数学理卷·2018届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

数学理卷·2018届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上学期第三次月考试题（解析版）

奋斗中学2017—2018－1高三年级第三次月考试题 数　学（理）‎ 一．选择题（共12小题，每题5分）‎ ‎1. 已知集合 ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵ ，‎ ‎∴‎ 故选：D ‎2. 复数的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ 故选：D 点睛：复数实部为，虚部为，共轭复数实部为，虚部为，在复平面内对应的点关于是轴对称。复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎3. 等差数列中，则（ ）‎ A. 40 B. 20 C. 10 D. 2+‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 又 ‎∴‎ 故选：B ‎4. 已知实数x，y满足则z＝3x－y的最小值为( )‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出的可行域，如图所示 易得A(1,3)、‎ 把z=3x−y变形为y=3x−z，则直线经过点A时z取得最小值；‎ 所以zmin=3×1−3=0,.‎ 故选：B 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎5. 已知则（ ）‎ A. B C. D ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 又 ‎∴‎ 故选：A ‎6. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）‎ A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递减 D. 向左平移个单位长度后图象关于原点对称 ‎【答案】D ‎【解析】函数f(x)=sin(x+)，‎ A. 函数f(x)的周期为：T=2π，正确。‎ B. 当x=时,f()=−1，正确。‎ C. 当x∈[]时,x+∈[,]，故函数单调递减，正确。‎ D函数f(x)向左平移个单位后函数的关系式转化为：f(x)=sin(x+)，函数的图象不关于原点对称，故错误。‎ 故选：D ‎7. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 ‎【答案】C ‎【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，‎ 据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8. 若tanθ=，则cos2θ=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵ tanθ=，则 ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识，解决本题的关键是熟练掌握倍角公式，敏锐的观察角间的关系．‎ ‎9. 已知平行四边形的对角线交于点，点在线段上，且点是的中点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ∵，点F是BD上靠近D的四等分点，‎ ‎∴,=，‎ ‎∴+=+，‎ ‎∵+=,−=，‎ ‎∴= (−)+ (+)‎ ‎=.‎ 故选：C.‎ ‎10. 函数的部分图像大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，函数为奇函数，故排除B；‎ 当x=π时，y=0，故排除D；‎ 当x=1时，y>0,故排除A；‎ 故选：C 点睛：识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎11. 若体积为12的长方体的每个顶点都在求的球面上，且此长方体的高为4，则球的表面积的最小值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设长方体的三度为a，b，c，则ab=3，c=4.‎ 长方体的对角线的长度,就是外接球的直径,所以2r=⩾=，‎ 当且仅当a=b时,r的最小值为 所以球O表面积的最小值为：4πr2=22π.‎ 故选：B.‎ ‎12. 已知定义在R上的偶函数满足且在区间上至多有10个零点，至少有8个零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】为偶函数，满足 当x=时，，易得：‎ ‎∴，即的周期为4，‎ ‎∵在区间上至多有10个零点，至少有8个零点，‎ ‎∴与的图象至多有10个零点，至少有8个零点，‎ ‎,解得：‎ 故选：D 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二.填空题(共20分)‎ ‎13. 已知向量.若,则实数_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵向量 ‎∴，‎ 又 ‎∴‎ 解得：‎ 故答案为：‎ ‎14. 由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V1=2×1×1=2，‎ 圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V2=×π×12×1=，‎ 则该几何体的体积V=V1+2V2=，‎ 故答案为：‎ ‎15. 