2018-2019学年安徽省阜阳第一中学高二4月月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年安徽省阜阳第一中学高二4月月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省阜阳第一中学2018-2019学年高二4月月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．下列说法错误的是　‎ A．“”是“”的充分不必要条件 B．“若，则”的逆否命题为：“若，则”‎ C．若为假命题，则均为假命题 D．命题，使得，则：，均有 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项中的说法进行逐一判断，由此得出说法错误的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，“”时有“”，但“”时可能，故“”是“”的充分不必要条件，A选项说法正确.对于B选项，根据逆否命题的知识可知，B选项说法正确.对于C选项，为假命题时，中可能只有一个假命题，故C选项说法错误.根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D选项说法正确.综上所述，本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查逆否命题的知识，考查含有简单逻辑联结词真假性，考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.‎ ‎2．设某高中的男生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是（　）‎ A．与有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 C．若该高中某男生身高增加，则其体重约增加 D．若该高中某男生身高为，则可断定其体重必为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据最小二乘法以及回归分析的知识，对四个选项逐一分析，由此得出结论错误的选项.‎ ‎【详解】‎ 根据与的线性回归方程为 可得， ，因此与有正的线性相关关系，故A正确；回归直线过样本点的中心， B正确；该高中某男生身高增加，预测其体重约增加，故C正确；若该高中某男生身高为，则预测其体重约为，故D错误.故选D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查最小二乘法的概念，考查回归直线方程的知识，属于基础题.‎ ‎3．设复数满足（其中为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．的虚部为 C． D．的共轭复数为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ ‎∴，的虚部为1，，的共轭复数为，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎4．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程有有理实数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是(　　)‎ A．假设至多有一个是偶数 B．假设至多有两个偶数 C．假设都不是偶数 D．假设不都是偶数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求．‎ ‎【详解】‎ 用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，‎ 而命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了用反证法的应用 ，关键是求命题的否定，属于基础题．‎ ‎5．参数方程（为参数，）和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）‎ A．直线、直线 B．直线、圆 C．圆、直线 D．圆、圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意逐一考查所给的参数方程的性质即可.‎ 详解：参数方程（为参数，）表示圆心为，半径为的圆，‎ 参数方程（为参数）表示过点，倾斜角为的直线.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查直线的参数方程与圆的参数方程的区别，属于简单题目.‎ ‎6．设实数，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎．，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查式子的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键．‎ ‎7．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：将化为直角坐标为，过点与平行的直线方程为，化为极坐标方程即可.‎ 详解：将化为直角坐标为，‎ 过点与平行的直线方程为，‎ 将化为极坐标方程为，‎ 所以过点且与极轴平行的直线的方程是，故选B.‎ 点睛：利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎8．曲线在点处的切线经过点，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，求出，进而可得切线方程，再由切线过点，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，故，又，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，又该切线过点，所以，解得.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，先对函数求导，求出函数在点处的切线方程即可，属于常考题型.‎ ‎9．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由结合韦达定理可得解.‎ ‎【详解】‎ 解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，‎ 化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知 即解得＜k＜－1.‎ 答案：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.‎ ‎10．关于的不等式解集为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数f（x）=，不等式的解集为 ⇔a＜f（x）min，利用绝对值不等式可求得f（x）min，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ 令f（x）=，‎ ‎∵不等式的解集为，‎ ‎∴a＜f（x）min，‎ 又f（x）=≥|1﹣x+x+2|=3，即f（x）min=3，‎ ‎∴a＜3．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值三角不等式，考查构造函数的思想与恒成立问题，属于中档题．‎ ‎11．已知直线：与轴，轴分别交于点，，点在椭圆上运动，则面积的最大值为（ ）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线方程求出点，坐标，得到长度，再由椭圆方程设出点坐标，根据点到直线距离公式，求出三角形的高，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为：与轴，轴分别交于点，，所以，，因此，‎ 又点在椭圆上运动，所以可设，‎ 所以点到直线的距离为(其中)，所以.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与椭圆的位置关系，需要用到点到直线距离公式等，属于常考题型.‎ ‎12．函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立,‎ ‎，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，构造函数，求导，可得在R上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，则构造函数，则，所以在R是单调递减。