S12＝S9＋4＝10，∴‎ ＝.故选A.‎ 触类旁通 等差数列性质的应用技巧 ‎(1)等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量．‎ ‎(2)等差数列和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an；若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．‎ 考向　等差数列的判定与证明　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例4　[2018·辽宁大连双基测试]数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>.‎ 解　(1)证明：∵an＋1＝，‎ ‎∴＝，化简得＝2＋，‎ 即－＝2，‎ 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知＝2n－1，所以Sn＝＝n2.‎ 证明：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋ ‎＝1－ ‎＝.‎ 触类旁通 等差数列的判定方法 ‎(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；‎ ‎(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；‎ ‎(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；‎ ‎(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.‎ 提醒　在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．‎ ‎【变式训练2】　[2018·昆明模拟]在数列{an}中，a1＝，an＋1＝2－，设bn＝，数列{bn}的前n项和是Sn.‎ ‎(1)证明数列{bn}是等差数列，并求Sn；‎ ‎(2)比较an与Sn＋7的大小．‎ 解　(1)证明：∵bn＝，an＋1＝2－，∴bn＋1＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}是公差为1的等差数列．‎ 由a1＝，bn＝，得b1＝－，‎ ‎∴Sn＝－＋＝－3n.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝－＋n－1＝n－.‎ 由bn＝，得an＝1＋＝1＋.‎ ‎∴an－Sn－7＝－＋3n－6＋.‎ ‎∵当n≥4时，y＝－＋3n－6是减函数，y＝也是减函数，∴当n≥4时，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0.‎ 又∵a1－S1－7＝－<0，a2－S2－7＝－<0，a3－S3－7＝－<0，∴∀n∈N*，an－Sn－7≤0，∴an≤Sn＋7.‎ 核心规律 ‎1.等差数列的判定方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法．‎ ‎2.方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．‎ ‎3.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．‎ 满分策略 ‎1.当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，an为常数．‎ ‎2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．‎ ‎3.注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥‎2”‎；否则，当n＝1时，a0无定义.‎ 板块三　启智培优·破译高考 题型技法系列 7——破解等差数列中的最值问题 ‎[2018·北京海淀模拟]等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？‎ 解题视点　可利用Sn＝na1＋d及二次函数的性质求解；也可以利用首项a1>0，公差d<0，找最后一个正项求解；还可以利用Sn＝An2＋Bn及二次函数图象的对称性求解．‎ 解　解法一：由S3＝S11，得‎3a1＋d＝‎11a1＋d，则d＝－a1.‎ 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.‎ 又a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大．‎ 解法二：由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由解法一可知a＝－ ‎<0，故当n＝7时，Sn最大．‎ 解法三：由解法一可知d＝－a1.‎ 要使Sn最大，则有 即 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．‎ 解法四：由S3＝S11，可得‎2a1＋13d＝0，‎ 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，‎ 故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，‎ 所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大．‎ 答题启示　求等差数列前n项和的最值的方法 ‎(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．‎ ‎(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 跟踪训练 ‎(1)[2018·江西模拟]已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n值是________．‎ 答案　20‎ 解析　a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.‎ ‎(2)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．‎ 答案　 解析　∵当且仅当n＝8时Sn取得最大值，‎ ‎∴即解得－10，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．‎ 答案　8‎ 解析　∵{an}为等差数列，∴a7＋a9＝‎2a8，‎ ‎∴a7＋a8＋a9＝‎3a8>0，即a8>0，又a7＋a10＝a8＋a9<0.‎ ‎∴a9<0，‎ ‎∴{an}为递减数列．‎ 又∵ S9＝S8＋a9S7，‎ ‎∴当n＝8时，{an}的前n项和最大．‎ ‎9．[2018·金版创新]已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且 是等差数列，则a10＝________.‎ 答案　 解析　设等差数列的公差为d，‎ 则＝，＝.‎ ‎∵是等差数列，‎ ‎∴＝＋4d，即＝＋4d，解得d＝，‎ 故＝＋7d＝＋7×＝，解得a10＝.‎ ‎10．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________.‎ 答案　5‎ 解析　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得 又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·唐山统考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝(　　)‎ A．18 B．‎12 C．9 D．6‎ 答案　D 解析　设等差数列{an}的公差为d，由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6.故选D.‎ ‎2．[2018·洛阳统考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a‎6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)‎ A．6 B．‎7 C．12 D．13‎ 答案　C 解析　∵a1>0，a‎6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝‎2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.故选C.‎ ‎3．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于________．‎ 答案　10‎ 解析　∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－a＝0，‎ ‎∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.‎ ‎∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，‎ 解得n＝10.‎ ‎4．[2018·云南模拟]设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn＋2an＝2(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列是等差数列；‎ ‎(2)设bn＝(1－an)(1－an＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解　(1)证明：∵Tn＋2an＝2，∴当n＝1时，T1＋‎2a1＝2，‎ ‎∴T1＝，即＝.‎ 又当n≥2时，Tn＝2－2×，‎ 得Tn·Tn－1＝2Tn－1－2Tn，‎ ‎∴－＝，‎ ‎∴数列是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知，数列为等差数列，‎ ‎∴＝＋(n－1)＝，∴an＝＝，‎ ‎∴bn＝(1－an)(1－an＋1)＝＝－，‎ ‎∴Sn＝＋＋…＋－＝－＝. ‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)若不等式2n2－n－3<(5－λ)an对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围．‎ 解　(1)证明：当n＝1时，S1＝‎2a1－22，得a1＝4.‎ Sn＝2an－2n＋1，‎ 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，两式相减得 an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n，‎ 所以－＝－＝＋1－＝1，又＝2，所以数列 是以2为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知＝n＋1，即an＝n·2n＋2n.‎ 因为an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an，即(n＋1)(2n－3)<(5－λ)·2n(n＋1)等价于5－λ>.‎ 记bn＝，b1＝－，b2＝，当n≥2时，＝＝，则＝，即b3>b2，所以当n≥3时，<1，所以(bn)max＝b3＝，所以λ<.‎