给出下列四个结论：‎ ‎（1）是真命题，则可能是真命题；‎ ‎（2）命题“”的否定是“”；‎ ‎（3）“且”是“”的充要条件；‎ ‎（4）当时，幂函数在区间上单调递减其中正确结论是______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】①若p∧q是真命题，则p，q同时为真命题，则￢p是假命题，故￢p可能是真命题错误，故①错误，‎ ‎②特称命题的否定是全称命题,则命题“”的否定是“”；错误，故②错误，‎ ‎③“a>5且b>−5”则“a+b>0”成立，当a=−1，b=2满足a+b>0，但a+b>0错误，故③错误，‎ ‎④根据幂函数的性质知,当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减。正确，故④正确，‎ 故答案为：④‎ ‎16. 已知函数的图象是曲线，若曲线不存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f（x）=ex﹣mx+1的导数为f′（x）=ex﹣m，‎ 设切点为（s，t），即有切线的斜率为es﹣m，‎ 若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，‎ 则关于s的方程es﹣m=﹣无实数解，‎ 由于es＞0，即有m﹣≤0，‎ 解得m≤．‎ 故答案为：‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ 三.解答题(共70分)‎ ‎17. 在中，角的对边分别为，且.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若， 的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)由，得.‎ 由正弦定理可得 .‎ 因为，所以.因为，所以. ‎ ‎(2)因为，所以，又，所以，所以或 ，则的周长为. ‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.‎ ‎18. 已知等差数列的前项和为，且的首项与公差相同，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式以及前项和为的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)，（Ⅱ）‎ ‎【解析】(1)依题意得 解得；‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）依题意得 ‎,‎ ‎，‎ ‎∴,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎19. 已知数列满足，数列的前项和为， .‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）因为 所以当时， ，‎ 两式相减得，即，‎ 又因为满足上式，所以，‎ 当时， ，‎ 又因为满足上式，所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由，得，‎ 相减得，‎ 所以数列是以3为首项2为公比的等比数列，‎ 所以 所以，所以 ‎ 作差可得，‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎20. 如图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一点．‎ ‎（I）求证： ．‎ ‎（II）若， 分别是， 的中点，求证：∥平面．‎ ‎（III）若二面角的大小为，求线段的长 ‎【答案】（I）见解析（II）见解析（III）‎ ‎【解析】（I）∵平面， 面，‎ ‎∴．‎ ‎∵， ，‎ ‎∴中， ，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴面．‎ ‎∵面，‎ ‎∴．‎ ‎（II）连接交于点．‎ ‎∵四边形是平行四边形，‎ ‎∴是的中点．‎ 又∵， 分别是， 的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴．‎ 又平面， 面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（III）∵，且平面，‎ ‎∴， ， 两两垂直。‎ 以为原点， ， ， 分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系．‎ 设，则， ， ， ，‎ ‎∴， ， ．‎ 设平面的法向量为，‎ 故， ，‎ 则有，令，则，‎ 又平面的法向量为．‎ ‎∵二面角的大小为，‎ ‎∴，‎ 解得，即，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎21. 设函数 ‎ ‎（I）解不等式 ；‎ ‎（Ⅱ）当 时，证明： ‎ ‎【答案】（Ⅰ）（II）见解析 ‎【解析】试题分析：运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可。‎ 由分段函数可得的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证。‎ 解析：（Ⅰ）解：由已知可得：，‎ 由时，成立；时，，即有，则为．‎ 所以的解集为 ‎ ‎（II）证明：由（Ⅰ）知，，‎ 由于，‎ 则，‎ 则有 ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线斜率为1,求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调递增（2）.‎ ‎【解析】（1）∵ ,∴,∴，‎ ‎∴ ,记，∴,‎ 当时，,单减；‎ 当时，, 单增，‎ ‎∴,‎ 故恒成立，所以在上单调递增 ‎（2）∵，令,∴，‎ 当时，,∴在上单增，∴.‎ ⅰ）当即时，恒成立，即，∴在上单增，‎ ‎∴，，所以．‎ ⅱ）当即时，∵在上单增，且，‎ 当 时，，‎ ‎∴使,即.‎ 当时，，即单减；‎ 当时，，即单增．‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，，由，∴．‎ 记,‎ ‎∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴．‎ 综上.‎ ‎ ‎ ‎ ‎