又因为，则。所求不等式可变形为，即，又在R是单调递减，所以，故选A ‎【点睛】‎ 本题考查不等式求解和构造函数问题，主要根据已知条件构造出合适的函数，再根据的单调性，转化为，便可求解。本题综合性较强，有一定难度，突破点在于是否能构造出合适的函数，属中档题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，则的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].‎ 故答案为：[﹣9，0]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式性质的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎14．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到准线的距离为_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得焦点坐标和准线方程，直线恰好经过点，根据抛物线的定义、弦长求得的中点的横坐标，由此求得弦的中点到准线的距离.‎ ‎【详解】‎ 试题分析：由题意得，抛物线的焦点坐标为，且准线方程为，直线恰好经过点，设直线与抛物线的交点的横坐标为，根据抛物线的定义可知，的中点的横坐标为，所以弦的中点到准线的距离为，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义，考查过抛物线焦点的弦长，考查直线和抛物线的交点，属于基础题.‎ ‎15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8……该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则 ______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用斐波那契数列的通项公式分析可得：，，，…根据归纳推理可得结果．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎… …‎ 则,故答案为0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的求和以及归纳推理的应用，涉及斐波那契数列的性质．归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.‎ ‎16．已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求得函数的导数，根据题意是函数的唯一的一个极值点，得出 在无变号零点，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的定义域为，且，‎ 因为是函数的唯一的一个极值点，所以是导函数的唯一根，‎ 所以在无变号零点，‎ 即在上无变号零点，令，则，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以的最小值为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把是函数的唯一的一个极值点，转化为在无变号零点，构造新函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，属于中档试题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，，且，求证：和中至少有一个小于．‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ 涉及到至多，至少这类问题直接证明不易证的情况下可以考虑反证法.‎ 本小题采用反证法先假设假设都不小于2，则,因为，所以,然后为了找到两个不等式之间的关系让两个不等式相加，从而找到证明出路.‎ 证明：假设都不小于2，则………………2分 因为，所以， ……………3分 所以………………3分 即，这与已知相矛盾，故假设不成立 ……………3分 所以中至少有一个小于2 ……………1分 其他证法只要思路正确，推理无误，改卷老师都可以参照给分.‎ ‎18．为调查在校中学生每天放学后的自学时间情况，在某市的所有中学生中随机抽取了120名学生进行调查，现将日均自学时间小于1小时的学生称为“自学不足”者根据调查结果统计后，得到如下列联表，已知在调查对象中随机抽取1人，为“自学不足”的概率为．‎ 非自学不足 自学不足 合计 配有智能手机 ‎30‎ 没有智能手机 ‎10‎ 合计 请完成上面的列联表；‎ 根据列联表的数据，能否有的把握认为“自学不足”与“配有智能手机”有关？‎ 附表及公式: ，其中 ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，自学不足的认识为，非自学不足的人数80人，可得列联表；‎ 代入计算公式结合表格即可作出判断．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，自学不足的认识为，非自学不足的人数80人，结合已知可得下表，‎ 根据上表可得 有的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关．‎ ‎【点睛】‎ 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎19．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由，得，从而有，所以 ‎（Ⅱ）设，又，则，故当时，取得最小值，此时点的坐标为.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，‎ 得，‎ 从而有 所以 ‎（Ⅱ）设，又，‎ 则，‎ 故当时，取得最小值，‎ 此时点的坐标为.‎ 考点：1.极坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.‎ ‎20．已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；‎ ‎(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为 时，分情况讨论即可求得结果.‎ 详解：（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点（都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得1，a2＝2b2，求解即可.‎ ‎（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式将条件转化，即可求k，m的关系式，代入直线方程即可求出定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又椭圆被准线截得弦长为，‎ ‎∴点在椭圆上，∴，① 又，∴，‎ ‎∴，②，由①②联立，解得，∴椭圆的标准方程为：，‎ ‎（2）设直线，设，‎ 把直线代入椭圆方程，整理可得，，即，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∵都在轴上方．且，∴，‎ ‎∴，即，‎ 整理可得，∴，‎ 即，整理可得，‎ ‎∴直线为，∴直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）证明：对一切，都有成立.‎ ‎【答案】(I) . （Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（2）对一切，都有成立，即，结合（1）中结论可知，构造新函数，分析其最大值，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，的导数．‎ 令，解得；‎ 令，解得．‎ 从而在单调递减，在，单调递增．‎ 所以，当时，取得最小值．‎ ‎（2）若 则，‎ 由（1）得：，当且仅当时，取最小值；‎ 设，则，‎ 时，，单调递增，‎ 时，，单调递减，‎ 故当时，取最大值 故对一切，都有成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，属于难题．‎